高中數(shù)學選修圓錐曲線與方程橢圓的性質專題練習(附詳解答案)

第1頁（共1頁）橢圓的性質專題練習一．選擇題（共12小題）1．已知橢圓C：+=1的一個焦點為（2，0），則C的離心率為（）A． B． C． D．2．已知橢圓+=1過點（﹣4，）和（3，﹣），則橢圓離心率e=（）A． B． C． D．3．方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)m的取值范圍為（）A．（1，+∞） B．（﹣∞，1] C．（0，1） D．（﹣1，0）4．曲線=1與曲線=1（k＜9）的（）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等5．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（a＞b＞0）的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P=120°，則C的離心率為（）A． B． C． D．6．設P是橢圓=1上的動點，則P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為（）A．2 B．2 C．2 D．47．橢圓x2+=1（0＜b＜1）的左焦點為F，上頂點為A，右頂點為B，若△FAB的外接圓圓心P（m，n）在直線y=﹣x的左下方，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A．（，1） B．（，1） C．（0，） D．（0，）8．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為（）A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣19．設橢圓的左焦點為F，直線l：y=kx（k≠0）與橢圓C交于A，B兩點，則|AF|+|BF|的值是（）A．2 B． C．4 D．10．已知函數(shù)f（x）=x3+3mx2+nx+m2在x=﹣1時有極值0，則橢圓的離心率為（）A． B． C．或 D．11．已知點P（x0，y0）（x0≠±a）在橢圓C：（a＞b＞0）上，若點M為橢圓C的右頂點，且PO⊥PM（O為坐標原點），則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A．（0，） B．（，1） C．（，1） D．（0，）12．F1、F2是橢圓的左、右焦點，點P在橢圓C上，|PF1|=6，過F1作∠F1PF2的角平分線的垂線，垂足為M，則|OM|的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4二．解答題（共13小題）13．已知橢圓C：=1（a＞b＞0）過點P（﹣2，1），且橢圓C的離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）過點Q（2，0）的直線，l與C相交于A，B兩點，且PA⊥PB，求直線1的方程．14．已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上任意一點，且△PF1F2的周長是6．（1）求橢圓C的方程；（2）設圓T：（x﹣t）2+y2=，過橢圓的上頂點M作圓T的兩條切線交橢圓于E、F兩點，當圓心在x軸上移動且t∈（0，1）時，求EF的斜率的取值范圍．直線L的方程為，其中p＞0；橢圓E的中心為，焦點在X軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的一個頂點為，問p在什么范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點A的距離等于該點到直線L的距離．16．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，左、右焦點分別為F1、F2，過右焦點F2的直線與橢圓交于P、Q兩點，且△PQF1的周長為4．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過點F1的直線與橢圓C相交于A，B兩點．且|AB|=，求△AF2B的面積．17．已知中心在坐標原點的橢圓C，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，長軸長為6，離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）已知點P在橢圓C上，且PF1=4，求點P到右準線的距離．18．已知橢圓=1（a＞b＞0）的短軸長為，離心率為，點A（3，0），P是C上的動點，F(xiàn)為C的左焦點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若點P在y軸的右側，以AP為底邊的等腰△ABP的頂點B在y軸上，求四邊形FPAB面積的最小值．19．已知橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，設點A（0，b），在△AF1F2中，∠F1AF2=，周長為4．（1）求橢圓C的方程；（2）設不經(jīng)過點A的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，若直線AM與AN的斜率之和為﹣1，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點（），焦點F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），圓O的直徑為F1F2．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；②直線l與橢圓C交于A，B兩點．若△OAB的面積為，求直線l的方程．21．已知橢圓（a＞b＞0）的左焦點F（﹣2，0）左頂點A1（﹣4，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知P（2，3），Q（2，﹣3）是橢圓上的兩點，A，B是橢圓上位于直線PQ兩側的動點．若∠APQ=∠BPQ，試問直線AB的斜率是否為定值？請說明理由．22．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，橢圓C與y軸交于A，B兩點，且|AB|=2．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設點P是橢圓C上的一個動點，且點P在y軸的右側．