高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)和極限試題1

PAGEPAGE12PAGE高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限試題選擇題1.設(shè)F(x)是持續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，表示“M的充分必要條件是N”，則必有（A）F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù).（B）F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函數(shù).（C）F(x)是周期函數(shù)f(x)是周期函數(shù).（D）F(x)是單調(diào)函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)2．設(shè)函數(shù)則x=0,x=1都是f(x)的第一類中斷點(diǎn).x=0,x=1都是f(x)的第二類中斷點(diǎn)x=0是f(x)的第一類中斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類中斷點(diǎn).x=0是f(x)的第二類中斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類中斷點(diǎn).3．設(shè)(x)=，x≠0,1,則[]=()A）1－xB）C）D）x4．下列各式正確的是()A）=1B）=eC）=-eD）=e5．已知，則()。；B.；C.；D.。6．極限：()；B.；C.；D.7．極限：=（）；B.；；．8．極限：=（）；B.；C；．9. 極限：=（）；B.；；D.．10．極限:=（）；B.；C.；．二.填空題11．極限=.12.=_______________.13.若在點(diǎn)持續(xù)，則=_______________；14.___________；15._________________；16.若函數(shù)，則它的中斷點(diǎn)是___________________17.絕對(duì)值函數(shù)其概念域是,值域是18.符號(hào)函數(shù)其概念域是，值域是三個(gè)點(diǎn)的集合19.無窮小量是20.函數(shù)在點(diǎn)x0持續(xù)，要求函數(shù)yf(x)知足的三個(gè)條件是三.計(jì)算題21.求22.設(shè)f(e)=3x-2,求f(x)(其中x>0);23.求(3－x);24.求();25.求26.已知，求的值；27.計(jì)算極限28.求它的概念域。29.判斷下列函數(shù)是不是為同一函數(shù)：⑴f(x)＝sin2x＋cos2xg(x)＝1⑵⑶⑷⑸y＝ax2s＝at230.已知函數(shù)f(x)＝x2-1，求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)31.求32.求33.求34.求35.判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是不是存在極限⑴⑵36.37.38.39.求當(dāng)x→∞時(shí)，下列函數(shù)的極限40.求當(dāng)x→∞時(shí)，下列函數(shù)的極限41.41.42.43.44.45.46.47.48.研究函數(shù)在指定點(diǎn)的持續(xù)性x0＝049.指出下列函數(shù)在指定點(diǎn)是不是中斷，若是中斷，指出是哪類中斷點(diǎn)。,x＝150.指出下列函數(shù)在指定點(diǎn)是不是中斷，若是中斷，指出是哪類中斷點(diǎn)。，x＝０51.指出下列函數(shù)在指定點(diǎn)是不是中斷，若是中斷，指出是哪類中斷點(diǎn)。，x＝０52.證明f(x)＝x2是持續(xù)函數(shù)53.54.55.試證方程2x3－3x2＋2x－3＝0在區(qū)間[1,2]至少有一根56.57.試證正弦函數(shù)y=sinx在(-∞,+∞)內(nèi)持續(xù)。58.函數(shù)f(x)=x=在點(diǎn)x=0處是不是持續(xù)？59.函數(shù)=是不是在點(diǎn)持續(xù)？60.求極限.答案：一.選擇題【分析】本題可直接推證，但最簡(jiǎn)便的方式仍是通過反例用排除法找到答案.【詳解】方式一：任一原函數(shù)可表示為，且當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí)，有，于是，即，也即，可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x)為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，從而為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng).方式二：令f(x)=1,則取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,則取F(x)=,排除(D);故應(yīng)選(A).【評(píng)注】函數(shù)f(x)與其原函數(shù)F(x)的奇偶性、周期性和單調(diào)性已多次考查過.請(qǐng)讀者試探f(x)與其原函數(shù)F(x)的有界性之間有何關(guān)系?2.D【分析】顯然x=0,x=1為中斷點(diǎn)，其分類主要考慮左右極限.【詳解】由于函數(shù)f(x)在x=0,x=1點(diǎn)處無概念，因此是中斷點(diǎn).且，所以x=0為第二類中斷點(diǎn)；，，所以x=1為第一類中斷點(diǎn)，故應(yīng)選(D).【評(píng)注】應(yīng)特別注意：，從而，345C678∵x→∞時(shí)，分母極限為令，不能直接用商的極限法則。先恒等變形，將函數(shù)“有理化”：原式=.（有理化法）9D10解原式.▌錯(cuò)誤！注錯(cuò)誤！原式.二.填空題11.212.113.014.515.16.17.18.19.在某一極限進(jìn)程中，以0為極限的變量，稱為該極限進(jìn)程中的無窮小量20.①函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0有概念；②x→x0時(shí)極限存在；③極限值與函數(shù)值相等，即三.計(jì)算題21.【分析】型未定式，一般先通分，再用羅必塔法則.【詳解】===22.(x)=3lnx+1x＞023.24.25.26.;27.328.解：由x＋2≥０解得x≥-2由x－１≠０解得x≠１由5－２x＞０解得x＜函數(shù)的概念域?yàn)椋鹸｜＞x≥-2且x≠1｝或表示為（,1）∪（1,-2）29.⑴、⑸是同一函數(shù)，因?yàn)楦拍钣蚝蛯?duì)應(yīng)法則都相同，表示變量的字母能夠不同。⑵⑶不是同一函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊母拍钣虿幌嗤?。⑷不是同一函?shù)，因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)的函數(shù)值不相同，即對(duì)應(yīng)法則不同。30.解：f(x+1)＝(x+1)2-1＝x2+2x，f(f(x))＝f(x2-1)＝(x2-1)2-1＝x4-2x2f(f(3)+2)＝f(32-1+2)＝f(10)＝9931.解：32.解：33.解：34.解：35.解：⑴因?yàn)?，所以函?shù)在指定點(diǎn)的極限不存在。⑵因?yàn)?，所以函?shù)在指定點(diǎn)的極限36.37.38.39.40.41.42.43.=44.45.46.47.49.中斷，函數(shù)在x＝1處無概念且左右極限不存在，第二類中斷點(diǎn)50.中斷，函數(shù)在x＝0處左右極限不存在，第二類中斷點(diǎn)51.中斷，但f(0)＝1，二者不相等，第一類中斷點(diǎn)52.證明：x0∈(－∞,＋∞)因?yàn)椋琭(x0)=x02所以因此，函數(shù)f(x)＝x2是持續(xù)函數(shù)。53.54.55.證明：設(shè)f(x)＝2x3－3x2＋2x－3，則f(x)在[1,2]上持續(xù)，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0按照零點(diǎn)定理，必存在一點(diǎn)ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0，則x＝ξ就是方程的根。56.原式57.證x(-∞,+∞)，任給x一個(gè)增量Δx，對(duì)應(yīng)的有函數(shù)y的增量Δy=sin(+Δx)-sinx=.∵，由夾逼準(zhǔn)則知，△y→0（Δx→0），再由x的任意性知正弦函數(shù)y=sinx在其概念域(-∞,+∞)上處處持續(xù)，即它是持續(xù)函數(shù)。58.解注意f(x)是分段函數(shù)，且點(diǎn)雙側(cè)f表達(dá)式不一致。解法1∵f(0-0)=，f(0+0)=，∴.又f(0)=0，∴函數(shù)f(x)=x在點(diǎn)x=0處持續(xù)（圖1—19）。解法2∵，∴函數(shù)在點(diǎn)左持續(xù)；又∵，∴函數(shù)在點(diǎn)右持續(xù)，所以函數(shù)