2022-2023學年河南省南陽市南召縣八年級（下）期末數(shù)學試卷(含解析)

2022-2023學年河南省南陽市南召縣八年級（下）期末數(shù)學試卷

一、選擇題（每小題3分；共30分）

1.若分式—7有意義，則尤滿足的條件是（）

x-3

A.xW3B.尤>3C.xWOD.x<3

2.“燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺.”這是詩仙李白眼里的雪花.單個雪花的重量其

實很輕，只有0.00003像左右，0.00003用科學記數(shù)法可表示為（）

A.3X105B.3X104C.0.3X104D.0.3X105

3.如圖，在菱形ABC。中，/B=60°,AB=2,則以AC為一邊的正方形ACEP的周長為

（）

4.如圖，點A是反比例函數(shù)y=K（x<0）的圖象上的一點，過點A作平行四邊形ABC。,

x

使8、C在x軸上，點。在y軸上，則平行四邊形A8CD的面積為（）

5.已知甲、乙兩地相距s（妊），汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間r（〃）

與行駛速度v（km/h）的函數(shù)關系圖象大致是（）

▲fhAth

IB./

ov(kmh)Ov(kmh)

1thrh

v（kmh）

0v（kmh））|

6.如圖，矩形ABC。的對角線AC,8。相交于點。，CE//BD,DE//AC,若AC=6cm,

三則四邊形CODE的周長為（）

A.6B.8C.10D.12

7.已知點（-4,v）,（2,>2）,（-2,券）都在直線y=2x-b上，則％、”、中的大

小關系是（）

A.yi>yi>y3B.y2>ys>y\C.D.y?,>y2>y\

8.如圖，矩形紙片A8CD中，AD=4cm,把紙片沿直線AC折疊，點8落在石處，AE交

。。于點0,若A0=5on,則A8的長為（）

E

D

AB

A.9cmB.8cmC.7cmD.6cm

9.已知一次函數(shù)>=自+/?的圖象如圖所示，當0VyV3時,X的取值范圍是（）

X

A.-2<x<0B.-2<x<2C.x>-2D.xWO

10.如圖，在Rt^ABO中，AB=OB,頂點A的坐標為（2,0）,以AB為邊向△AB。的外

側作正方形ABC。，將組成的圖形繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45。，則第98次旋轉(zhuǎn)

結束時，點。的坐標為（）

A.(1,-3)B.(-1,3)C.(-1,2+&)D.(1,3)

二、填空題(每小題3分；共15分)

11.甲、乙兩地7月上旬的口平均氣溫如圖所示，則甲、乙兩地這10天中口平均氣溫方差

的大小關系是S第用(填“>”、或.

12.2Xc|)T-(V§+l)0=.

13.如圖，以正方形A8C。的對角線AC為一邊作菱形AEPC,則

14.如圖，在DABCD中，按如下步驟操作：①以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交于點

F；②再分別以點B、F為圓心，大于，BF的長為半徑畫弧，兩弧交于一點P;③連接

A尸并延長交BC于點E,連接ER若8尸=6,A8=5,A￡)=10,則四邊形ABC。的面積

為.

15.小明早晨從家騎車到學校，先上坡后下坡，行程情況如圖，若返回時上、下坡的速度保

持不變，那么小明從學校騎車回家用的時間是分鐘.

三、解答題(10+9+9+9+9+9+10+10=75分)

1a

16.(1)化簡：(17T).

a+11

17.某市為了了解高峰時段16路車從總站乘該路車出行的人數(shù)，隨機抽查了10個班次乘該

路車人數(shù)，結果如下：

14,23,16,25,23,28,26,27,23,25

(1)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為；

(2)計算這10個班次乘車人數(shù)的平均數(shù)；

(3)如果16路車在高峰時段從總站共出車60個班次，根據(jù)上面的計算結果，估計在高

峰時段從總站乘該路車出行的乘客共有多少？

18.如圖，是△ABC的角平分線，線段AD的垂直平分線分別交A2和AC于點E、F,

連接。E、DF.

(1)求證：四邊形&瓦不是菱形；

(2)若AE=5,AO=8,求EF的長；

(3)△ABC滿足什么條件時，四邊形AEL不是正方形？請說明理由.