直線PA，PB與直線x=4分別交于M，N兩點．若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點E，F(xiàn)，求點P橫坐標的取值范圍及|EF|的最大值．23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓+=1（a＞b＞0）的離心率為，兩條準線之間的距離為4．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知橢圓的左頂點為A，點M在圓x2+y2=上，直線AM與橢圓相交于另一點B，且△AOB的面積是△AOM的面積的2倍，求直線AB的方程．24．已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，點在橢圓上．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設AB是橢圓的一條弦，斜率為k（k≠0），N（t，0）是x軸上的一點，△ABN的重心為M，若直線MN的斜率存在，記為k'，問：t為何值時，k?k'為定值？25．已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）過點，且兩個焦點的坐標分別為（﹣1，0），（1，0）．（1）求E的方程；（2）若A，B，P為E上的三個不同的點，O為坐標原點，且，求證：四邊形OAPB的面積為定值．

參考答案與解析一．選擇題1．解：橢圓C：+=1的一個焦點為（2，0），可得a2﹣4=4，解得a=2，∵c=2，∴e===．故選：C．2．解：橢圓+=1過點（﹣4，）和（3，﹣），則，解得a=5，b=1，∴c2=a2﹣b2=24，∴c=2，∴e==，故選：A．3．解：方程表示焦點在x軸上的橢圓，可得m∈（0，1）．故選：C．4．解：曲線=1表示焦點在x軸上，長軸長為10，短軸長為6，離心率為，焦距為8．曲線=1（k＜9）表示焦點在x軸上，長軸長為2，短軸長為2，離心率為，焦距為8．對照選項，則D正確．故選：D．5．解：由題意可知：A（﹣a，0），F(xiàn)1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），直線AP的方程為：y=（x+a），由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，則P（2c，c），代入直線AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，∴題意的離心率e==．故選：D．6．解：橢圓=1的焦點坐標在x軸，a=，P是橢圓=1上的動點，由橢圓的定義可知：則P到該橢圓的兩個焦點的距離之和為2a=2．故選：C．7．解：方法一：如圖所示，B是右頂點（1，0），上頂點A（0，b），左焦點F（，0），線段FB的垂直平分線為：x=．線段AB的中點（，）．∵kAB=﹣b．∴線段AB的垂直平分線的斜率k=．∴線段AB的垂直平分線方程為：y﹣=（x﹣），把x==m，代入上述方程可得：y==n．由P（m，n）在直線y=﹣x的左下方，則m+n＜0，∴+＜0．化為：b＜，又0＜b＜1，解得：0＜b＜．∴e==c=∈（，1）．∴橢圓離心率的取值范圍（，1）．故選A．方法二：設A（0，b），B（a，0），F(xiàn)（﹣c，0），設△FAB的外接圓的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，將A，B，F(xiàn)代入外接圓方程，解得：m=，n=，由P（m，n）在直線y=﹣x的左下方，則m+n＜0，∴+＜0，整理得：1﹣c+b﹣＜0，∴b﹣c+＜0，∴b﹣c＜0，由橢圓的離心率e==c，∴2e2＞1，由0＜e＜1，解得：＜e＜1，∴橢圓離心率的取值范圍（，1）．故選：A．8．解：F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，可得橢圓的焦點坐標F2（c，0），所以P（c，c）．可得：，可得，可得e4﹣8e2+4=0，e∈（0，1），解得e=．故選：D．9．解：如圖，設F2是橢圓的右焦點，∵O點為AB的中點，丨OF丨=丨OF2丨，則四邊形AFBF2是平行四邊形，∴AF=BF2．∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4，故選：C．10．解：∵f（x）=x3+3mx2+nx+m2∴f′（x）=3x2+6mx+n依題意可得即：，解得，或，當m=1，n=3時函數(shù)f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3=3（x+1）2≥0，函數(shù)在R上單調遞增，函數(shù)無極值，舍去，橢圓，m=2，n=9，則a=9，c=77，所以橢圓的離心率為：．故選：B．11．解：由題意知M（a，0），點P（x0，y0），則=（﹣x0，﹣y0），=（a﹣x0，﹣y0），∵PO⊥PM，∴?=（﹣x0）（a﹣x0）+（﹣y0）（﹣y）=0，∴=ax0﹣＞0；又﹣a＜x0＜a，代入橢圓方程中，整理得（b2﹣a2）+a3x0﹣a2b2=0；令f（x）=（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，x∈（﹣a，a）；∵f（0）=﹣a2b2＜0，f（a）=0，如圖所示：△=（a3）2﹣4×（b2﹣a2）×（﹣a2b2）=a2（a4﹣4a2b2+4b4）=a2（a2﹣2c2）2≥0，∴對稱軸滿足0＜﹣＜a，即0＜＜a，∴＜1，∴＞，∴e=＞；又0＜e＜1，∴＜e＜1；則橢圓C的離心率e的取值范圍是（，1）．故選：C．12．解：延長F1M和PF2交于N，橢圓，可得：a=5，由橢圓的定義可得|PF1|+|PF2|=2a=10，由|PF1|=6，可得|PF2|=4，由等腰三角形的三線合一，可得|PF1|=|PN|=6，可得|NF2|=6﹣4=2，由OM為△F1F2N的中位線，可得|OM|=|F2N|=1．故選：A．二．解答題13．解：（1）由橢圓的離心率e===，則a=2b，將P（﹣2，1）代入橢圓方程：，解得：b2=2，則a2=8，∴橢圓的標準方程為：；（2）設直線l的方程為：x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立，整理得（m2+4）y2+4my﹣4=0，則y1+y2=﹣，y1y2=﹣，x1+x2=m（y1+y2）+4=，x1x2=m2y1y2+2m（y1+y2）+4=，由PA⊥PB，則?