《樣本的數(shù)字特征》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第一冊北師大】

《樣本的數(shù)字特征》教學(xué)設(shè)計

?教學(xué)目標(biāo)

1.握基本數(shù)字特征的概念、意義以及它們各自的特點.

2.能準(zhǔn)確地計算出樣本的數(shù)字特征.

3.能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均

數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)；建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從不同的角度進行邏輯推理，從而作出合理的解釋與

決策；認(rèn)識統(tǒng)計的作用，感受統(tǒng)計在實際問題中的應(yīng)用價值

4.經(jīng)歷樣本的數(shù)字特征的生成、處理過程，加強數(shù)學(xué)運算能力的同時，在實際問題中會

用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征，領(lǐng)悟”用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計思想.

?教學(xué)重難點

________________

重點：用樣本數(shù)字特征估計總體數(shù)字特征，初步掌握樣本估計總體的思想.

難點：多角度認(rèn)識樣本數(shù)字特征，解決簡單的實際問題.

?教學(xué)過程

一'、新課導(dǎo)入

情境：在智慧城市建設(shè)領(lǐng)域，科大訊飛秉持“用A.I.建設(shè)美好城市”的使命，打造

城市超腦賦能城市智慧化發(fā)展.銅陵城市超腦基于互聯(lián)網(wǎng)、物聯(lián)網(wǎng)的基礎(chǔ)設(shè)施，在統(tǒng)一的時

空坐標(biāo)體系上匯聚城市數(shù)據(jù)，利用人工智能發(fā)掘數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)關(guān)系，開展即時分析和模擬仿真,

進而促進物理現(xiàn)實城市的公共資源優(yōu)化配置、社會管理精細(xì)有序、居民生活質(zhì)量提升、城市

高效運行和可持續(xù)發(fā)展.

說一說：超腦需要大數(shù)據(jù)，才能做出準(zhǔn)確恰當(dāng)?shù)呐袛噍o助生活，那生活中還遇到其他的

數(shù)據(jù)應(yīng)用實例么？

答：天氣、股市指數(shù)、乒乓球運動員的統(tǒng)計排名等.

思考：什么是統(tǒng)計呢？

統(tǒng)計是一門用科學(xué)的方法收集、整理、分析數(shù)據(jù)，提取有用的信息，作出推斷和決策的

學(xué)科.在終極的分析中，全部知識都是歷史；在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)；在理性

的基礎(chǔ)上，所有判斷都是統(tǒng)計.一勞(CalyampudiRadhakrishnaRao,1920—)

二、新知探究

問題1:前幾節(jié)我們學(xué)習(xí)統(tǒng)計過程的哪些內(nèi)容？

答：

-普查

.抽查f抽樣f簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣

一條形統(tǒng)計圖、頻率分布表

-頻率分布直方圖、頻率折線圖

用樣本的分布估計總體分布，那么樣本就要代表總體，即樣本的分布與總體分布近似相

同.根據(jù)初中已經(jīng)學(xué)過的知識，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)確定后，就可以計算這些數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、

極差、方差等.它們從不同的角度反映了數(shù)據(jù)的數(shù)字特征.

實例回顧.

某賽季籃球運動員甲每場比賽的得分(單位：分)情況如表:

比賽

12345678910111213

場次

得分12243115362550353144394136

求在該賽季比賽中，這名運動員得分情況的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差.

解：平均數(shù)元=翅+/-3=12+2；；-+36=詈_32.23(分)；

中位數(shù)35分，眾數(shù)31分、36分，極差：50-12=38(分)；

方差$2_(X]X)2+(XzX)2~l13T產(chǎn)

(12-32.23產(chǎn)+(24-32.23)2+-+(36-32.23)2

=---------------------------------------------------------------------------?110.95

標(biāo)準(zhǔn)差sx10.53分.

深化概念

1.平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、極差的定義

(1)平均數(shù)：若幾個數(shù)分別為的，x2...,xn,則―=~+犯；-+工”稱為這幾個數(shù)的平均數(shù).

(2)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

(3)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，處在中間位置(或中間兩個數(shù)的平

均數(shù))的數(shù).

