高等數(shù)學(xué)李偉版課后習(xí)題答案第八章

高等數(shù)學(xué)李偉版課后習(xí)題答案第八章

習(xí)題8—1（A）

1．判斷下列論述是否正確，并說明理由：

（1）一個點(diǎn)集E的內(nèi)點(diǎn)一定屬于E，其外點(diǎn)一定不屬于E，其邊界點(diǎn)一定不屬于E，其聚點(diǎn)一定屬于E；

（2）開集的所有點(diǎn)都是其內(nèi)點(diǎn)，開集也稱為開區(qū)域；

（3）一個有界集一定能包含在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長的線段為半徑的圓內(nèi)；

（4）考查二元函數(shù)的定義域時，應(yīng)從兩方面去考慮：用解析式表達(dá)的函數(shù)要考慮使該解析式有意義的x,y所對應(yīng)的點(diǎn)(x,y)的集合（自然定義域）．對有實(shí)際意義的函數(shù)還應(yīng)該從自然定義域中找出使實(shí)際問題有意義的點(diǎn)集；

（5）當(dāng)(x,y)沿某一條曲線趨于(x0,y0)時，函數(shù)zf(x,y)的極限存在，并不能說明極限(x,y)(x0,y0)limf(x,y)存在，但如果當(dāng)(x,y)沿某一條使函數(shù)有定義的曲線趨于(x0,y0)

(x,y)(x0,y0)時，函數(shù)zf(x,y)的極限不存在，則

（6）為說明極限limf(x,y)一定不存在；(x,y)(x0,y0)limf(x,y)不存在，通常也采取用當(dāng)(x,y)沿兩條不同曲線趨

于(x0,y0)時，函數(shù)zf(x,y)的極限不相等的方法；

（7）如果函數(shù)zf(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)連續(xù)，點(diǎn)(x0,y0)必須是函數(shù)zf(x,y)定義域的內(nèi)點(diǎn)；

（8）若P0是二元函數(shù)zf(x,y)的間斷點(diǎn)，那么limf(x,y)一定不存在．PP0

答：（1）前兩者都正確，這是根據(jù)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)的定義；后兩者都不正確，無論是邊界點(diǎn)還是聚點(diǎn)它們都可以是E的點(diǎn)，也可以是非E的點(diǎn)，如當(dāng)E是閉集是，E的邊界點(diǎn)是E的點(diǎn)當(dāng)E是開集時E的邊界點(diǎn)就不是E的點(diǎn)；又如點(diǎn)(0,0)是集合E{(x,y)0x2y21}的聚點(diǎn)，但是它不是E的點(diǎn)．

（2）前者正確，這是有開集定義決定的；后者不正確，連通的開集才是開區(qū)域，不連通22的開集不是開區(qū)域，如E{(x，y)xy4x}是開集，但是不是開區(qū)域．

（3）正確，這就是有界集的定義．

（4）正確，求多元函數(shù)的自然定義域如同一元函數(shù)的定義域，要從以下幾個方面考慮：①分式中分母不能為零，②開偶次方底數(shù)要大于等于零，③對數(shù)中真數(shù)要于零，④arcsinu、arccosu中要求u1，⑤(u)1(u)

6．求由下列方程組所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：

（1）xyz1，dydz求和．222dxdxxyz4，

xeuusinv，uuvv（2）求及．uxyxyyeucosv，

dydz1dxdx0，xyz1，解：（1）方程組2兩邊同時對x求導(dǎo)，有22dydzxyz42x2y2z0，dxdx

消去dzdydydyzxdzdyxyz(1)0，得1，有xy，而．dxdxdxdxdxyzdxyz

xeuusinv，（2）方程組兩邊同時對x求導(dǎo)，uyeucosv

uvuu1esinvucosv，xxx有uuv0eucosvusinv.xxx

（1）sinv（2）cosv，有sinve(sinvcosv)u(1)(2)uu，xx

usinvvcosveu

得，再代入到（2）之中得．x1eu(sinvcosv)xu[1eu(sinvcosv)]

uvuu0esinvucosv，xeuusinv，yyyy方程組兩邊同時對求導(dǎo)，有uuuvyeucosv1eucosvusinv.yyy

ucosvvsinveu

與前面解法類似，得，．y1eu(sinvcosv)yu[1eu(sinvcosv)]

習(xí)題8—6（A）

1．判斷下列論述是否正確，并說明理由：

xx(t),（1）如果曲線的參數(shù)方程為yy(t),（atb），那么它就對應(yīng)一個向量值方程

zz(t)

r(t)x(t)iy(t)jz(t)k,若x(t),y(t),z(t)存在并且不同時為零，那么，曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的切向量為(x(t),y(t),z(t))，由此利用直線的點(diǎn)向式方程就可寫出該點(diǎn)處的切線方程；

（2）求曲線的切線方程與法平面方程的關(guān)鍵是求切向量，而其中又以參數(shù)方程為基礎(chǔ)，其它形式的曲線方程都劃歸為參數(shù)方程，找出相應(yīng)的切向量，然后寫出要求的方程；

