福建省重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

福建省重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或2．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．3．已知集合，則=（）A． B． C． D．4．對(duì)于正在培育的一顆種子，它可能1天后發(fā)芽，也可能2天后發(fā)芽，….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計(jì)表，則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A．2 B．3 C．3.5 D．45．已知平面平面，且是正方形，在正方形內(nèi)部有一點(diǎn)，滿足與平面所成的角相等，則點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B．16 C． D．6．設(shè)，點(diǎn)，，，，設(shè)對(duì)一切都有不等式成立，則正整數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．7．上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測(cè)量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計(jì)），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息，通過計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年8．設(shè)集合，，則()A． B．C． D．9．如圖網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的所有棱中最長棱的長度為（）A． B． C． D．10．在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．74 B．121 C． D．11．如圖，這是某校高三年級(jí)甲、乙兩班在上學(xué)期的5次數(shù)學(xué)測(cè)試的班級(jí)平均分的莖葉圖，則下列說法不正確的是（）A．甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的平均水平高于乙班B．甲班的數(shù)學(xué)成績的平均分比乙班穩(wěn)定C．甲班的數(shù)學(xué)成績平均分的中位數(shù)高于乙班D．甲、乙兩班這5次數(shù)學(xué)測(cè)試的總平均分是10312．已知復(fù)數(shù)z，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A． B． C．i D．i二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)直線過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且與的一條對(duì)稱軸垂直，與交于兩點(diǎn)，為的實(shí)軸長的2倍，則雙曲線的離心率為.14．已知圓C：經(jīng)過拋物線E：的焦點(diǎn)，則拋物線E的準(zhǔn)線與圓C相交所得弦長是__________.15．過直線上一動(dòng)點(diǎn)向圓引兩條切線MA，MB，切點(diǎn)為A，B，若，則四邊形MACB的最小面積的概率為________．16．某同學(xué)周末通過拋硬幣的方式?jīng)Q定出去看電影還是在家學(xué)習(xí)，拋一枚硬幣兩次，若兩次都是正面朝上，就在家學(xué)習(xí)，否則出去看電影，則該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在三棱錐中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)為中點(diǎn)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．18．（12分）如圖，在三棱柱中，是邊長為2的菱形，且，是矩形，，且平面平面，點(diǎn)在線段上移動(dòng)（不與重合），是的中點(diǎn).（1）當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí)，證明：.平面（2）當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，求平面與平面所成銳二面角的余弦值.19．（12分）在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設(shè)曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，求.20．（12分）過點(diǎn)P(-4,0)的動(dòng)直線l與拋物線相交于D、E兩點(diǎn)，已知當(dāng)l的斜率為時(shí)，.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.21．（12分）設(shè)函數(shù)，．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）時(shí)，若，，求證：．22．（10分）如圖，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上、下頂點(diǎn)分別為，，且，為等邊三角形，過點(diǎn)的直線與橢圓在軸右側(cè)的部分交于、兩點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求四邊形面積的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為，聯(lián)立，解得和，所以；同理，當(dāng)直線的方程為.，綜上，或.選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點(diǎn)的距離時(shí)，一般考慮拋物線的定義.2、D【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值.由得：，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】

先求出集合A，B，再求集合B的補(bǔ)集，然后求【詳解】，所以.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查的是集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知，種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】

根據(jù)與平面所成的角相等，判斷出，建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的軌跡方程，由此求得點(diǎn)的軌跡長度.【詳解】由于平面平面，且交線為，，所以平面，平面.所以和分別是直線與平面所成的角，所以，所以，即，所以.以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，則，，設(shè)（點(diǎn)在第一象限內(nèi)），由得，即，化簡(jiǎn)得，由于點(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在第一象限的部分.令代入原的方程，解得，故，由于，所以，所以點(diǎn)的軌跡長度為.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面角的概念和運(yùn)用，考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.6、A【解析】

先求得，再求得左邊的范圍，只需，利用單調(diào)性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin，∴，∴，隨n的增大而增大，∴,∴，即，又f(t)=在t上單增，f(2)=-1<0，f(3)=2>0，∴正整數(shù)的最小值為3.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.7、D【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識(shí)計(jì)算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，，．，估計(jì)該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的能力，運(yùn)用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．8、D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

利用正方體將三視圖還原，觀察可得最長棱為AD，算出長度.【詳解】幾何體的直觀圖如圖所示，易得最長的棱長為故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖還原幾何體的問題，其中利用正方體作襯托是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