(4)極差：一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為這組數(shù)據(jù)的極差.(表示這組數(shù)據(jù)之間

的差異情況)

目斗(次一為斗…十(今「為：

2.方差：s2=(XL其中，x(Z=1,2,n)是樣本數(shù)據(jù)，n

n1

是樣本容量，尤是樣本平均數(shù).

3.標(biāo)準(zhǔn)差：s=-一藥+區(qū)-郎+…墳衛(wèi)

7n

方差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度和離散程度的大

小:方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小、方差的取值范圍是

[0,+oo).

問題2：這幾個數(shù)字特征的具體含義是什么？

答：平均數(shù)是指這組數(shù)據(jù)的平均值.一般地，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，“中

間”的那個數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，它使數(shù)據(jù)被分成的兩部分的數(shù)據(jù)量是一樣的.眾數(shù)是

指這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).在統(tǒng)計中，平均數(shù)是最常用的量.但有時候，如數(shù)據(jù)中

個別數(shù)據(jù)特別大或特別小時，用中位數(shù)會更合理.極差和方差、標(biāo)準(zhǔn)差都刻畫數(shù)據(jù)的離散

程度.極差是數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差，它計算簡單，但沒有充分利用其他數(shù)據(jù).方差與

標(biāo)準(zhǔn)差刻畫的是數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的離散程度.

問題3：為什么有了方差還要出現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)差呢？

答：由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)單位的平方，而刻畫離散程度的一種理想度量應(yīng)當(dāng)具有

與原始數(shù)據(jù)相同的單位.

統(tǒng)計是一門用科學(xué)的方法收集、整理、分析數(shù)據(jù)，提取有用的信息，作出推斷和決策的

學(xué)科.然而，我們已經(jīng)掌握了用科學(xué)的方法收集、整理數(shù)據(jù)，接下來我們一起來通過幾個實

例體驗怎樣分析數(shù)據(jù)，提取有用信息，幫助我們作出科學(xué)的推斷與決策.

實例分析

在1996年美國亞特蘭大奧運會上，中國香港帆板運動員李麗珊，以驚人的耐力和斗志,

勇奪金牌，實現(xiàn)了中國香港體育史上奧運金牌零的突破.這枚金牌能在比賽過程中預(yù)測出來

嗎？在帆板比賽中，成績以低分為優(yōu)勝，共賽11場，并以最佳的9場成績計算最終的名次.

此次比賽前7場比賽結(jié)束后，排名前5位的選手積分如表：

比賽場次

排名運動員總分

1234567891011

1李麗珊（中國香港）322212722

2簡度（新西蘭）2361105532

3賀根（挪威）784431835

4威爾遜（英國）5514556444

5李科（中國）135927646

根據(jù)前7場的比賽結(jié)果，能否預(yù)測誰將獲得最后勝利？

問題4：預(yù)測勝利需要那些數(shù)據(jù)？

答：分別計算5位運動員前7場比賽積分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，作為判斷各運動員比賽的

成績及穩(wěn)定情況的依據(jù)，結(jié)果如表.

排名運動員平均得分得分標(biāo)準(zhǔn)差

1李麗珊（中國香港）3.141.73

2簡度（新西蘭）4.572.77

3賀根（挪威）5.002.51

4威爾遜（英國）6.293.19

5李科（中國）6.573.33

問題5：為什么要通過前7場的比賽結(jié)果來預(yù)測？用前3場的比賽成績來預(yù)測可否？用

11場比賽的成績來預(yù)測可否？

答：選取樣本應(yīng)具有合理性和代表性，7場賽程過了一大半，具備預(yù)測性；前3場的樣

本代表性不足，預(yù)測的結(jié)果可能會有較大的誤差；11場就不是預(yù)測了，結(jié)果已經(jīng)確定.

問題6：根據(jù)數(shù)據(jù)，我們可以得到什么樣的預(yù)測結(jié)果？

答:從表中可以看出：李麗珊的平均得分及得分標(biāo)準(zhǔn)差都比其他運動員的小，也就是說，

在前7場的比賽過程中，她的成績最為優(yōu)異，而且表現(xiàn)也最為穩(wěn)定.