=0，即（x1+2，y1﹣1）（x2+2，y2﹣1）=0，x1x2+2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1=0，整理得：3m2﹣4m﹣64=0，解得：m=﹣4，或m=，當m=﹣4時，直線l：x+4y﹣2=0，過點P，舍去，當m=，直線l：3x﹣16y﹣6=0，∴直線l的方程為：3x﹣16y﹣6=0．14．解：（1）由e=，即=，由△PF1F2的周長是6，由橢圓的定義可得2a+2c=6，解得a=2，c=1，b==，所求橢圓方程為+=1；（2）橢圓的上頂點為M（0，），設過點M與圓T相切的直線方程為y=kx+，由直線y=kx+與T相切可知=，即（9t2﹣4）k2+18tk+23=0，可得k1+k2=﹣，k1k2=，由，得（3+4k12）x2+8k1x=0．解得xE=﹣，同理xF=﹣，則kEF=====．當0＜t＜1時，f（t）=為增函數(shù)，故EF的斜率的范圍為（0，）．15．解：因為橢圓上有四個不同的點到點A的距離等于該點到直線L的距離相等，所以由拋物線的定義知：這四個不同的點在是以A為焦點的拋物線，所以點P的方程為y2=2px．又根據(jù)題意，橢圓的方程為：（x﹣2﹣）2+4y2=4，則聯(lián)立橢圓與拋物線的方程，消去y，可得：x2﹣（4﹣7p）x+2p+=0，此方程必有正實數(shù)根，所以△=（4﹣7p）2﹣4（2p+）≥0，且4﹣7p＞0，p＞0，解得：0＜p＜．故p在（0，）范圍內取值時，橢圓上有四個不同的點，它們中的每一點到點A的距離等于該點到直線L的距離．16．解：（Ⅰ）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，∴=，…（1分）∵過右焦點F2的直線與橢圓交于P、Q兩點，且△PQF1的周長為4．∴4a=4．故a=，c=…（3分）故b=1．…（4分）故橢圓C的方程為：．…（5分）（Ⅱ）若直線AB的方程為x=﹣，則|AB|=，不符合題意．設直線AB的方程為y=k（x+），代入橢圓方程消去y得（1+3k2）x2+6k2x+6k2﹣3=0，…（6分）顯然△＞0成立，設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=﹣，x1x2=…（7分）所以|AB|=?|x1﹣x2|=?．…（9分）由已知?=，解得k=±．…（10分）當k=時，直線AB的方程為y=（x+），即x﹣y+=0，點F2到直線AB的距離d=．…（11分）所以△AF2B的面積=|AB|d=．…（12分）同理，當k=﹣時，△AF2B的面積也等于．綜上，△AF2B的面積等于．…（13分）17．解：（1）根據(jù)題意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴橢圓C的標準方程為；（2）由橢圓的定義得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，設點P到右準線的距離為d，根據(jù)第二定義，得，解得：．18．解：（Ⅰ）依題意得，解得，∴橢圓C的方程是；（Ⅱ）設，設線段AP中點為M，A（3，0），∴AP中點，直線AP斜率為，由△ABP是以AP為底邊的等腰三角形，可得BM⊥AP，∴直線AP的垂直平分線方程為y﹣=（x﹣），令x=0得，∵，∴，由F（﹣2，0），∴四邊形FPAB面積，當且僅當即時等號成立，四邊形FPAB面積的最小值為．19．（1）解：由，∴，①又△AF1F2的周長為，∴，②聯(lián)立①②，解得，∴橢圓方程為；（2）證明：設直線l方程：y=kx+m，交點M（x1，y1），N（x2，y2），由．，依題：，∵y1=kx1+m，y2=kx2+m，∴，∴．∴直線l方程為：y=kx+m=kx﹣2k﹣1=k（x﹣2）﹣1，則過定點（2，﹣1）．20．解：（1）由題意可設橢圓方程為，∵焦點F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴橢圓C的方程為：，圓O的方程為：x2+y2=3．（2）①可知直線l與圓O相切，也與橢圓C，且切點在第一象限，因此k一定小于0，∴可設直線l的方程為y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圓心（0，0）到直線l的距離等于圓半徑，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，結合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．將k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故點P的坐標為（．②設A（x1，y1），B（x2，y2），由?k＜﹣．聯(lián)立直線與橢圓方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直線l的距離d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面積為S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣為所求．21．解：（Ⅰ）由題意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）當∠APQ=∠BPQ時，AP，BP的斜率之和為0，設直線PA的斜率為k，則直線PB的斜率為﹣k，設A（x1，y1）B（x2，y2），PA的方程為y﹣3=k（x﹣2）．聯(lián)立消y得（3+4k2）x2+8（3k﹣k2）x+4（4k2+9﹣12k）﹣48=0所以，同理，所以，，所以kAB===，所以AB的斜率為定值．22．解：（Ⅰ）由題意可得，2b=2，即b=1，，得，解得a2=4，橢圓C的標準方程為；（Ⅱ）方法一、設P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直線PA的方程為，同理：直線PB的方程為，直線PA與直線x=4的交點為，直線PB與直線x=4的交點為，線段MN的中點，所以圓的方程為，令y=0，則，因為，所以，所以，設交點坐標（x1，0），（x2，0），可得x1=4+，x2=4﹣，因為這個圓與x軸相交，該方程有兩個不同的實數(shù)解，所以，解得．則（）所以當x0=2時，該圓被x軸截得的弦長為最大值為2．方法二：設P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（