（3）曲面的切平面方程是以曲面的一般方程F(x,y,z)0為基礎(chǔ)進(jìn)行討論的，如果曲面方程為zf(x,y)的形式，那么必須把它化為F(x,y,z)0的形式，其中F(x,y,z)f(x,y)z，因而它在點(diǎn)M(0x,0y,0z處)的法向量一定為n(fxx(0y,0fy)x,y),1)0(0,，切平面方程為：

fx(x0,y0)(xx0)fy(x0,y0)(yy0)(zz0)0；

（4）如果曲線為一般方程F(x,y,z)0,那么，曲線在M(x0,y0,z0)點(diǎn)的切向量可取G(x,y,z)0,

為TFx

GxijFyGykFzGzMM0．

答：（1）正確，這就是曲線為參數(shù)方程時，切線方向向量的求法．此時切線方程為

xx0yy0zz0；x(t0)y(t0)z(t0)

法平面方程為

x(t0)(xx0)y(t0)(yy0)z(t0)(zz0)0．

（2）正確，對參數(shù)方程xx(t)、yy(t)、zz(t)，在tt0處的切向量

T(x(t0)，y(t0)，z(t0))；

對形如xx(z)、yy(z)的取向方程，將變量z看作參數(shù)，在zz0處的切向量

T(x(z0)，y(z0)，1)

F(x，y，z)0，對一般方程按隱函數(shù)它可以確定兩個一元函數(shù)，如xx(z)、G(x，y，z)0，

yy(z)，按隱函數(shù)求導(dǎo)方法得到x(z)、y(z)，從而得在zz0處的切向量

T(x(z0)，y(z0)，1)．

（3）不確切，曲面zf(x,y)的法向量可以直接由n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)給出，

也可以由n(fx(x0,y0),fy(x0,y0),1)給出．

（4）正確，設(shè)曲面F(x，y，z)0在M0點(diǎn)處的法向量為n1(Fx,Fy,Fz)

M0

，曲面

G(x，y，z)0在M0點(diǎn)處的法向量為n2(Gx,Gy,Gz)

M0

，根據(jù)法平面的定義有

，于是可取Tn1n2FxTn1，Tn2

Gx

ijFyGy

kFzGz

MM0

．

2．空間一質(zhì)點(diǎn)M在時刻t時的位置為r(t)acostiasintjbtk，求質(zhì)點(diǎn)在

t/2時刻的速度v．

dr

解：v()t/2[asintiacostjbk]t/2aibk．

2dt

23

3．求曲線r(t)titjtk在點(diǎn)M(1，1，1)處的切線及法平面方程．

解：點(diǎn)M(1，1，1)對應(yīng)參數(shù)為t1，切向量T(1，2t，3t2)t1(1，2，3)，

切線方程為

x1y1z1

，123

法平面方程為(x1)2(y1)3(z1)0，即x2y3z60．4．求曲線x方程．

解：切點(diǎn)為M(2cost2cost，2sint)

t/4

2cost，y2cost，z2sint在對應(yīng)于t/4的點(diǎn)處的切線及法平面

M(1，12)，

切向量T(2sint，2sint，2cost)t/4(1，12)(1，1，2)，

切線方程為

x1y1z2

，

112

法平面方程為(x1)(y1)2(z2)0，即xy2z0．5．求曲線y1x，z2x2x2在點(diǎn)M(1，0，1)處的切線及法平面方程．解：y(x)1、z(x)

12x2x2x2

，切向量T(1，y(x)，z(x))x1(1，1，1)，

切線方程為x1yz1，111

法平面方程為(x1)(y0)(z1)0，即xyz0．

x2y2z26,6．求曲線在點(diǎn)M(1，2，1)處的切線及法平面方程．

xyz0

解：設(shè)F(x，y，z)x2y2z26、G(x，y，z)xyx，則切向量

iTFx

GxjFyGykFzGzMij2411k2(6，0，6)6(1，0，1)，1

切線方程為x1y2z1，101

法平面方程為(x1)0(y2)(z1)0，即xz0．

7．求曲面x，1，4)處的切平面及法線方程．yz4在點(diǎn)M(1

解：設(shè)F(x，y，z)xyz4，則(111)M(2，2，1)，42x2y2z1法向量n(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z)

M

切平面方程是2(x1)2(y1)(z4)0，即2x2yz80，法線方程是x1y1z4．221

8．求曲面zxy在點(diǎn)M(1，2，2)處的切平面及法線方程．

解：法向量n(zx，zy，1)

M(y，x，1)M(2，1，1)

切平面方程是2(x1)(y2)(z2)0，即2xyz20，法線方程是x1y2z2．211

習(xí)題8—6（B）

1．求曲線x2cost，y2sint，z4

t（0t）上平行于平面xy4的切

線方程，并寫出該點(diǎn)處的法平面方程．

解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0，y0，z0)，該點(diǎn)對應(yīng)參數(shù)tt0，曲線在該點(diǎn)的切向量為T(2sint02cots0，4/)，由切線與平面xy4平行，有T(1，1，0)，