19.水龍頭關閉不嚴會造成滴水，從而造成資源浪費.為了調(diào)查漏水量與漏水時間的關系，

小明進行以下試驗與研究：在滴水的水龍頭下放置一個能顯示水量的容器，每?”記錄

一次容器中的水量，并填寫了下表.

時間x/min051015202530

水量y/mL0306090120150180

（1）建立直角坐標系，以橫軸表示時間尤，縱軸表示水量y,畫出函數(shù)圖象；

（2）試寫出y關于尤的函數(shù)關系式，并由它估算這種漏水狀態(tài)下一天的漏水量.

20.問題呈現(xiàn)：如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,CO是斜邊AB上的中線.

求證：CD=yAB-

證明：延長C。至點E,使DE=CD,連接AE、BE...

（1）請根據(jù)提示，結合圖1,寫出完整的證明過程.

（2）結論運用：

①如圖2,一根長度固定的木棍A8斜靠在與地面（0M）垂直的墻（ON）上，設木棍中

點為P,若木棍A端沿墻下滑，B端隨之沿地面向右滑行在此滑動過程中，點P到點。

的距離.

A.變??；B.變大；C.不變；D.無法判斷.

②如圖3點。為菱形的對角線AC,BD的交點,過點C作CELA8于點E,連接

OE,。。=3,OE=2.則菱形ABCD的面積為______

EA

,NA

次肛」A

Q-------OBMC

圖1圖2船

21.某校體育社團由于報名人數(shù)激增，決定從某體育用品店購買若干足球和籃球，用于日常

訓練.已知每個籃球的價格比每個足球的價格多30元，用900元購買足球的數(shù)量是用720

元購買籃球數(shù)量的2倍.

（1）求籃球和足球的單價各是多少？

（2）根據(jù)學生報名情況，社團需一次性購買籃球和足球共80個，且要求購買足球數(shù)量

不超過籃球數(shù)量的請問社團購買多少個籃球時，能使購買費用最少？

22.如圖，已知反比例函數(shù)y音（x〉0）的圖象經(jīng)過點A（4,2）,過A作ACLy軸于點

C.點2為該反比例函數(shù)圖象上的一點，過點B作2。，％軸于點。，連接AD直線BC

與x軸的負半軸交于點E.

（1）求反比例函數(shù)表達式；

（2）若BD=2OC,判斷四邊形ACE。的形狀，并說明理由.

（1）如圖1,在正方形4BCD中，點￡、尸分別是邊8C、上的點，且CE=8F,連

接。E,過點E作EGLOE,使EG=Z）E,連接FG,FC,請判斷：尸G與CE的數(shù)量關系

是，位置關系是.

（2）拓展探究：

如圖2,若點E、F分別是C8、8A延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍

然成立？請出判斷判斷予以證明；

（3）類比延伸：

如圖3,若點E、尸分別是8C、A8延長線上的點，其它條件不變，（1）中結論是否仍

然成立？請直接寫出你的判斷.

參考答案

一、選擇題（每小題3分；共30分）

1.若分式士有意義，則x滿足的條件是（）

x-3

A.%W3B.x>3C.xWOD.x<3

【分析】根據(jù)分式有意義的條件列出關于尤的不等式，求出尤的取值范圍即可.

解：：分式—7有意義，

x-3

'.x-3^0,解得尤#3.

故選：A.

【點評】本題考查的是分式有意義的條件，熟知分式有意義的條件是分母不等于零是解

答此題的關鍵.

2.“燕山雪花大如席，片片吹落軒轅臺.”這是詩仙李白眼里的雪花.單個雪花的重量其

實很輕，只有0.00003依左右，0.00003用科學記數(shù)法可表示為（）

A.3X105B.3X104C.0.3X104D.0.3X105

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為"X10〃的形式，其中l(wèi)W|a|<10,w為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相

同.當原數(shù)絕對值210時，”是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，”是負整數(shù).

解：0.00003=3X105.

故選：A.

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法，表示時關鍵要確定a的值以及n的值.

3.如圖，在菱形ABC。中，48=60。，AB=2,則以AC為一邊的正方形ACEb的周長為

（）

【分析】結合菱形的性質(zhì)證明三角形ABC為等邊三角形，可求得AC=2,再利用正方形

的性質(zhì)可求解.

