2020年高考全國各地?cái)?shù)學(xué)（文科）真題分類匯編19個(gè)（解析版）

2020年高考全國各地?cái)?shù)學(xué)文科真題分類匯編（解析版）

專題一集合---------------------------------------------------------2

專題二函數(shù)---------------------------------------------------------7

專題三三角函數(shù)----------------------------------------------------25

專題四解三角形----------------------------------------------------31

專題五平面向量----------------------------------------------------40

專題六數(shù)列--------------------------------------------------------47

專題七不等式------------------------------------------------------63

專題八復(fù)數(shù)--------------------------------------------------------66

專題九導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用------------------------------------------------69

專題十算法初步----------------------------------------------------84

專題十一常用邏輯用語----------------------------------------------86

專題十二推理與證明------------------------------------------------88

專題十三概率統(tǒng)計(jì)--------------------------------------------------90

專題十四空間向量、空間幾何體、立體幾何---------------------------104

專題十五平面幾何初步-------------------------------------------129

專題十六圓錐曲線與方程-----------------------------------------135

專題十七計(jì)數(shù)原理-----------------------------------------------158

專題十八不等式選講---------------------------------------------160

專題十九坐標(biāo)系與參數(shù)方程-----------------------------------------164

專題一集合

(2020?全國I卷)已知集合4={X，一3%-4<0},8={-4,1,3,5},則48=()

A.{T,l}B.{1,5}

C.{3,5}D.{1,3}

【答案】D

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合A,之后利用交集中元素的特征求得AB,得到結(jié)果.

【詳解】由/一31一4<0解得T<x<4,

所以A={x|-l<x<4},

又因?yàn)?={T,1,3,5},所以A8={1,3},

故選：D.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交

運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.

(2020?全國H卷).已知集合A={x||M<3,xWZ},B={x||x|>l，x&Z},則4nB=()

A.0B.{-3,-2,2,3)

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

解絕對值不等式化簡集合A8的表示，再根據(jù)集合交集的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】因?yàn)?={x|W<3,xeZ}={—2,—1,0,1,2},

6={*卜|>l,xeZ}={x|x>l或x<-l,xwZ},

所以A5={2,-2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查絕對值不等式的解法，考查集合交集的定義，屬于基礎(chǔ)題.

(2020?全國m卷)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},則ACB中元素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

采用列舉法列舉出A8中元素的即可.

【詳解】由題意，A={5,7,11),故A5中元素的個(gè)數(shù)為3.

故選：B

【點(diǎn)晴】本題主要考查集合交集運(yùn)算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易題.

【2020?新高考全國卷I+H(山東+海南)】設(shè)集合A={x|lSE3},B={x|2v<4},則AUB=()

A.{x|2<x<3}B.{%|2<t<3}

C.{x|l<x<4}D.{x|l<x<4}

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)集合并集概念求解.

【詳解】AUB=[1,3]U(2,4)=[1,4)

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查集合并集，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

(2020?天津)設(shè)全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},6={-3,0,2,3},則4(。/)=

()

A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}D.{-3-2,-1,1,3)

【答案】C

【解析】

【分析】

首先進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得集合的運(yùn)算結(jié)果.

【詳解】由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知：率3={—2,—1,1},則A(^5)={-1,1}.

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)集運(yùn)算，交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

(2020?浙江)已知集合P={x[l<x<4},。={2<%<3},則PQ=()

A.{x|l<x<2}B.{x|2<x<3}

C.{x|2<x<3}D.{x[l<x<4}

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)集合交集定義求解.

【詳解】Plr=(l,4)I(2,3)=(2,3)

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

（2020?浙江）設(shè)集合S,T,S=N*,TIN*,S,T中至少有兩個(gè)元素，且5,T滿足:

①對于任意x,yeS,若燈:“都有AyeT

②對于任意x,T,若x<y,則上eS；

x

下列命題正確的是（）

A.若S有4個(gè)元素，則SUT有7個(gè)元素

B.若S有4個(gè)元素，則SUT有6個(gè)元素

C.若S有3個(gè)元素，則SUT有4個(gè)元素

D.若S有3個(gè)元素，則SUT有5個(gè)元素

【答案】A

【解析】

【分析】

分別給出具體的集合S和集合T,利用排除法排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后證明剩余選項(xiàng)的正確性即可.