得2sint02cost00，即sint0cost0，由于0t，所以t0/4．切點(diǎn)坐標(biāo)為M(2cost02sint0，4t0/)(1，1，1)，

，1，4/)切向量T(x(t0)，y(t0)，z(t0))(1

切線方程為1(，，4)，x1y1z1，4

法平面方程為(x1)(y1)4(z1)0，即xy4z40．

2．在橢球面x22y23z212上求平行于平面x4y3z0的切平面方程．解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0，y0，z0)，F(xiàn)(x，y，z)x22y23z212，則法向量

n(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z)M2(x0，2y0，3z0)，

由切平面平行于平面x4y3z0，有x02y03z0，即y02x0、z0x0，代入143

2到曲面方程之中，有12x0，2，1)，2，1)或(112，得x01，切點(diǎn)為(1，

在(1，2，1)點(diǎn)，切平面為(x1)4(y2)3(z1)0，即x4y3z120；在(1，2，1)點(diǎn)，切平面為(x1)4(y2)3(z1)0，即x4y3z120．

3．問旋轉(zhuǎn)拋物面z12(xy2)上哪一點(diǎn)處的切平面過曲線xt2，yt，z3(t1)4

在點(diǎn)M(1,1,0)處的切線．

解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M0(x0，y0，z0)，則法向量

n(zx，zy，1)M0(x0/2，y0/2，1)1(x0，y0，2)，2

切平面方程為x0(xx0)y0(yy0)2(zz0)0，即

22x0xy0y2zx0y02z02z0．

2曲線xt，yt，z3(t1)在點(diǎn)M(1,1,0)對應(yīng)參數(shù)t1，曲線在點(diǎn)M(1,1,0)處的切向量T(2t，1，3)t1(2，1，3)．

由M0(x0，y0，z0)在曲面z12(xy2)上，有4

z0122(x0y0)．①4

由切平面過M(1,1,0)，有

x0y02z0．②

2曲線xt，yt，z3(t1)在點(diǎn)M(1,1,0)處的切線在切平面上，有Tn

所以Tn0，即

2x0y060．③

由方程①、②、③式解得x02、y02、z02或x0

于是所求點(diǎn)為(2,2,2)或(1269、y0、z0，5551269,,)．555

4．證明二次曲面ax2by2cz2k在點(diǎn)M(x0,y0,z0)處的切平面方程為：

ax0xby0ycz0zk．

證明：設(shè)F(x，y，z)ax2by2cz2k，則曲面在M(x0,y0,z0)的法向量n(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z)

M(2ax0，2by0，2cz0)2(ax0，by0，cz0)，

切平面方程為ax0(xx0)by0(yy0)cz0(zz0)0，即

222ax0xby0ycz0zax0by0cz0k．

5．證明曲面xyza（a0）上任一點(diǎn)處的切平面與三個坐標(biāo)面圍成的立體體積為定值．證明：設(shè)M0(x0，y0，z0)是曲面上任一點(diǎn)，F(xiàn)(x，y，z)xyza，則曲面在

M0(x0，y0，z0)處的法向量n(y0z0，x0z0，x0y0)，切平面方程為

y0z0(xx0)x0z0(yy0)x0y0(zz0)0，

即y0z0xx0z0yx0y0z3x0y0z0，改寫為截距式方程

切平面與三個坐標(biāo)面圍成的立體體積為

Vxyz1．3x03y03z0193x03y03z0a（定值）．62

習(xí)題8—7（A）

1．判斷下列論述是否正確，并說明理由：

（1）所謂函數(shù)在點(diǎn)P沿l的方向?qū)?shù)，是說若函數(shù)在點(diǎn)P的某鄰域有定義，l是過P的

直線，當(dāng)動點(diǎn)沿l變動時，函數(shù)相應(yīng)的變化率；

（2）在方向?qū)?shù)的定義f

l(x0,y0)limt0f(x0tcos,y0tsin)f(x0,y0)中，t

分母是一個正數(shù)，它是動點(diǎn)與定點(diǎn)間的距離，因此，方向?qū)?shù)是函數(shù)關(guān)于距離的變化率，而偏導(dǎo)數(shù)的定義f

x(x0,y0)limx0f(x0x,y0)f(x0,y0)中，分母是自變量的增量，x

它可正可負(fù)，因此，偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)關(guān)于自變量增量的變化率；

（3）當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在時，函數(shù)在這點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在；

（4）當(dāng)函數(shù)在一點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)都存在時，函數(shù)在這一點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)一定存在；

（5）某函數(shù)的梯度是一個向量，在函數(shù)確定的情況下，它僅由點(diǎn)來決定；

（6）函數(shù)在一點(diǎn)處沿各個不同方向的方向?qū)?shù)可能是不同的，它與這點(diǎn)的梯度有關(guān)，還與方向與梯度的夾角有關(guān)．

