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導(dǎo)數(shù)〔四〕1.函數(shù),,且在點(diǎn)〔1,〕處的切線方程為?!?〕求的解析式;〔2〕求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;〔3〕設(shè)函數(shù),假設(shè)方程有且僅有四個(gè)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍?!敬鸢浮俊?〕;〔2〕當(dāng),那么,無解,即無單調(diào)增區(qū)間,當(dāng),那么,即的單調(diào)遞增區(qū)間為,當(dāng),那么,即的單調(diào)遞增區(qū)間為;〔3〕【解析】試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義:曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處曲線切線的斜率,聯(lián)立方程組求解;(2)求導(dǎo),利用倒數(shù)分析單調(diào)性,注意一元二次不等式根的情形;〔3〕通過導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)單調(diào)性分析,結(jié)合圖像分析零點(diǎn)的問題試題解析:〔1〕,由條件,得,即,4分〔2〕由,其定義域?yàn)椋?,令,得?〕6分①假設(shè),那么,即的單調(diào)遞增區(qū)間為;7分②假設(shè),〔*〕式等價(jià)于,當(dāng),那么,無解,即無單調(diào)增區(qū)間,當(dāng),那么,即的單調(diào)遞增區(qū)間為,當(dāng),那么,即的單調(diào)遞增區(qū)間為10分〔3〕當(dāng)時(shí),,,令,得,且當(dāng),在上有極小值,即最小值為11分當(dāng)時(shí),,,令,得,①假設(shè),方程不可能有四個(gè)解;12分②假設(shè)時(shí),當(dāng),當(dāng),在上有極小值,即最小值為,又,的圖象如圖1所示,111111圖1從圖象可以看出方程不可能有四個(gè)解14分③假設(shè)時(shí),當(dāng),當(dāng),在上有極大值,即最大值為,又,的圖象如圖2所示,111111圖2從圖象可以看出方程假設(shè)有四個(gè)解,必須,綜上所述,滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是16分考點(diǎn):導(dǎo)數(shù),函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值2.設(shè)函數(shù)〔其中〕,,它們?cè)谔幱邢嗤那芯€.〔1〕求函數(shù),的解析式;〔2〕求函數(shù)在上的最小值;〔3〕判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】〔1〕.〔2〕;〔3〕函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).【解析】試題分析:(1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,確定切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值,得切線斜率,建立的方程組.(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根本步驟明確,此題中由于中的不確定性,應(yīng)該對(duì)其取值的不同情況加以討論.當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,得到.當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,得到;即.〔3〕由題意求導(dǎo)得,由,確定的單調(diào)區(qū)間:上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減根據(jù),得到函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).13分,即得所求.試題解析:(1),1分由題意,兩函數(shù)在處有相同的切線.,.3分(2),由得,由得,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.4分當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,∴.5分當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,;6分〔3〕由題意求導(dǎo)得,8分由得或,由得所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減10分11分12分故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).13分考點(diǎn):應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值,函數(shù)的零點(diǎn).3.,,且直線與曲線相切.〔1〕假設(shè)對(duì)內(nèi)的一切實(shí)數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;〔2〕當(dāng)時(shí),求最大的正整數(shù),使得對(duì)〔是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)〕內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有成立;〔3〕求證:.【答案】〔1〕〔2〕見解析〔3〕見解析【解析】〔1〕設(shè)點(diǎn)為直線與曲線的切點(diǎn),那么有.〔*〕,.〔**〕由〔*〕、〔**〕兩式,解得,.……………2分由整理,得,,要使不等式恒成立,必須恒成立.