盡管此時還有4場比賽沒有進行，但可以假定每位運動員在各自的11場比賽中發(fā)揮的

水平大致相同（實際情況也確實如此），因而可以把前7場比賽的成績作為總體的一組樣

本，并由此估計每位運動員最后比賽的成績.所以，有足夠的理由相信李麗珊在后面的4場

比賽中會繼續(xù)保持優(yōu)異而穩(wěn)定的成績，獲得最后的冠軍.

根據(jù)運動員的現(xiàn)有比賽成績，從平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差兩個方面進行分析，對運動員的運動成

績進行預(yù)測，是數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的具體應(yīng)用.當(dāng)然，事實也進一步驗證了這一預(yù)測，李麗珊正

是憑著自己優(yōu)異而穩(wěn)定的表現(xiàn)，成為中國香港首位奧運金牌得主.

有甲、乙兩名射擊運動員，10次射擊成績（單位：環(huán)）如表

次數(shù)12345678910

甲77898910999

乙89781071010710

現(xiàn)要從兩名運動員中選拔一人參加比賽，根據(jù)兩名運動員的運動成績，如何進行選拔?

分析要從兩名運動員中選拔一人參加比賽，首先應(yīng)該根據(jù)不同的要求和狀況確定選拔的

標(biāo)準(zhǔn)，然后再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)和運動員的成績進行決策.

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)不同時，人們的決策會隨之發(fā)生改變.

情境1如果10次射擊成績中，前9次都是個人獨自進行訓(xùn)練的成績，最后一次是教練

在場的射擊成績，那么作為教練員，你最有可能根據(jù)什么成績作為選拔的標(biāo)準(zhǔn)？

在情境1中，教練員可能會制訂這樣的標(biāo)準(zhǔn)，即標(biāo)準(zhǔn)1：以兩名運動員的最后一次射擊

成績作為評價標(biāo)準(zhǔn)，選擇成績較高者參賽.據(jù)此，顯然應(yīng)選擇乙參加比賽.

情境2如果這10次射擊成績是大型比賽選拔賽中的射擊成績，作為教練員，你可能怎

樣制訂選拔標(biāo)準(zhǔn)？

在情境2中，教練員可能會制訂這樣的標(biāo)準(zhǔn)，即標(biāo)準(zhǔn)2：以兩名運動員10次射擊成績

的眾數(shù)作為評價標(biāo)準(zhǔn)，選擇眾數(shù)較高者參賽.甲射擊成績的眾數(shù)是9環(huán)，乙射擊成績的眾數(shù)

是10環(huán).據(jù)此，選擇乙參加比賽.

教練員也可能制訂標(biāo)準(zhǔn)3：以兩名運動員10次射擊成績的中位數(shù)作為評價標(biāo)準(zhǔn)，選擇

中位數(shù)較高者參賽.甲射擊成績的中位數(shù)是9環(huán)，乙射擊成績的中位數(shù)是8.5環(huán).據(jù)此，選

擇甲參加比賽.

教練員還可能制訂標(biāo)準(zhǔn)4：以兩名運動員10次射擊成績的平均數(shù)作為評價標(biāo)準(zhǔn)，選擇

平均數(shù)較高者參賽.甲射擊成績的平均數(shù)是8.5環(huán)，乙射擊成績的平均數(shù)是8.6環(huán).據(jù)此，

選擇乙參加比賽.

情境3教練員發(fā)現(xiàn)，按照上面的標(biāo)準(zhǔn)看，甲、乙兩名運動員相差不大，并且該運動隊的

成績已經(jīng)超過其他同水平運動隊，只要維持目前狀態(tài)就能取得冠軍.因此，教練員需要選擇

一名運動水平相對穩(wěn)定的隊員參賽.此時，通常會再提出其他的要求（即使運動員的成績相

差很大，也可以提出新的要求）.例如，分別按照數(shù)據(jù)的極差、標(biāo)準(zhǔn)差的大小給出標(biāo)準(zhǔn).

標(biāo)準(zhǔn)5：可以用兩名運動員10次射擊成績的標(biāo)準(zhǔn)差作為評價標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)差越小成績越

穩(wěn)定，甲射擊成績的標(biāo)準(zhǔn)差0.92環(huán)，乙射擊成績的標(biāo)準(zhǔn)差1.28環(huán)據(jù)此，選擇甲參加比賽.