答：（1）不正確，在方向?qū)?shù)中，l是以P為起點(diǎn)的向量，方向?qū)?shù)是函數(shù)沿l方向上的變

化率，而不是沿直線l上的變化率．

（2）正確，正是因?yàn)閠0，才表明這方向?qū)?shù)是函數(shù)沿l方向上的變化率，就是方向?qū)?/p>

數(shù)的實(shí)際意義．另外要注意在方向?qū)?shù)的定義中，動點(diǎn)要在射線l上．

3xy，y2x0，（3）不正確，如函數(shù)f(x，y)y2x在點(diǎn)O(0，0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存

0，y2x0

在，但是在點(diǎn)O(0，0)處沿/4方向上的方向?qū)?shù)不存在．事實(shí)上，

f(h，0)f(0，0)0)lilim00，fx(0，h0h0h

fy(0，0)limk0f(0，k)f(0，0)klim00，h0

即在點(diǎn)O(0，0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在．但是，因?yàn)闃O限（其中取/4）

t0limf(tcos，tsin)f(0，0)t2limt02t22lim1t4t0

不存在，所以在點(diǎn)O(0，0)處沿/4方向上的方向?qū)?shù)不存在(其實(shí)本例在原點(diǎn)處只要不沿平行于坐標(biāo)軸及直線y2x方向，其方向?qū)?shù)都不存在)．

當(dāng)函數(shù)在某點(diǎn)可微或偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，才能保證在該點(diǎn)沿任何方向上的方向?qū)?shù)存在．

（4）不正確，如函數(shù)zx2y2在(0,0)點(diǎn)兩個偏導(dǎo)數(shù)都不存在（前面證明過），但是它在在(0,0)沿任何方向上的方向?qū)?shù)都存在，且等于1．事實(shí)上，對任何，

t0limf(tcos，tsin)f(0，0)tt2cos2t2sin2tlimlim1，

t0t0tt

（5）正確，這是由梯度定義gradf(x0,y0)(fx(x0,y0)，fy(x0,y0))確定的．

（6）正確，事實(shí)上，函數(shù)在P0(x0，y0)沿l方向上的方向?qū)?shù)可以寫為

f

l(x0,y0)gradf(x0,y0)cos,

其中是方向l與梯度gradf(x0,y0)的夾角，由此可見它與這點(diǎn)的梯度有關(guān)，還與l方

向與梯度gradf(x0,y0)的夾角有關(guān)．

2．求函數(shù)zxy在點(diǎn)P(1，2)處沿從P到Q(4，2)方向上的方向?qū)?shù)．34解：lPQ(3，4)，l的單位向量el(，)，55

zz()P(y，x)P(2，1)（即gradz(1，所以，2)）xx

z34642(2，1)(，)．Pl55555

3．求函數(shù)zln(exey)在原點(diǎn)處沿與x軸正向成角的方向上的方向?qū)?shù)．4

1，所以2z解：x(0,0)exxeey(0,0)1z，由對稱性2y

(0,0)sin(0,0)z

l(0,0)z

x(0,0)cosz

y

212122．222224．求函數(shù)uxyzxyz在點(diǎn)M(1，2，2)處沿點(diǎn)M的向徑方向上的方向?qū)?shù)．22

12，2)，解：lM(1，2，2)，l的單位向量el(333

gradu(1，2，2)(2xyz，2yxz，2zxy)

M(2，2，2)，所以z

lM122244graud(1，2，2)el(2，2，2)()2．333333

5．求下列函數(shù)的梯度：

（1）f(x,y)x2y2，在點(diǎn)P(3,4)處；

（2）f(x,y)arctanxy，在任意點(diǎn)(x,y)處；

（3）f(x,y,z)z

1x2y2，在任意點(diǎn)(x,y,z)處；

解：（1）gradf(3，4)(ffxy34)(3,4)()(3,4)()．xy55x2y2x2y2

（2）gradf(x,y)(ffyx)()．xy1x2y21x2y2

（3）因?yàn)閒1f2xzf2yz，，，所以22222222z1xyxy(1xy)(1xy)

2xz2yz1,,)．22222222(1xy)(1xy)1xy

2gradf(x,y,z)(36．問函數(shù)f(x,y,z)xxyz在點(diǎn)P(1,1,0)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？沿什么方

向的方向?qū)?shù)最小？

1，0)(3x2y2)解：因?yàn)閒x(1，(1,1,0)2、fy(1，1，0)2xy(1,1,0)2、fz(1，1，0)1，

所以grad根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：沿梯度方向方向?qū)?shù)最大，f(1,1,0)(2,2,1)，