根據(jù)，利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為：，進(jìn)而得到其系數(shù)，【詳解】因?yàn)樵?，所以含的?xiàng)為：，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是，，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題，11、D【解析】

計(jì)算兩班的平均值，中位數(shù)，方差得到正確，兩班人數(shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】由題意可得甲班的平均分是104，中位數(shù)是103，方差是26.4；乙班的平均分是102，中位數(shù)是101，方差是37.6，則A，B，C正確.因?yàn)榧?、乙兩班的人?shù)不知道，所以兩班的總平均分無法計(jì)算，故D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了莖葉圖，平均值，中位數(shù)，方差，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.12、B【解析】

利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】，則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

不妨設(shè)雙曲線，焦點(diǎn)，令，由的長為實(shí)軸的二倍能夠推導(dǎo)出的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線，焦點(diǎn)，對(duì)稱軸，由題設(shè)知，因?yàn)榈拈L為實(shí)軸的二倍，，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時(shí)，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式，從而求出的值.14、【解析】

求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓的方程，求出的值，再求出準(zhǔn)線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出弦心距，利用勾股定理可以求出弦長的一半，進(jìn)而求出弦長．【詳解】拋物線E:的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為（0，1），把焦點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程中，得，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為5，則圓心到準(zhǔn)線的距離為1，所以弦長．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的準(zhǔn)線、圓的弦長公式．15、.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為，求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率．【詳解】由圓的方程得，所以圓心為，半徑為，四邊形的面積，若四邊形的最小面積，所以的最小值為，而，即的最小值，此時(shí)最小為圓心到直線的距離，此時(shí)，因?yàn)?，所以，所以的概率為．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型,考查了學(xué)生分析問題的能力,難度一般.16、【解析】

采用列舉法計(jì)算古典概型的概率.【詳解】拋擲一枚硬幣兩次共有4種情況，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），在家學(xué)習(xí)只有1種情況，即（正，正），故該同學(xué)在家學(xué)習(xí)的概率為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率計(jì)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析．（2）【解析】

（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進(jìn)而證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)椋c(diǎn)為中點(diǎn)，所以．因?yàn)?，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，過點(diǎn)與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由題意，先求得為的中點(diǎn)，再證明平面平面，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）由題意，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，四面體的體積最大，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量運(yùn)算即可.【詳解】（1）證明：當(dāng)四面體的外接球的表面積為時(shí).則其外接球的半徑為.因?yàn)闀r(shí)邊長為2的菱形，是矩形.，且平面平面.則，.則為四面體外接球的直徑.所以，即.由題意，，，所以.因?yàn)?，所以為的中點(diǎn).記的中點(diǎn)為，連接，.則，，，所以平面平面.因?yàn)槠矫妫云矫?（2）由題意，平面，則三棱錐的高不變.當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，的面積最大.所以當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，四面體的體積最大.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，.所以，，，.設(shè)平面的法向量為.則令，得.設(shè)平面的一個(gè)法向量為.則令，得.設(shè)平面與平面所成銳二面角是，則.所以當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面的平行、線面平行，考查平面與平面所成銳二面角的余弦值，正確運(yùn)用平面與平面的平行、線面平行的判定，利用好空間向量是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個(gè)半徑為1的圓周及一個(gè)兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯(lián)立方程組，分別求出和的坐標(biāo)，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標(biāo)方程為，根據(jù)互化公式得，曲線的直角坐標(biāo)方程為：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則曲線與極軸所在直線圍成的圖形，是一個(gè)半徑為1的圓周及一個(gè)兩直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積.（2）由得，其直角坐標(biāo)為，化直角坐標(biāo)方程為，化直角坐標(biāo)方程為，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查利用互化公式將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，以及聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，考查計(jì)算能力.20、；【解析】

根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合,即可求出拋物線C的方程；設(shè)，的中點(diǎn)為，把直線l方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達(dá)定理求出,進(jìn)而求出的中垂線方程,即可求得在軸上的截距的表達(dá)式,然后根據(jù)的取值范圍求解即可.【詳解】由題意可知,直線l的方程為,與拋物線方程方程聯(lián)立可得,,設(shè),由韋達(dá)定理可得,,因?yàn)?,所以,解得,所以拋物線C的方程為;設(shè),的中點(diǎn)為,由,消去可得,所以判別式,解得或,由韋達(dá)定理可得,,所以的中垂線方程為,令則,因?yàn)榛?所以即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用;考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算求解能力;屬于中檔題.21、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)參數(shù)的取值，討論的正負(fù)，即可求出關(guān)于的單調(diào)性即可；（2）首先通過構(gòu)造新函數(shù)