解：：四邊形A3。為菱形,

：.AB=BC,

VZB=60°,

.?.△ABC為等邊三角形，

.'.AC—AB=2,

：.以AC為一邊的正方形ACEb的周長為：4AB=4X2=8.

故選：B.

【點評】本題主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，求解AC

的長是解題的關鍵.

4.如圖，點A是反比例函數(shù)y=±(尤<0)的圖象上的一點，過點A作平行四邊形ABC。,

x

使8、C在x軸上，點。在y軸上，則平行四邊形ABC。的面積為()

【分析】作于“，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AO〃。8,則S平行四邊形A3CZ)=S矩形AHO。，

再根據(jù)反比例函數(shù)y=K(4W0)系數(shù)k的幾何意義得到S矩形AHOQ=6,所以有S平行四邊形ABCQ

x

=6.

解：作于"，如圖，

???四邊形ABCD是平行四邊形ABCD,

J.AD//OB,

S平行四邊形ABCZ)=S矩形AHO。,

???點A是反比例函數(shù)丫=上(x<0)的圖象上的一點，

X

?二s矩形AHOZ)=|-6|=6,

S平行四邊形ABCD=6.

故選：C.

【點評】本題考查了反比例函數(shù)y=K（左WO）系數(shù)％的幾何意義：從反比例函數(shù)>=依

x

（左WO）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為因.

5.己知甲、乙兩地相距s（而7）,汽車從甲地勻速行駛到乙地，則汽車行駛的時間/（〃）

與行駛速度v（km/h）的函數(shù)關系圖象大致是（）

【分析】根據(jù)實際意義，寫出函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的類型，以及自變量的取值范圍

即可進行判斷.

解：根據(jù)題意有：Vf=5;

故V與f之間的函數(shù)圖象為反比例函數(shù)，

且根據(jù)實際意義v>0,t>0,

其圖象在第一象限.

故選：C.

【點評】現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關鍵是確定兩

個變量之間的函數(shù)關系，然后利用實際意義確定其所在的象限.

6.如圖，矩形ABC。的對角線AC,8。相交于點O,CE//BD,DE//AC,若AC=6cro,

則四邊形CODE的周長為（）

E

A.6B.8C.10D.12

【分析】由CE〃BZ),DE//AC,可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABC。

是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OO=3,即可判定四邊形CODE是菱形，繼而求

得答案.

解：'JCE//BD,DE//AC,

四邊形CODE是平行四邊形，

???四邊形ABC。是矩形，

.?.AC=B￡>=6,OA^OC,OB=OD,

；.O￡)=OC=LC=3,

2

四邊形CODE是菱形，

四邊形CODE的周長為=4OC=4X3=12.

故選：D.

【點評】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，證得四邊形CODE是菱形

是解此題的關鍵.

7.已知點(-4,%),(2,>2),(-2,”)都在直線y=2x-/?_b,則％、>2、ys的大

小關系是()

A.yi>y2>ysB.y2>ys>y\C.yi>y3>yiD.ys>y2>yi

【分析】根據(jù)比例系數(shù)，k=2>0,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)y隨％的增大而增大即可判斷.

解：根據(jù)y=2x-。，

：.k=2>0,y隨工的增大而增大，

由于(-4,yi),(2,>2),(-2,*)都在直線y=2x-/?上，

???-4<-2<2,

?“2>券>》，

故選：B.

【點評】本題考查一次函數(shù)的增減性與％的正負有關，進而判斷即可.

8.如圖，矩形紙片ABC。中，AD=4cm,把紙片沿直線AC折疊，點8落在E處，AE交

。。于點。，若A0=5c%,則AB的長為（）

A.9cmB.8cmC.1cmD.6cm

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得N3AC=NE4C,結合矩形的性質(zhì)可推出NE4C=NAC。，

則AO=CO=5cm,根據(jù)勾股定理得OD=d卜。2一人02=§（5），再由AB=CD=CO+OD

即可解答.

解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知N8AC=NE4C,

???四邊形ABC。為矩形，

：.AB//CDf

：.ZBAC=ZACDf

：.ZEAC=ZACD,

.\AO=CO=5cmf

在直角三角形ADO中，AD=4cmf

<9￡>=VAO2-AD2=3（cm）,

.?.AB=CD=CO+OD=3+5=8（cm）.