沿梯度反方向方向?qū)?shù)最小，得

沿lgradf(1,1,0)(2,2,1)方向的方向?qū)?shù)最大，且最大的方向?qū)?shù)是

gradf(1,1,0)22(2)2(1)23；

沿lgradf(1,1,0)(2,2,1)方向的方向?qū)?shù)最小，且最小的方向?qū)?shù)是

gradf(1,1,0)22(2)2(1)23．

習(xí)題8—7（B）

21．在點(diǎn)P(1,2)處，求函數(shù)zln(xy)沿拋物線y4x在該點(diǎn)處的切線方向上的方向

導(dǎo)數(shù)．

222解：由y4x，有xy/4，x(y)y/2，拋物線y4x在點(diǎn)P(1,2)處的切向量11l(x(y)，1)P(1，1)，el()．22

grazd(1，2)(1111)P()．xyxy33

所以z

lP111122．gradz(1，2)el()()3332232

22

3313)處2．求函數(shù)u(x2y3z)2在點(diǎn)P(1，1，1)處沿球面x2y2z21在點(diǎn)M(，

的v(

（3）grad(u)(2u2uuuuuu，2u，2u)2u()2ugrad(u)．xyzxyz

4．求函數(shù)uu(x,y,z)在任意點(diǎn)處沿函數(shù)vv(x,y,z)在該點(diǎn)的梯度方向上的方向?qū)?shù)．vvvvvvvvv解：l()，el()/()2()2()2，xyzxyzxyz

所以uuuu()ellxyz

uuuvvvvvv)()/()2()2()2xyzxyzxyz(

gradugradv．gradv

gradvv，el或者，因?yàn)閘grad，所以gradv

ugradvgradugradv．graduelgradulgradvgradv

習(xí)題8—8（A）

1．判斷下列論述是否正確，并說明理由：

fx(x,y)0,（1）對于可微分的函數(shù)zf(x,y)，滿足方程組的點(diǎn)（也即駐點(diǎn)）就f(x,y)0y

是該函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）二元函數(shù)zf(x,y)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)定義域的內(nèi)點(diǎn)，而且可能是駐點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)．但是這些點(diǎn)僅僅是“可疑點(diǎn)”，還要利用定理8.2（充分條件）去判斷；

（3）連續(xù)函數(shù)zf(x,y)在有界閉區(qū)域D上一定存在最大值與最小值，最值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)；

（4）用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值時，要首先找到目標(biāo)函數(shù)和約束條件，然后構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，問題就轉(zhuǎn)化為求該拉格朗日函數(shù)的普通（無條件）極值問題．

答：（1）不正確，如在(0,0)點(diǎn)是函數(shù)zxy的駐點(diǎn)，但是它不是極值點(diǎn)．

（2）不確切，在極值的定義中要求極值點(diǎn)一定是函數(shù)定義域的內(nèi)點(diǎn)，并且對于偏導(dǎo)數(shù)存

在的函數(shù)定理8.1保證了極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)，而例子zx2y2說明了極值點(diǎn)也可以是偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)；對于偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)不能用定理8.2判斷，要通過極值定義判斷，并且對于駐點(diǎn)，當(dāng)ACB0時，也需要用極值定義判斷．

（3）不正確，雖然有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值與最小值，但是最值點(diǎn)可以在D的邊界上取得，這時它就不是極值點(diǎn)．

（4）不確切，用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值時，只是通過拉格朗日函數(shù)找目標(biāo)函數(shù)的可能極值點(diǎn)，而不是求拉格朗日函數(shù)的極值．對于這樣的可能極值點(diǎn)，到底是不是目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)？一般是通過實(shí)際意義判定，別個題目也可以用“有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)一定存在最大值、最小值”來判定．

2．求下列函數(shù)的極值：

（1）f(x,y)2xxy；（2）f(x,y)xy6x3y9x；

（3）f(x,y)e(x2yy)；（4）f(x,y)1(xy)x2223/22233222．

fx(x，y)22x0，解：（1）定義域?yàn)槿矫?，并且函?shù)處處可微．由得唯一駐點(diǎn)f(x，y)2y0，y

(1，0)．Afxx(1，0)20、Bfxy(1，0)0、Cfyy(1，0)2，ACB240，根據(jù)二元函數(shù)極值的充分條件，點(diǎn)(1，0)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(1,0)1，該函數(shù)無極小值．

2fx(x，y)3x12x90，（2）定義域?yàn)槿矫?，并且函?shù)處處可微．由即2fy(x，y)3y6y0，

(x1)(x3)0，得函數(shù)的所有駐點(diǎn)是P，0)、P2(1，2)、P3(3，0)、P4(3，2)．1(1

y(y2)0，

對上述諸Afxx(x，y)6x12、Bfxy(x，y)0、Cfyy(x，y)6y6，

點(diǎn)列表判定：

所以函數(shù)的極大值為f(3,2)4，極小值為f(1,0)4．

x2fx(x，y)e(1x2yy)0，（3）定義域?yàn)槿矫?，并且函?shù)處處可微．由得xf(x，y)e(22y)0，y

唯一駐點(diǎn)(0，1)．

fxx(x，y)ex(2x2yy2)、fxy(x，y)ex(22y)、fyy(x，y)2ex，

A10、B0、C2，ACB220，根據(jù)二元函數(shù)極值的充分條件，點(diǎn)(0，1)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，極小值f(0,1)1，該函數(shù)無極大值．

22fx(x，y)3xxy0，（4）定義域?yàn)槿矫?，函?shù)處處可微．由得唯一駐點(diǎn)22fy(x，y)3yxy0，

(0，0)．由于在(0，0)點(diǎn)處函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)不存在，不能用定理8.2判定，為此根據(jù)極值的定義，當(dāng)x2y20（即非(0，0)點(diǎn)）時f(x,y)1(x2y2)3/21f(0，0)，所以點(diǎn)(0，0)是該函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(0,0)1，該函數(shù)無極小值．