【詳解】首先利用排除法：

若取S={1,2,4},則7={2,4,8},此時(shí)ST={1,2,4,8},包含4個(gè)元素，排除選項(xiàng)。；

若取S={2,4,8},則T={8,16,32},此時(shí)ST={2,4,8,16,32},包含5個(gè)元素,排除選項(xiàng)C；

若取S={2,4,8,16},則丁={&163264,128},此時(shí)ST={2,4,8,16,32,64,128},包含7個(gè)元素，排

除選項(xiàng)B；

下面來說明選項(xiàng)4的正確性：

設(shè)集合5={〃],〃2，〃3，〃4}，且Pl<P2<P3<P4，P1，P2，P3，〃4WN*，

則P/2<P2P4,且P〃2，P2P4GT，則與CS，

Pl

同理區(qū)GS,—eS,-eS,—eS,—eS,

PiP?PlPlPl

若小=1,則。222,則皆<，3,故，*="2即P3=P；，

又。4>&>乙>1，故'=2=。2，所以04=6，

PlP3P3P2

故5={1，P2，P；，P：}，此時(shí)P：WT，P2WR.故〃；eS,矛盾，舍.

若PiN2,則上<上<，3，故上=，2，上=Pi即Pa=P；，P，=P；，

PIPiPiPi

又「4＞紅＞紅＞區(qū)＞1,故f=華=Pl,所以〃4=〃；，

PlP2Pi

故S=｛P1,P；,p；,p：｝,此時(shí)｛p：,P：,P：,P：,p：｝=T.

若qGT,則故4=p；,i=l,2,3,4,故q=p「3,j=i,2,3,4,

P\P\

即gw{p]3,p：,p；,p：,p；},故{p：,p：,p：,p；,p；}=T,

此時(shí)SuT={8,,p：,P：,",P：,〃；}即ST中有7個(gè)元素.

故A正確.

考查集合中含有3個(gè)元素的情形，我們用反證法證明集合S中的任意兩個(gè)元素均具有倍數(shù)關(guān)系.

不妨則設(shè)5={〃],〃2，〃3}(〃1<〃2<〃3)，其中P3P2,P3GN*,且P],2，。3之間不具有倍數(shù)關(guān)系，

則7={〃]〃2，〃2〃3，〃3，1}，此時(shí)由對于任意x,yWT,若x<y,則可得:

，馬,2?，&[qs,這與集合中的元素均為正整數(shù)矛盾，可見假設(shè)不成立，

IP1PiPlJ

即集合s中的任意兩個(gè)元素均具有倍數(shù)關(guān)系.

同理可得四個(gè)元素的集合S中任意兩個(gè)元素均具有倍數(shù)關(guān)系.

不妨設(shè)集合s={加"，加加3“，加4“},其中相且見eeN*,

此時(shí)易知T={m%,m4\m5a,加6a,他7a},故$T={加"，機(jī),機(jī)3a,機(jī)4a,m5a,m6a,m7a},

即集合ST中含有7個(gè)元素.

故選：A.

【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去

解決問題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看

本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說“新題”不一定是"難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝

法寶.

（2020?江蘇）已知集合4={-1,0,1,2},3={0,2,3},則AB=,

【答案】{0,2}

【解析】

【分析】

根據(jù)集合的交集即可計(jì)算.

【詳解】?.?A={T,0,l,2},8={0,2,3}

二AI5={0,2}

故答案為：{052}.

【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題型.

（2020?北京）已知集合4={-1,0,1,2},3={x[0<x<3},則A8=（）.

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1,2}D.{1,2}

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)交集定義直接得結(jié)果.