設(shè),,,當(dāng)時(shí),,那么是增函數(shù),,是增函數(shù),,.…5分因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.………6分〔2〕當(dāng)時(shí),,,在上是增函數(shù),在上的最大值為.要對(duì)內(nèi)的任意個(gè)實(shí)數(shù)都有成立,必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值,當(dāng)時(shí)不等式左邊取得最大值,時(shí)不等式右邊取得最小值.,解得.因此,的最大值為.………10分〔3〕證明〔法一〕:當(dāng)時(shí),根據(jù)〔1〕的推導(dǎo)有,時(shí),,即.………11分令,得,化簡(jiǎn)得,………………13分.………14分〔法二〕數(shù)學(xué)歸納法:當(dāng)時(shí),左邊=,右邊=,根據(jù)〔1〕的推導(dǎo)有,時(shí),,即.令,得,即.因此,時(shí)不等式成立.………………11分〔另解:,,,即.〕假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立,即,那么當(dāng)時(shí),,要證時(shí)命題成立,即證,即證.在不等式中,令,得.時(shí)命題也成立.………13分根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法,可得不等式對(duì)一切成立.…14分此題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用、不等式的求解與證明、數(shù)學(xué)歸納法等綜合知識(shí),考查學(xué)生的計(jì)算推理能力及分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)新意識(shí).4.設(shè)函數(shù)〔其中〕,,它們?cè)谔幱邢嗤那芯€.(1)求函數(shù),的解析式;(2)求函數(shù)在上的最小值;(3)假設(shè)對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1).(2);〔3〕滿足題意的的取值范圍為.【解析】試題分析:(1)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,確定切點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值,得切線斜率,建立的方程組.(2)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,根本步驟明確,此題中由于中的不確定性,應(yīng)該對(duì)其取值的不同情況加以討論.當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,得到.當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,得到;即.〔3〕構(gòu)造函數(shù),問題轉(zhuǎn)化成.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,即得所求.試題解析:(1),1分由題意,兩函數(shù)在處有相同的切線.,.3分(2),由得,由得,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.4分當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,∴.5分當(dāng)時(shí),在單調(diào)遞增,;6分〔3〕令,由題意當(dāng)7分∵恒成立,8分,9分,由得;由得∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增10分①當(dāng),即時(shí),在單調(diào)遞增,,不滿足.11分當(dāng),即時(shí),由①知,,滿足.12分③當(dāng),即時(shí),在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,滿足.綜上所述,滿足題意的的取值范圍為.13分考點(diǎn):應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、證明不等式,轉(zhuǎn)化與劃歸思想.5.函數(shù)f(x)=-x3+x2,g(x)=alnx,a∈R.(1)假設(shè)對(duì)任意x∈[1,e],都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求a的取值范圍;(2)設(shè)F(x)=假設(shè)P是曲線y=F(x)上異于原點(diǎn)O的任意一點(diǎn),在曲線y=F(x)上總存在另一點(diǎn)Q,使得△POQ中的∠POQ為鈍角,且PQ的中點(diǎn)在y軸上,求a的取值范圍.【答案】〔1〕(-∞,-1]〔2〕(-∞,0]【解析】(1)由g(x)≥-x2+(a+2)x,得(x-lnx)a≤x2-2x..由于x∈[1,e],lnx≤1≤x,且等號(hào)不能同時(shí)取得,所以lnx<x,x-lnx>0.從而a≤恒成立,a≤min.(4分)設(shè)t(x)=,x∈[1,e].求導(dǎo),得t′(x)=.(6分)x∈[1,e],x-1≥0,lnx≤1,x+2-2lnx>0,從而t′(x)≥0,t(x)在[1,e]上為增函數(shù).所以t(x)min=t(1)=-1,所以a的取值范圍是(-∞,-1].(8分)(2)F(x)=設(shè)P(t,F(xiàn)(t))為曲線y=F(x)上的任意一點(diǎn).假設(shè)曲線y=F(x)上存在一點(diǎn)Q(-t,F(xiàn)(-t)),使∠POQ為鈍角,那么<0.(10分)①假設(shè)t≤-1,P(t,-t3+t2),Q(-t,aln(-t)),=-t2+aln(-t)·(-t3+t2).由于<0恒成立,a(1-t)ln(-t)<1.當(dāng)t=-1時(shí)
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