223．在附加條件：xy1下，求函數(shù)zxy的極值．

22解：由條件xy1，有yx1，代入到目標(biāo)函數(shù)zxy之中，得

z2x2x1．由2dz114x20，得一元函數(shù)z2x22x1的唯一駐點(diǎn)x，此時y，dx22

x1/2d2z而2dx

y40，所以x112是一元函數(shù)z2x2x1的極小值點(diǎn)，所以當(dāng)x、221時二元函數(shù)zx2y2在附加條件xy1下取得極小值，且極小值為2

111f(，)，該函數(shù)在附加條件xy1下無極大值．222

（注：該題目不能用拉格朗日乘數(shù)法求解，否則無法判定，除非從幾何意義）

4．（1）用鐵板做一個容積為8（m3）的長方體有蓋水箱，問如何設(shè)計最省材料？

（2）用面積為12（m2）鐵板做一個長方體無蓋水箱，問如何設(shè)計容積最大？

解：（1）設(shè)水箱的長、寬、高分別為x、y、z，表面積為A，則目標(biāo)函數(shù)為A2(xyxzyz)（x0，y0，z0），附加條件是xyz8．

設(shè)L(x，y，z)2(xyxzyz)(xyz8)（x0，y0，z0），由

LxLyLz

L2(yz)yz0，2(xz)xz0，得唯一可能極值點(diǎn)xyz2，2(xy)xy0，xyz80，

根據(jù)實(shí)際意義，當(dāng)長方體體積一定是其表面積有最小值，所以當(dāng)長、寬、高都為2（m）時最省材料（此時用(24）m2的鐵板）．

2(yz)yz，（注：可按下面解法找可能極值點(diǎn)：在上面方程組中，前兩個方程寫為2(xz)xz，

該兩個方程作比值，有yzy，得xy，同樣由第二、三方程得yz，再代入到xzx

xyz80之中，就得到xyz2，這種求解法在拉格朗日乘數(shù)法中經(jīng)常使用）

(2)設(shè)水箱的長、寬、高分別為x、y、z，體積為V，則目標(biāo)函數(shù)為Vxyz（x0，y0，z0），附加條件是xy2xz2yz12．

設(shè)L(x，y，z)xyz(xy2xz2yz12)（x0，y0，z0），由

Lxyz(y2z)0，

Lxz(x2z)0，y得唯一可能極值點(diǎn)xy2、z1，Lzxy2(xy)0，

xy2xz2yz8，

根據(jù)實(shí)際意義，當(dāng)長方體表面積一定是其體積有最大值，所以當(dāng)長、寬都為2（m），高為1（m）時無蓋長方體水箱容積最大(此時體積為4（m3）)．

5．在xOy面上求一點(diǎn)，使得該點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸及直線3x4y50的距離平方和最?。?/p>

(3x4y50)2

2解：設(shè)所求點(diǎn)為(x，y)，則目標(biāo)函數(shù)為Dxy（(x，y)R），2522

2x6(3x4y50)/250，Dx由即D2y8(3x4y50)/250，y17x6y750，得唯一可能極值點(diǎn)12x41y2000，

x3、y4，由實(shí)際意義，一點(diǎn)到三條直線距離平方和有最小值，所以所求點(diǎn)為(3，4)．

6．在斜邊長為l的直角三角形中，求周長最大的三角形及其周長．

解：設(shè)兩直角邊長分別為x、y，三角形周長為L，則目標(biāo)函數(shù)是Lxyl（x0，y0），附加條件為xyl．

設(shè)F(x，y)xyl(xyl)，由222222

Fx12x0，lFy12y0，在x0，y0時得唯一可能極值點(diǎn)xy，2x2y2l2，

由實(shí)際意義，斜邊長為一定的直角三角形中，周長有最大值，所以當(dāng)兩直角邊長都為l2

（即等腰直角三角形）時，其周長最大，且最大周長為(12)l．

7．在半徑為3的半球在x0，y0，z0得唯一可能極值點(diǎn)xyz，4xy2z0，y2z29，

由實(shí)際意義，半球的內(nèi)接長方體體積有最大值，所以當(dāng)?shù)谝回韵薜膬?nèi)接點(diǎn)為M(33)時，內(nèi)接長方體體積最大，且最大體積值為V4(3)33．