從上述問題可以看出，根據(jù)問題的實際背景，利用數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，可以幫助人們進行

決策，從而真正發(fā)揮數(shù)據(jù)分析的作用.

值得注意的是，在這里，不同的標(biāo)準(zhǔn)沒有對和錯的問題，也不存在所謂唯一解的問題，

而是根據(jù)需要來選擇“好”的決策.至于決策的好壞，是根據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的.

例如，甲、乙兩名運動員，后者發(fā)揮極不穩(wěn)定，有時成績很好，有沖擊金牌的可能，但

有時又會很差，可能拿不到名次；前者沒有沖擊金牌的能力，但他成績極其穩(wěn)定，如果讓他

參加比賽，保證能拿到一塊銅牌.在這種情況下，如果運動隊要先保獎牌，那么甲去參賽應(yīng)

該是更好的選擇;反之，如果運動隊已經(jīng)得到了不少銀牌和銅牌，最想要的是拿到一塊金牌，

這時可能就應(yīng)該讓乙參加比賽.

用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以很

好地反映總體的信息.雖然從樣本數(shù)據(jù)得到的數(shù)字特征并不是總體真正的數(shù)字特征，只是總

體數(shù)字特征的一個估計，但這種估計是合理的.樣本容量越大，樣本所包含的總體信息就越

多，估計的合理性就越充分.

三、應(yīng)用舉例

例1：16位參加百米半決賽同學(xué)的成績各不相同，按成績前8位進入決賽.如果小劉

知道了自己的成績后，要判斷能否進入決賽，那么其他15位同學(xué)成績的下列數(shù)據(jù)中，能使

他得出結(jié)論的是()

A.平均數(shù)B.眾數(shù)C.中位數(shù)D.方差

解：判斷是不是能進入決賽，只要判斷是不是前8位，所以只要知道其他15位同學(xué)的

成績中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同學(xué)的成績排列后看第8位的成績即可，

小劉的成績高于這個成績就能進入決賽，低于這個成績就不能進入決賽，第8位的成績就是

這15位同學(xué)成績的中位數(shù).答案：C

例2：一次數(shù)學(xué)知識競賽中，兩組學(xué)生的成績?nèi)缦拢?/p>

經(jīng)計算，兩組的平均分都是80分，請根據(jù)所學(xué)過的統(tǒng)計知識，進一步判斷這次競賽中

哪個組更優(yōu)秀，并說明理由.

解：從不同的角度分析如下：

①甲組成績的眾數(shù)為90分，乙組成績的眾數(shù)為70分，從成績的眾數(shù)這一角度看，甲

組成績好些.

222

②s余匚[2X(50-80)+5X(60-80)+10X(70-80)+13X

2十5十1。十13十14十6

(80-80)2+14X(90-80)z+6X(100-80)2]=172.同理得雯=256.因為扁＜s"所以

甲組的成績比乙組的成績穩(wěn)定.

③甲、乙兩組成績的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分，其中甲組成績在80分以上(含80分)

的有33人，乙組成績在80分以上(含80分)的有26人，從這一角度看，甲組成績總體較

好.

④從成績統(tǒng)計表看，甲組成績大于或等于90分的有20人，乙組成績大于或等于90分

的有24人，所以乙組成績在高分段的人數(shù)多.同時，乙組滿分比甲組多6人，從這一角度

看，乙組成績較好.

方法歸納

用樣本估計總體時，樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差只是總體的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的近似值.在

實際應(yīng)用中，需先計算平均數(shù)分析平均水平，再計算標(biāo)準(zhǔn)差（方差）分析穩(wěn)定情況.

在實際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要研究樣本數(shù)據(jù)的離散程度（即方差

或標(biāo)準(zhǔn)差），方差大說明樣本數(shù)據(jù)分散性大，方差小說明樣本數(shù)據(jù)分散性小或者樣本數(shù)據(jù)集

中、穩(wěn)定.

四、課堂練習(xí)

1.某鞋店試銷一款新女鞋，銷售情況見下表：

鞋號3435363738394041

數(shù)量/雙259169532

如果你是鞋店經(jīng)理，那么下列統(tǒng)計量中對你來說最重要的是（