【詳解】AIB={-1,0,1,2)I(0,3)={1,2},

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

專題二函數(shù)

（2020?全國I卷）某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：℃）的關(guān)系，在

20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（x,,y,）（i=l,2,,20）得到下面的散點(diǎn)圖：

100%

80%

於

出60%

我40%

20%

0

由此散點(diǎn)圖，在10。（2至40。（：之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型

的是（）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+beKD.y=a+b\nx

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.

【詳解】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象附近，

因此，最適合作為發(fā)芽率＞和溫度x的回歸方程類型的是y=a+blnx.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)模型的選擇，主要觀察散點(diǎn)圖的分布，屬于基礎(chǔ)題.

(2020?全國I卷)設(shè)“l(fā)og34=2,則4'=()

1111

A.—B.一C.一D.-

16986

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題中所給的式子，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，得到log34"=2,即4"=9,進(jìn)而求得4-"=",得到

結(jié)果.

【詳解】由〃1%4=2可得10834"=2,所以4"=9，

所以有4一"=[,

故選：B.

【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)指對式的運(yùn)算的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有對數(shù)的運(yùn)算法則，指數(shù)的運(yùn)算法則，

屬于基礎(chǔ)題目.

2x+y-2<0,

（2020?全國I卷）若x,），滿足約束條件<x-y-l>0,則z=x+7y的最大值為.

J+1N0,

【答案】1

【解析】

【分析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.

【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，

汀

目標(biāo)函數(shù)Z=X+7y即：=-yX+yZ,

其中Z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在.V軸上的截距最大,

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知H標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，

2x+y-2=0

聯(lián)立直線方程:可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：A(l,0),

x—y—1=0

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：22=1+7x0=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)Z=ox+辦①屏0)的最值，當(dāng)/>>0時(shí)，宜線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)?，Z值

最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最?。寒?dāng)/?<()時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸

上截距最小時(shí)，z值最大.

(2020?全國II卷)在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，

由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓

500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05,志愿者每人每天能完成50份訂單的配

貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者()

A.10名B.18名C.24名D.32名

【答案】B

【解析】

【分析】

算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.

【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為500+1600—1200=900,設(shè)需要志愿者x名，

5Ox

麗20.95,xN17.1,故需要志愿者18名.

故選：B

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(2020?全國II卷)設(shè)函數(shù)/(無)=Y--^則/⑴()

A.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

C.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞減

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的定義域?yàn)椋鸕XHO｝,利用定義可得出函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性法則，即可解出.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=x3—｝定義域?yàn)椋鹸|x#o｝,其關(guān)于原點(diǎn)對稱，而/(T)=—/(X)，

所以函數(shù)/(X)為奇函數(shù).

又因?yàn)楹瘮?shù)y=》3在(0,+?)上單調(diào)遞增，在(-?,0)上單調(diào)遞增，

而y=g=x-3在((),+?)上單調(diào)遞減，在(-?,0)上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)〃%)=/一5在(0,+?)上單調(diào)遞增，在(-?,0)上單調(diào)遞增.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查利用函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

(2020?全國n卷)若2"-2><3一、一37，則()

A.ln(y—x+l)>()B,ln(y-x+l)<0C,ln|x-y|>0D.ln|x-y|<()

【答案】A

【解析】

【分析】

將不等式變?yōu)?'-37<2>-3-‘，根據(jù)/'(。二)一3T的單調(diào)性知x<y,以此去判斷各個(gè)選項(xiàng)中真數(shù)與1

的大小關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)果.

【詳解】由2*—2y<3-x-3小得:2*—3T<2>-3->，

令〃/)=2T,

y=2"為R上的增函數(shù)，y=3-'為R上的減函數(shù)，為R上的增函數(shù)，

二x<y,

Qy-x>0,y-x+l>\,.,.ln(y-x+l)>0,則A正確，B錯(cuò)誤；

Q|x-y|與1的大小不確定，故CD無法確定.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)式的大小的判斷問題，解題關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，利用函數(shù)的單調(diào)性得

到X，y的大小關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

x+y>-1,

（2020?全國n卷）若x,y滿足約束條件,X—>2—1,則z=x+2y的最大值是.