故選：B.

【點評】本題主要考查翻折變換、矩形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題

關鍵.

"+Z?的圖象如圖所示，當0VyV3時，x的取值范圍是（)

B.-2<x<2C.x>-2D.xWO

【分析】依據(jù)題意，根據(jù)題目中的函數(shù)圖象，可以直接寫出當0VyV3時，％的取值范圍.

解：由一次函數(shù)>=履+6的圖象可知，

當0<y<3時，-2<x<0,

故選：A.

【點評】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利

用數(shù)形結合的思想解答.

10.如圖，在中，AB=OB,頂點A的坐標為(2,0),以為邊向△AB。的外

側作正方形ABC。，將組成的圖形繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45。，則第98次旋轉(zhuǎn)

結束時，點。的坐標為()

A.(1,-3)B.(-1,3)C.(-1,2+近)D.(1,3)

【分析】過。作。軸于“，由在Rt^AB。中，A8=O8,OA=2,得48=軟=加,

/癡。=45°,根據(jù)四邊形A2CZ)是正方形，可得。(3,1),又將組成的圖形繞點。

逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°,知每旋轉(zhuǎn)8次回到初始位置，第98次旋轉(zhuǎn)結束，相當于將

D(3,1)旋轉(zhuǎn)90°,即可得到答案.

解：過。作OHLx軸于”，如圖：

.?.42=半=&,N8AO=45。，

V2V

:四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB=-/2,ZBAD=90°,

ZDAH=45°,

.?.△A?！笔堑妊苯侨切?，

AH

：.AH=DH=-^=1,

V2

：.OH^OA+AH^3,

：.D（3,1）,

:將組成的圖形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)45°,

每旋轉(zhuǎn)8次回到初始位置，

V984-8=12......2,

，第98次旋轉(zhuǎn)結束，相當于將。（3,1）旋轉(zhuǎn)90°,

第98次旋轉(zhuǎn)結束時，點。的坐標為（-1,3）,

故選：B.

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)及應用，涉及旋轉(zhuǎn)變換，解題的關鍵是掌握正方形的性

質(zhì)，找到旋轉(zhuǎn)的規(guī)律.

二、填空題（每小題3分；共15分）

11.甲、乙兩地7月上旬的日平均氣溫如圖所示，則甲、乙兩地這10天中日平均氣溫方差

的大小關系是S帝>S：（填“>”、或.

?溫度/℃

32T-----------------------------

4?二夕二乙地

0i234s678910自期

【分析】由折線統(tǒng)計圖知，乙地這10天中日平均氣溫的波動幅度明顯小于甲地，結合方

差的意義求解即可.

解：由折線統(tǒng)計圖知，乙地這10天中日平均氣溫的波動幅度明顯小于甲地，

.2

..。c甲乙，

故答案為：>.

【點評】本題主要考查方差，解題的關鍵是掌握方差的意義：方差是反映一組數(shù)據(jù)的波

動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越??；反之，則它與

其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好.

12.2X(y)-1-(V3+l)0=^_.

【分析】首先計算零指數(shù)幕、負整數(shù)指數(shù)幕，然后計算乘法，最后計算減法，求出算式

的值即可.

解：2X(y)-1-(V3+l)°

=2X2-1

=4-1

=3.

故答案為：3.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數(shù)運算時，

和有理數(shù)運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有

括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行.

13.如圖，以正方形ABC。的對角線AC為一邊作菱形則22.5°.

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出/C48=45°,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出AP平分/CA8,

從而得出NE4B的度數(shù).

解：???四邊形A8CO為正方形，AC為對角線，

：.ZDAC^ZCAB=45°.

...四邊形AEEC為菱形，AF為對角線，

，&尸平分/。18,

AZFAB^—ZCAB=22.5°.

2

故答案為：22.5°.

【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，解題的關鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)找出

AF平分/C4B.本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，牢記各特殊圖形的性

質(zhì)是關鍵.

14.如圖，在口ABC。中，按如下步驟操作：①以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交于點

F；②再分別以點B、F為圓心，大于，BF的長為半徑畫弧，兩弧交于一點P;③連接

AP并延長交2C于點E,連接EE若BF=6,AB=5,AD=10,則四邊形ABC。的面積

為48.