8．求函數(shù)z2x3y1在閉區(qū)域D：xy4上的最小值與最大值．2222

zx4x0，解：先找區(qū)域內(nèi)部的可能極值點(diǎn)，由得駐點(diǎn)(0，0)，且z(0，0)1．z6y0，y

再求函數(shù)在區(qū)域邊界上的最值，設(shè)L(x，y)2x3y1(xy4)，由2222

Lx2x(2)0，2)（3）得可能極值點(diǎn)(0，、(2，，0)（2）Ly2y(3)0，

x2y24，

2)11、z(2，在這些點(diǎn)上函數(shù)值為z(0，0)7，于是函數(shù)在邊界上的最小值為

m17，最大之為M111．

比較m1、M1、及z(0，0)1，得函數(shù)在閉區(qū)域D：xy4上的最小值為22

mz(0,0)1，最大值為Mz(0,2)11．

習(xí)題8—8（B）

1．某商家通過報紙及電視兩種媒體做某商品廣告．如果銷售收入

R1514x32y8xy2x210y2，

其中x（單位：萬元）為報紙廣告費(fèi)用，y（單位：萬元）為電視廣告費(fèi)用．

（1）在不限定廣告費(fèi)用時，求最優(yōu)廣告策略；

（2）若限定廣告費(fèi)用為1.5萬元時，求最優(yōu)廣告策略．

解：用z表示銷售收入減去廣告費(fèi)用，則

z(x,y)1513x31y8xy2x10y，(x0,y0).22

zx(x，y)138y4x0，（1）由得唯一駐點(diǎn)x0.75，y1.25．zy(x，y)318x20y0，

由實(shí)際意義z有最大值，所以在不限定廣告費(fèi)用時，當(dāng)報紙廣告費(fèi)為0.75萬元，電視廣告費(fèi)為1.25萬元時，廣告策略最優(yōu)．

（2）當(dāng)廣告費(fèi)用限定為1.5萬元時，即約束條件是xy1.5，

設(shè)L(x，y)1513x31y8xy2x10y(xy1.5)，由22

(x，y)138y4x0，LxL得唯一可能極值點(diǎn)x0，y1.5．y(x，y)318x20y0，

xy1.5，

由實(shí)際意義z有最大值，所以在限定廣告費(fèi)用為1.5萬元時，將其全部用于做電視廣告，廣告策略最優(yōu)．

2222．設(shè)函數(shù)zz(x,y)由方程x4yz2x8y4z50確定，求z的最小值與

最大值．

解：方程x4yz2x8y4z50兩邊同時對x求導(dǎo)，有

2x2z

222222zz240，①xx方程x4yz2x8y4z50兩邊同時對y求導(dǎo)，有

8y2zzz840，②yy

令zz0，由①、②①cos2222x22uucosu(sin)2yy

cos2u2ucos2usincoscossinusin(sin2)2

2ucos2u(sin)，2cos

2ucos2u2sincosu2u2sincos2ucos22u2，②sin22222y

2u2u2u12u1u①、②式相加得，22．xy222

17．若函數(shù)zz(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，以uxy，v

22z2z量，改寫方程xy0．x2y22x為自變y

解：zzuzvz1zzzuzvzxzy，，x2xuxvxuyvyuyvyuyv

22z2zu2zv12zu2zv2z12z2zy(2)(2)y222，22xuvxyvuxxuvxuvuyv

2z2zu2zv2xzx2zu2zvx(2)32(2)2yuyuvyyvyvuyvy

2z2x22zx22z2xzx，2u2yuvy4v2y3v2

22z2z于是xy22xy2

22z2z12z2x22zx22z2xz22zx(y222)y(x2423)22uuvyvuyuvyvyv22

2z2xz，4xuvyv2

222xz2z1z2z2z2z所以x化為，即4x00，也就y022uvyvuv2xyvxy2

2z1z是．uv2uv

2u2u18．若函數(shù)uf(xy)滿足220，求二次可微函數(shù)f(r)．xy22

解：令r

x2y2，則uf(r)，udurxxf(r)f(r)，xdrxx2y2r

2uxrxx/rxxr2x2x2

(f(r))()f(r)f(r)f(r)2f(r)，223xrrrxrrr

2ur2y2y2

由變量x、y的對稱性，有2f(r)2f(r)，于是3yrr

2u2u2r2x2y2x2y21f(r)f(r)f(r)f(r)，2232rxyrr

1f(r)12u2uf(r)f(r)0，兩邊同時對r求不則方程220化為，改寫為rf(r)rxy

定積分，得lnf(r)lnC1C，即f(r)1，再積分得，rr

f(r)C1lnrC2（其中C1、C2為任意常數(shù)）．

19．設(shè)函數(shù)xx(u,v)、yy(u,v)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且J(x,y)xu(u,v)yuxv0，yv

求反函數(shù)uu(x,y)、vv(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)uuvv、、及．xyxy