2x-y<\,

【答案】8

【解析】

【分析】

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后平移直線y=-在平面區(qū)域內(nèi)找到一點(diǎn)使得

直線y=-1x+!z在縱軸上的截距最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中即可.

22

【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橄聢D所示：

平移直線》=—當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=-gx+：z在縱軸上截距最大,

x-y=-1fx=2

此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)是方程組1°-，的解，解得：《.

[2x-y=l[y=3

因此z=x+2y的最大值為：2+2x3=8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

（2020?全國HI卷）Logis血模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城.有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立

了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)/⑺”的單位：天）的Logistic模型：?，）=]+e嘉（T3），其中K為最大確

診病例數(shù).當(dāng)Q*）=0.95K時(shí)，標(biāo)志著己初步遏制疫情，則f*約為（）（Ini耿3）

A.60B.63C.66D.69

【答案】C

【解析】

【分析】

將r=f*代入函數(shù)/。）=]+,*司結(jié)合/（r*）=0.95K求得/*即可得解.

【詳解】（）=I+WE所以i+=0-95K,則/f=]9,

所以，（）.23（r*—53）=lnl9a3,解得f*。工+53。66.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查指數(shù)與對數(shù)的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

2

（2020?全國III卷）設(shè)〃=log32,Z?=log53,c=—,貝lj（）

A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】

3

分別將改寫為a=§log32）&=-log53,再利用單調(diào)性比較即可.

【詳解】因?yàn)閍=；log323<b=^10§533>^lo§525=|=c'

所以

故選：A

【點(diǎn)晴】本題考查對數(shù)式大小的比較，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與回歸的思想，是一道中檔題.

（2020?全國III卷）已知函數(shù)“￥）=sinx+---,則（）

sinx

A.1式）的最小值為2B./U）的圖像關(guān)于y軸對稱

C.7U）的圖像關(guān)于直線1="對稱D]x）的圖像關(guān)于直線x對稱

【答案】D

【解析】

汀

【分析】

根據(jù)基本不等式使用條件可判斷A;根據(jù)奇偶性可判斷B;根據(jù)對稱性判斷C,D.

【詳解】sinx可以為負(fù)，所以A錯(cuò)；

Qsinx工0xNk兀(kGZ)Qf(-x)=-sinx-------=-/(x).1.fM關(guān)于原點(diǎn)對稱；

sinx

Q/<2乃一x)=-sinx----—豐/(%),于(兀-x)=sinxd———=/(x),故B錯(cuò)；

sinxsinx

???/(x)關(guān)于直線x對稱，故C錯(cuò)，D對

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域與最值、奇偶性、對稱性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.

'x+y>0,

(2020?全國HI卷)若x,y滿足約束條件<2x-yZ0,,則z=3x+2y的最大值為.

x<1,

【答案】7

【解析】

【分析】

作出可行域，利用截距的幾何意義解決.

【詳解】不等式組所表示的可行域如圖

3Y27

因?yàn)閦=3x+2y,所以y=?易知截即Q越大，則z越大，

3r3xz

平移直線y=-3，當(dāng)丁二-彳+,經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大,

y=2xx=\

由V得《…A(l,2),

x=l[y=2

所以Zmax=3xl+2x2=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)晴】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，涉及到求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，

是一道容易題.

[2020?新高考全國卷I+11(山東+海南)】基本再生數(shù)Ro與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).

基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初

始階段，可以用指數(shù)模型：/?)=e"描述累計(jì)感染病例數(shù)/⑺隨時(shí)間4單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率，?

與Ro,T近似滿足R)=l+”.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出品=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累

計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2R.69)()

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得==e°w,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為6天,

根據(jù))=2e°38,,解得4即可得結(jié)果.

028—1

【詳解】因?yàn)?=3.28,T=6,q=1+/T,所以r=：—=0.38,所以=;『黝，

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為％天，

則*38（，+4）=2*38,,所以=2,所以0.38/,=In2,

In20.69

所以4=“8天.