【分析】過點2作即與點"利用面積法求出28,可得結論.

解：過點8作雙/LA。與點訊

,/四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD//BC,

：./DAE=ZAEB,

由作圖可知AB=AF,

：.NBAE=ZAEB,

：.AB=BE=AF,

'：AF//BE,

/.四邊形ABEF是平行四邊形，

\"AB=AF,

四邊形A8EE是菱形，

'：AE±BF,0B=0F=3,

：.OA=OE=A/AB2-OB2=V52-32=4^

：.AE=2AO=8,

菱形ABEF的面積尸=』X8X6=24,

22

；.AF?BH=24,

：.BH=—24

5

94.

，四邊形ABCD的面積=A/>8"=10義三

5

故答案為：48.

【點評】本題考查作圖-基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解

題的關鍵是學會利用面積法解決問題.

15.小明早晨從家騎車到學校，先上坡后下坡，行程情況如圖，若返回時上、下坡的速度保

持不變，那么小明從學校騎車回家用的時間是37.2分鐘.

【分析】根據(jù)圖表可計算出上坡的速度以及下坡的速度.又已知返回途中的上、下坡的

路程正好相反，故可計算出共用的時間.

解：由圖中可以看出：上坡速度為：碧=2百米/分，下坡速度為：碧嚶'=5百米/分,

1830-18

返回途中，上下坡的路程正好相反，所用時間為：平+氈譽?=7.2+30=37.2分.

52

故答案為：37.2.

【點評】本題考查利用函數(shù)的圖象解決實際問題，應先求出上坡速度和下坡速度，注意

往返路程上下坡路程的轉(zhuǎn)化.

三、解答題(10+9+9+9+9+9+10+10=75分)

1a

16.(1)化簡：(1—77)-^—.

2

a+1a-i

124

(2)解方程：—T4—r=-5--

x+ix-id-i

【分析】(i)利用分式的加減法則進行計算即可；

(2)根據(jù)解分式方程的步驟解方程后進行檢驗即可.

軟+卜］a

解：(1)原式=?

a+1(a+1)(a-l)

_at______a

a+1(a+1)(a-1)

a(a-l)?_____a

(a+1)(a-l)(a+1)(a-l)

a2-a+a

(a+1)(a-l)

a2

（2）原方程兩邊同乘（N-1）,去分母得：x-1+2（x+1）—4,

去括號得：x-l+2x+2=4,

移項，合并同類項得：3x=3,

系數(shù)化為1得：尤=1,

檢驗：將x—1代入（N-1）得：1-1=0,

則x=l是分式方程的增根，

故原分式方程無解.

【點評】本題考查分式的加減運算及解分式方程，熟練掌握分式運算法則及解分式方程

的方法是解題的關鍵，特別注意解分式方程時必須進行檢驗.

17.某市為了了解高峰時段16路車從總站乘該路車出行的人數(shù)，隨機抽查了10個班次乘該

路車人數(shù)，結果如下：

14,23,16,25,23,28,26,27,23,25

（1）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為23,中位數(shù)為24；

（2）計算這10個班次乘車人數(shù)的平均數(shù)；

（3）如果16路車在高峰時段從總站共出車60個班次，根據(jù)上面的計算結果，估計在高

峰時段從總站乘該路車出行的乘客共有多少？

【分析】（1）根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的概念求解；

（2）根據(jù)平均數(shù)的概念求解；

（3）用平均數(shù)乘以發(fā)車班次就是乘客的總人數(shù).

解：（1）這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：14,16,23,23,23,25,25,26,27,

28,

則眾數(shù)為：23,

中位數(shù)為：空等＞=24；

2

（2）平均數(shù)=工（14+16+23+23+23+25+25+26+27+28）=23（人）

10

答：這10個班次乘車人數(shù)的平均數(shù)是23人.

（3）60X23=1380（人）

答：在高峰時段從總站乘該路車出行的乘客共有1380人.

故答案為：（1）23,24,（2）23人，（3）1380人.

【點評】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)的知識，解答本題的關鍵是掌握各知識點的

概念.

18.如圖，是AABC的角平分線，線段AD的垂直平分線分別交AB和AC于點E、F,

連接。及DF.