xuxv1，xx(u，v)，uxvx解：方程組兩邊同時對x求導(dǎo)，有yuyvyy(u，v)0，uxvx

(x,y)xu因?yàn)镴(u,v)yuxv0，則yv

10uxux

yuxvyvxvyv11yvyv，JJvxxuyuxuyu1011yyu．xvJJuyv

xuxv0，xx(u，v)，uyvy方程組兩邊同時對y求導(dǎo)，有同樣解得yuyvyy(u，v)1，uyvy

1xuv1x，．JvyyJu

20．求函數(shù)zln(x2y2)在點(diǎn)(1，1)處，沿函數(shù)在該點(diǎn)梯度方向上的方向?qū)?shù)．

解：（方法1）lgradz(1，1)(

z

l112x2ye()，，)(1，1)l(1，1)x2y2x2y222(1,1)112gradz(1，1)el(1，1)()2．222

2x2y)(1，1)(1，1)，則x2y2x2y2，1)(（方法2）由gradz(1

z

l(1,1)gradz(1，1)(1，1)2．

2222321．求函數(shù)uxyz在點(diǎn)(1，1，1)處，沿曲線xt，yt，zt在該點(diǎn)處的切

線正向（對應(yīng)于t的增加方向）的方向?qū)?shù)．

解：曲線上點(diǎn)(1，1，1)對應(yīng)參數(shù)t1，切向量為

T(x(t)，y(t)，z(t))t1(1，2t，3t2)t1(1，2，3)，

123，)．2，3)，于是lT(1，2，3)，el(t的增加方向?qū)?yīng)切向量T(1，

gradu(1，1，1)(

u

luuu)(1,1,1)(2x，2y，2z)(1,1,1)(2，2，2)．xyz(1,1,1)1236gradu(1，1，1)el(2，2，2)()．722．求函數(shù)uxyz在球面x2y2z21上點(diǎn)M(x0，y0，z0)處沿外法線方向上的方向?qū)?shù)，并在球面上找出該方向?qū)?shù)為零的點(diǎn)．

解：球面x2y2z21上點(diǎn)M(x0，y0，z0)處的法線方向n2(x0，y0，z0)，對于外法線方向有cos與變量z同號，于是外法線方向n2(x0，y0，z0)．

n(x0，y0，z0)(x0，y0，z0)．取l，則el2222x0y0z0

gradu(x0，y0，z0)(

u

luuu)(x0，y0，z0)(1，1，1)．xyz(x0，y0，z0)gradu(x0，y0，z0)el(1，1，1)(x0，y0，z0)x0y0z0，

222在球面上該方向?qū)?shù)為零的點(diǎn)滿足x0y0z00及x0y0z01，所以在球面上

該方向?qū)?shù)為零的點(diǎn)是圓周

22x0y0z00,上的所有點(diǎn)．222x0y0z0123．求曲線y4x，z2x在點(diǎn)M(1，2，1)處的切線及法平面方程．

解：曲線方程改寫為y2x，z2x（以x為參數(shù)），點(diǎn)M(1，2，1)對應(yīng)x1，

11，y(x)，z(x))x1(1)則切向量為T(1x22x

切線方程為x111(1，1)(2，2，1)．22x1y2z1，221

法平面方程為2(x1)2(y2)(z1)0，即2x2yz5．

24．在曲面zxy上求一點(diǎn)，使得該點(diǎn)處的法線垂直于平面x3yz0，并寫出該點(diǎn)處的切平面及法線方程．

解：設(shè)所求點(diǎn)為M0(x0，y0，z0)，法向量n(zx，zy，1)

垂直于平面x3yz0，有n∥(1于是，3，1)，M0(y0，x0，1)，由法線y0x01，得x03、y01、131

z0x0y03，所以所求點(diǎn)為(3,1,3)，此時法向量n(1，3，1)(1，3，1)，

切平面方程為(x3)3(y1)(z3)0，即x3yz30，法線方程為x3y1z3．131

25．問曲面zez2xy3上哪點(diǎn)處的切平面垂直于直線x2y1，z0.

解：設(shè)所求點(diǎn)為M0(x0，y0，z0)，F(xiàn)(x，y，z)zez2xy3，則曲面在M0點(diǎn)的法向量n(Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z)

M0x2y1，(2y0，2x0，1ez0)，而直線的方向向量為

z0

x2y1，有n∥s，于s(1，2，0)(0，0，1)(2，1，0)．由切平面垂直于直線z0，

2y02x01ez0z是，由此1e00，得z00，且y02x0，將其代入到方程210

2zez2xy3之中，有x01，即x02，進(jìn)而y02，所以所求點(diǎn)是(1，2，0)或

(1，2，0)．

26．求函數(shù)f(x,y)xyx2xyy的極值．

解：函數(shù)的定義域DR，且處處可微．

3fx4x2x2y0，由得駐點(diǎn)P，1)、P2(1，1)、P3(0，0)．1(13f4y2x2y0，y24422

2，Cfyy12x22，Bfxy12y22．Afxx

在P，1)點(diǎn)，A100、B2、C10、ACB960，所以P，1)是函1(11(1數(shù)的極小值點(diǎn)；

在P2(1，1)點(diǎn)，A100、B2、C10、ACB960，所以22

P2(1，1)也是函數(shù)的極小值點(diǎn)；

在P3(0，0)點(diǎn)，ABC2，ACB20，定理8.2失效，改用極值定義判斷．f(0，0)0，但是函數(shù)f(x,y)xyx2xyy在P3(0，0)的任何鄰域內(nèi)

22既可以取負(fù)值又可以取正值，事實(shí)上：沿直線yx求函數(shù)值，f(x，x)2x(x2)，4422

在x(2，0)(02)時f(x，x)0；沿yx求函數(shù)值，f(x，x)2x4，當(dāng)x0時，f(x，x)0，