038038

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

【2020?新高考全國卷1+II(山東+海南)】信息嫡是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的

取值為1,2,,〃，且P(X=i)="0(i=l,2,=定義X的信息熠"(X)=-fp,」og2P()

i=\

A.若〃=1,則H(X)=0

B.若”=2,則"(X)隨著生的增大而增大

C.若p,=L(i=l,2,,”)，則"(X)隨著〃的增大而增大

n

D.若〃=2”隨機(jī)變量y所有可能的取值為1,2,,m,且Pd/APj+N+fC/f：,,加)，則”(X)學(xué)⑺

【答案】AC

【解析】

【分析】

對于A選項(xiàng)，求得H(X),由此判斷出A選項(xiàng)的正確性.對于B選項(xiàng)，利用特殊值進(jìn)行排除.對于C選項(xiàng)，

計(jì)算出“(X),由此判斷出C選項(xiàng)的正確性.時(shí)于D選項(xiàng)，計(jì)算出H(X),H(y),由此判斷出D選項(xiàng)的正

確性.

【詳解】對于A選項(xiàng)，若〃=1,則i=l,P1=l,所以H(x)=—(lxlog21)=0,所以A選項(xiàng)正確.

對于B選項(xiàng)，若〃=2,則i=l,2,“2=1一〃I，所以

=P\+。一Pi>log2(l一Pl)］，

1(i133A

當(dāng)Pi=a時(shí)，^w=x-^-lo^4+4'log27/

當(dāng)Pl=W3時(shí)，"(x)=-1(/3l°g213+屋1l°g211、J，

兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對于C選項(xiàng)，若Pj=1,2,,〃)，則

n

//(X)=-f--log,-^xn=-log2-=log,n,

\nn)n

汀

則”(x)隨著〃的增大而增大，所以c選項(xiàng)正確.

對于D選項(xiàng)，若〃=2機(jī)，隨機(jī)變量y的所有可能的取值為1,2,，機(jī)，且P(y=/)=Pj+P2,“+T

(J=1,2,,m).

2m2mj

"(X)=—X〃,」Og2P,=Z〃1l°g2一

f=li=lPi

I111I1I1

=P\,1°§2—+Pl-1°§2—++〃2吁「l°g2-----+Pim'1°§2-----

PlPlP91Pl,n

”(y)=(PI+“2,"),log?---+(02+P2E).log?---------++(P,“+P,"+J,10g2—1-

7

A+Pl,nP2+P2MTP,n+Pm+\

,1,1,1,1

P\-log2--------+p2-log2----------++p2m_i-log2----------+p2?,-log2--------

P\+Pl,,,P2+P2MTPl+Plm-1Pl+P2m

,、11,1.1

由于月>0(i=l,2,,2m),所以一>----------,所以log2—>】og2-----------

,7PiP,+〃2,.+lTPiPi+P2,"+I

,1,1

所以化,log2—>P,'log2----------

PiPi+P2m+I

所以“(x)>”(y),所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】本小題主要考查對新定義“信息烯'’的理解和運(yùn)用，考查分析、思考和解決問題的能力，屬于難題.

【答案】A

【解析】

【分析】

由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.

【詳解】由函數(shù)的解析式可得：/(-力="1=-/(無)，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)

對稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；

4.

當(dāng)尤=1時(shí)，y=---=2>0,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

1+1

故選：A.

【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，

判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.(4)

從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng).

（IA-0-8

（2020?天津）設(shè)〃=3°Lh=\-,c=log070.8，則的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.h<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】

利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出a,h,c的大小關(guān)系.

【詳解】因?yàn)閍=3°7>l，

h=-=3°￡>3°7=a,

c-log070.8<log070.7=1,

所以c<l<a<b.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)塞和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍.

比較指對某形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：

(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y="，當(dāng)”＞1時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)遞減；

(2)利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：y=\ogax,當(dāng)。＞1時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)0＜。＜1時(shí)，函數(shù)遞減；

(3)借助于中間值，例如：0或1等.