（1）求證：四邊形AE。尸是菱形；

（2）若AE=5,AO=8,求EF的長；

（3）△ABC滿足什么條件時，四邊形尸是正方形？請說明理由.

【分析】（1）由AO=AO,/AOE=NAOF=90°證△AE。絲△APO,

推出EO=F。，得出平行四邊形AEDF,根據(jù)得出菱形AEOR

（2）由（1）知菱形AEDF對角線互相垂直平分，故4。=/4￡>=4,根據(jù)勾股定理得

EO=3,從而得到EF=6；

（3）根據(jù)有一個角是直角的菱形是正方形可得N8AC=90°時，四邊形AEDF是正方形.

【解答】（1）證明：四邊形A即尸是菱形，

平分入BAC,

.?.N1=N2,

又

ZAOE^ZAOF^9Q°,

在△AEO和△AFO中,

'N1=N2

<AO=AO，

ZAOE=ZAOF

/.AA￡O^AAFO（ASA）,

:.EO=FO,

垂直平分A。，

：.EF、AD相互平分，

...四邊形AEDF是平行四邊形，

'：EF±AD,

平行四邊形AEOF為菱形；

（2）解：垂直平分A。，AZ）=8,

/.ZAOE=90°,A0=4,

在RtZXAOE中，'：AE=5,

?■?￡O=VAE2-A02=VS2-42=3>

由（1）知，EF=2EO=6；

（3）解：當△ABC中/A4C=90°時，四邊形AEL不是正方形；

VZBAC=90°,

四邊形是正方形（有一個角是直角的菱形是正方形）.

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了菱形的判定和正方形的判定，關鍵是掌握鄰邊相

等的平行四邊形是菱形，有一個角是直角的菱形是正方形.

19.水龍頭關閉不嚴會造成滴水，從而造成資源浪費.為了調(diào)查漏水量與漏水時間的關系，

小明進行以下試驗與研究：在滴水的水龍頭下放置一個能顯示水量的容器，每5根比記錄

一次容器中的水量，并填寫了下表.

時間x/min051015202530

水量y/mL0306090120150180

（1）建立直角坐標系，以橫軸表示時間無，縱軸表示水量》畫出函數(shù)圖象；

（2）試寫出y關于尤的函數(shù)關系式，并由它估算這種漏水狀態(tài)下一天的漏水量.

【分析】（1）利用描點法畫出函數(shù)圖象即可；

（2）由表格數(shù)據(jù)可知，每分鐘的漏水量為6〃小，由此寫出y關于x的函數(shù)關系式.將1

天的時間轉(zhuǎn)換為以分鐘為單位的數(shù)值，代入函數(shù)關系式即可.

解：（1）利用描點法畫出函數(shù)圖象.

（2）由表格中數(shù)據(jù)可知，每分鐘的漏水量為6〃遼，

關于x的函數(shù)關系式為y=6x.

天=24小時=24X60分鐘=1440分鐘，

當尤=1440時，＞=6X1440=8640,

，這種漏水狀態(tài)下一天的漏水量為8640〃遼.

【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，要具備從復雜的題干中抽象出簡單的數(shù)學問題的能

力.

20.問題呈現(xiàn)：如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是斜邊上的中線.

求證：CD=yAB-

證明：延長CD至點E,使DE=CD,連接AE、BE...

（1）請根據(jù)提示，結合圖1,寫出完整的證明過程.

（2）結論運用：

①如圖2,一根長度固定的木棍A8斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，設木棍中

點為尸，若木棍A端沿墻下滑，B端隨之沿地面向右滑行在此滑動過程中，點尸到點。

的距離C.

A.變??；B.變大；C.不變；D.無法判斷.

②如圖3點。為菱形ABCO的對角線AC,8。的交點，過點C作CELA8于點E,連接

OE=2.則菱形-BCD的面積為12.

圖2船

證延長C。到點E,使DE=CD,連接AE,BE,求得CD=￡cE,根據(jù)

直角三角形的性質(zhì)得到推出四邊形ACBE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到

結論；

（2）連接。尸，利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到結論；

（3）由菱形的性質(zhì)得AB=BC=CD=AD,OA=OC,OB=OD,BD±AC,再由直角三

角形斜邊上的中線性質(zhì)得OE=OB=3,根據(jù)菱形的面積公式即可解決問題.