(2020?天津)已知函數(shù)/(x)=,"'若函數(shù)g(x)=/(x)-忖2-2乂(ZeR)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則

—x,x＜0.

k的取值范圍是()

A.^—00,——(2＞/2,+co)B.

C.(YO,0)(0,2揚(yáng)D.S,0)(2及收)

【答案】D

【解析】

【分析】

由g(0)=0,結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為＞=1履一2|與力(乃=答有3個(gè)不同交點(diǎn)，分％=0,左＜0/＞0

\x\

種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.

【詳解】注意到g(0)=0,所以要使g(x)恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程I履-2|=獸恰有3個(gè)實(shí)根

\x\

即可，

令〃(幻=誓，即＞=|日—21與//(x)=答的圖象有3個(gè)不同交點(diǎn).

\x\\x\

2

因?yàn)?z(x)=￥?=<x,x>0

kl1,x<0

當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)y=2,如圖1,y=2與〃。)=乎?有2個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意;

\x\

f（x）

當(dāng)k<0時(shí)，如圖2,此時(shí)y=|"一2|與力（x）=—恒有3個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意;

|x|

當(dāng)人>0時(shí)，如圖3,當(dāng)>=h-2與y=V相切時(shí)，聯(lián)立方程得——丘+2=0,

令A(yù)=0得攵2一8=0，解得左=2夜（負(fù)值舍去），所以4〉2夜.

綜上，%的取值范圍為（YO,0）（2正,+?）.

【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.

x-3y+l<0

（2020?浙江）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件<則z=2x+y的取值范圍是（)

x+y—320

A.(-oo,4]B.[4,+oo)C.[5,+oo)D.(-oo,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定目標(biāo)函數(shù)在何處能夠取得最大值和最小值從而確定目

標(biāo)函數(shù)的取值范圍即可.

【詳解】繪制不等式組表示平面區(qū)域如圖所示,

其中Z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大,

z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，

據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值，

x-3y+l=0

聯(lián)立直線方程:,可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：A（2,l）,

x+y—3=0

據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為；zmin=2+2xl=4

且目標(biāo)函數(shù)沒有最大值.

故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是［4,+8）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)2="+力（”厚0）的最值，當(dāng)方＞0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，Z值

最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最??；當(dāng)。＜0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸

上截距最小時(shí)，z值最大.

（2020?浙江）函數(shù)）=xcosx+sinx在區(qū)間［-兀，+兀］的圖像大致為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

首先確定函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合函數(shù)在1=%處的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖像.

【詳解】因?yàn)?(x)=xcosx+sinx,則/'(-x)=-xcosx—sinx=-f(x),

即題中所給的函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，

據(jù)此可知選項(xiàng)錯(cuò)誤：

且x="時(shí)，y=7rcos7T+sin；T=-;r<0,據(jù)此可知選項(xiàng)8錯(cuò)誤.

故選:A.

【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，

判斷圖象的上下位置.(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢.(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.(4)

從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng).

(2020?浙江)已知a,Z>eRKab/0,若(x-a)(x-b)(x-24-b巨0在應(yīng)0上恒成立，則()

A.a<0B.a>0C.b<0D.h>0

【答案】C

【解析】

【分析】

對。分。>0與。<0兩種情況討論，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.

【詳解】因?yàn)樗?。?且。WO,設(shè)/(x)=(x—a)(x-))(x—2.一切，則f(x)的零點(diǎn)

為％—a,x2=b,x3—2a+b

當(dāng)。＞0時(shí)，則工2＜毛，玉＞°，要使/(x)?O，必有,2a+8=a,且b＜0,

即b=-a,且匕＜0,所以6＜0；

當(dāng)。＜0時(shí)，則%＞工，大＜0，要使/(X)2O，必有b＜0.

綜上?定有。＜0.

故選：C

【點(diǎn)晴】本題主要考查三次函數(shù)在給定區(qū)間上恒成立問題，考查學(xué)生分類討論思想，一道中檔題.