【解答】（1）證明：延長C。到點E,使DE=CD,連接AE,BE,

：CO是斜邊AB上的中線,

：.AD=BD,

，四邊形ACBE是平行四邊形,

VZACB=90",

，四邊形AC8E是矩形，

\'CE^AB,

：.CD=-AB-,

2

(2)解：如圖2,連接OP,

在Rt^AOB中，點P是AB的中點，

：.OP=—AB,

2

.?.在此滑動過程中，點P到點O的距離不變，

故答案為：C；

(3)解：???四邊形ABC。是菱形，

：.BD=2OD=6,

：.AB=BC^CD=AD,。8=。。=3,BD±AC,

VCELAB,

：.ZCEB=90°,

：.OE=—AC=2,

2

；.AC=4,

菱形ABC。的面積=」XC?2r>=」X4X6=12,

22

故答案為：12.

【點評】本題是四邊形的綜合題，考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、

勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出的長是解題的關鍵.

21.某校體育社團由于報名人數(shù)激增，決定從某體育用品店購買若干足球和籃球，用于日常

訓練.已知每個籃球的價格比每個足球的價格多30元，用900元購買足球的數(shù)量是用720

元購買籃球數(shù)量的2倍.

(1)求籃球和足球的單價各是多少？

(2)根據(jù)學生報名情況，社團需一次性購買籃球和足球共80個，且要求購買足球數(shù)量

不超過籃球數(shù)量的"I■請問社團購買多少個籃球時，能使購買費用最少？

【分析】(1)設足球的單價是龍元，則籃球的單價是(x+30)元，根據(jù)用900元購買足

球的數(shù)量是用720元購買籃球數(shù)量的2倍列出方程，解方程即可；

(2)設學?？梢再徺I機個籃球，則可以購買(WO-//?)個足球，購買費用為川元，根

據(jù)總費用=購買籃球和足球費用的和列出函數(shù)解析式，再根據(jù)購買足球數(shù)量不超過籃球

數(shù)量的求出加的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值.

解：(1)設足球的單價是尤元，則籃球的單價是(x+30)元，

根據(jù)題意，得駟■=」|上乂2,

xx+30

解得x=50,

經(jīng)檢驗，1=50是原方程的解，且符合題意，

x+30=80.

答：籃球的單價是80元，足球的單價是50元；

(2)設學校購買加個籃球，則購買足球(80-m)個，購買費用為w元，

貝！Jw=80m+50(80-m)=30加+4000,

??,購買足球數(shù)量不超過籃球數(shù)量的方，

80-m,

3

解得m260,

???左=30>0,

，當機=60時，w有最小值，最小值為5800元，

此時80-機=20,

答：社團購買60個籃球時費用最少，最少費用為5800元.

【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解

題的關鍵是：(1)找準等量關系，正確列出分式方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關系,

正確列出函數(shù)解析式.

22.如圖，已知反比例函數(shù)y工?(x>0)的圖象經(jīng)過點A(4,2),過A作AC_Ly軸于點

x

C.點B為該反比例函數(shù)圖象上的一點，過點3作軸于點。，連接AD.直線BC

與x軸的負半軸交于點E.

(1)求反比例函數(shù)表達式；

(2)若BD=20C,判斷四邊形ACE。的形狀，并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)題意直接利用待定系數(shù)法將A點坐標代入即可得出答案.

(2)由題意求出直線的解析式，可得E點坐標，求出。E,OC,AC,即可解決問題.

解：(1)把A(4,2),代入反比例函數(shù)的解析式得2#，

解得k=8,

???反比例函數(shù)表達式為：y-|.

(2)反比例函數(shù)表達式為：y-1,

VAC±y,BDLx,A(4,2),

；.AC=4,0C=2,

■:BD=20C,

：.BD=2X2=4,

???點B的縱坐標為4,代入y國中，得

解得x=2,

?：B(2,4),

?/C(0,2),設直線BC的解析式為y=fcc+b,

則有儼+b=4,

lb=2

解得卜=1,

lb=2

直線BC的解析式為y=x+2,

令y=0,得0=x+2,

解得尤=-2,

Z.C(-2,0),

:.DE=2-(-2)=4,

：AC=4,DE=4,AC//DE