(2020?江蘇)已知)，=心)是奇函數(shù)，當(dāng)這0時(shí)，〃x)=涓，則斤8)的值是.

【答案】-4

【解析】

【分析】

先求/(8),再根據(jù)奇函數(shù)求/(一8)

2

【詳解】68)=后=4,因?yàn)?*)為奇函數(shù)，所以/(一8)=-/⑻=一4

故答案為：-4

【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

(2020?北京)已知函數(shù)/(%)=2'-％-1,則不等式/(x)＞0的解集是().

A.(-1,1)B.(F,-D(1,+w)

C.(0,1)D.S,0)51,田)

【答案】D

【解析】

【分析】

作出函數(shù)y=2、和y=x+1的圖象，觀察圖象可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)椤?2*-%—1,所以/(x)＞0等價(jià)于2*＞x+l，

在同一直角坐標(biāo)系中作出y=2*和y=x+l的圖象如圖：

汀

兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,（1,2）,

不等式2*>x+l的解為x<0或無>1.

所以不等式/（力>0的解集為：（F,0）D（1,+8）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了圖象法解不等式，屬于基礎(chǔ)題.

（2020?北京）.函數(shù)/（x）=」一+ln無的定義域是____________.

x+1

【答案】（。,+8）

【解析】

【分析】

根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.

x>0

【詳解】由題意得〈，：.x>0

X+1H0

故答案為：（0,小）

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

（2020?北京）為滿足人民對美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)

要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水摔放量W與時(shí)間r的關(guān)系為w=/（r）,用一八"）一”①的大小評價(jià)在切這

b-a

段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.

給出下列四個(gè)結(jié)論：

①在［彳4］這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

②在芍時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；

③在4時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；

④甲企業(yè)在［0/J［32］，也，4］這三段時(shí)間中，在［0/J的污水治理能力最強(qiáng).

其中所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】①②③

【解析】

【分析】

根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果

【詳解】-八",3）表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù),

b-a

在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比

乙企業(yè)強(qiáng)：①正確；

甲企業(yè)在［0,4］,在1/2］，&2，/3］這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大,

即在，山］的污水治理能力最強(qiáng).④錯(cuò)誤；

在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企

業(yè)強(qiáng)；②正確；

在八時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；

故答案為：①②③

【點(diǎn)睛】本題考查斜率應(yīng)用、切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識(shí)別能力，屬中檔題.

專題三三角函數(shù)

TT

（2020?全國I卷）設(shè)函數(shù)/（x）=cos（ox+z）在［―兀兀］的圖像大致如下圖，則於）的最小正周期為（）

6

/\/r

IOTT7n

A.——B.—

96

4兀3兀

C.—D.—

32

【答案】C

【解析】

【分析】

結(jié)合（一笥,0）是函數(shù)/（X）圖象

由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)（一即可得到cos1—1-3+不）=0

47rTt713

與X軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)即可得到-----?+-=——，即可求得0=二二，再利用三角函數(shù)周期公式即可

9622

得解.

【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點(diǎn)0）,

（47r7T、

將它代入函數(shù)/（X）可得：cosl一---69+—1=0

又一K'°是函數(shù)/（尤）圖象與％軸負(fù)半軸的第一個(gè)交點(diǎn)，

19J

47r7T7t3

所以-----CD-\---=----,解得：（D—-

9622

汀

2〃_2〃_4〃

所以函數(shù)r（x）的最小正周期為"=了=3=7

2

故選：c

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.

2

（2020?全國H卷）若sinx=—,則cos2x=_________.

3

【答案】"

【解析】

【分析】

直接利用余弦的二倍角公式進(jìn)行運(yùn)算求解即可.

2Q1

（詳解】cos2x=l-2sin2x=l-2x（--）2=1--=—,

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

（2020?全國IH卷）已知sin0+sin（6?+?=l,則$也（。+3）=（）

1J32J2

A.—B.幺C.-D.—

2332

【答案】B

【解析】

【分析】

將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)式的值.

【詳解】由題意可得：