2022年湖南省湘潭市鵬山中學(xué)高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

2022年湖南省湘潭市鵬山中學(xué)高二數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，M為棱BB1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．D1O∥平面A1BC1

B．D1O⊥平面AMCC．異面直線(xiàn)BC1與AC所成的角等于60°

D．二面角M－AC－B等于45°參考答案：D2.對(duì)任意的x，y∈（0，+∞），不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最大值是（）A． B．e C．e D．2e參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍．【分析】通過(guò)參數(shù)分離，利用基本不等式放縮可知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2lna≤在x＞0時(shí)恒成立，記g（x）=，二次求導(dǎo)并結(jié)合單調(diào)性可知當(dāng)x=4時(shí)g（x）取得最小值g（4）=1，進(jìn)而計(jì)算即得結(jié)論．【解答】解：設(shè)f（x）=ex+y﹣4+ex﹣y+4+6，不等式4xlna≤ex+y﹣4+ex﹣y+4+6恒成立，即為不等式4xlna≤f（x）恒成立．即有f（x）=ex（ey﹣4+e﹣（y﹣4））+6≥6+2ex（當(dāng)且僅當(dāng)ey﹣4=e﹣（y﹣4），即y=0時(shí)，取等號(hào)），由不等式ex+y﹣4+ex﹣y+4+6≥4xlna恒成立，只需要4xlna≤6+2ex﹣4，即有2lna≤在x＞0時(shí)恒成立，令g（x）=，g′（x）=，令g′（x）=0，即（x﹣1）ex﹣4=3，令h（x）=（x﹣1）ex﹣4，（x＞0），h′（x）=xex﹣4＞0，∵x＞0，ex﹣4＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又∵h(yuǎn)（4）=3，即有（x﹣1）ex﹣4=3的根為4，∴當(dāng)x＞4時(shí)g（x）遞增，當(dāng)0＜x＜4時(shí)g（x）遞減，∴當(dāng)x=4時(shí)，g（x）取得最小值g（4）=1，∴2lna?1，lna?，∴0＜a?，（當(dāng)x=2，y=0時(shí)，a取得最大值），故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式恒成立問(wèn)題注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．3.設(shè)，則變形到需增添項(xiàng)數(shù)為(

)A．項(xiàng)

B．項(xiàng)

C．2項(xiàng)

D．1項(xiàng)參考答案：B4.已知≥0，≤0，≥0，則的最小值是（

）A.9

B.4

C.3

D.2參考答案：A5.公元前3世紀(jì)，古希臘歐幾里得在《幾何原本》里提出：“球的體積（V）與它的直徑（d）的立方成正比”，此即V=kd3，與此類(lèi)似，我們可以得到：（1）正四面體（所有棱長(zhǎng)都相等的四面體）的體積（V）與它的棱長(zhǎng)（a）的立方成正比，即V=ma3；（2）正方體的體積（V）與它的棱長(zhǎng)（a）的立方成正比，即V=na3；（3）正八面體（所有棱長(zhǎng)都相等的八面體）的體積（V）與它的棱長(zhǎng)（a）的立方成正比，即V=ta3；那么m：n：t=（）A．1：6：4 B．：12：16 C．：1： D．：6：4參考答案：A【考點(diǎn)】F3：類(lèi)比推理．【分析】求出正四面體、正方體、正八面體的體積，類(lèi)比推力即可得出．【解答】解：由題意，正四面體的體積V==a3；正方體的體積V=a3；正八面體的體積V=2×=a3，∴m：n：t=1：6：4，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正四面體、正方體、正八面體的體積計(jì)算公式、類(lèi)比推力，屬于中檔題．6.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案： 7.設(shè)，是雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，為左頂點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，，，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B． C．15 D．參考答案：D由題得，，，所以雙曲線(xiàn)的方程為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或，所以．故答案為D．8.正三棱錐中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，PA=PB=PC=，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，一只螞蟻沿錐體側(cè)面由點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，最短路線(xiàn)長(zhǎng)是（

） A. B. C. D.參考答案：D9.已知函數(shù)y=x+1+lnx在點(diǎn)A（1，2）處的切線(xiàn)l，若l與二次函數(shù)y=ax2+（a+2）x+1的圖象也相切，則實(shí)數(shù)a的取值為（）A．12 B．8 C．0 D．4參考答案：D【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程．【分析】求出y=x+1+lnx的導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率，可得切線(xiàn)方程，再由于切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切點(diǎn)，進(jìn)而可聯(lián)立切線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，根據(jù)△=0得到a的值．【解答】解：y=x+1+lnx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+，曲線(xiàn)y=x+1+lnx在x=1處的切線(xiàn)斜率為k=2，則曲線(xiàn)y=x+1+lnx在x=1處的切線(xiàn)方程為y﹣2=2x﹣2，即y=2x．由于切線(xiàn)與曲線(xiàn)y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可聯(lián)立y=2x，得ax2+ax+1=0，又a≠0，兩線(xiàn)相切有一切點(diǎn)，所以有△=a2﹣4a=0，解得a=4．故選：D．10.函數(shù)的遞增區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將“函數(shù)y=2x+5的圖像是一條直線(xiàn)”用三段論表示為：大前提：

小前提：

結(jié)論：

參考答案：大前提：一次函數(shù)的圖像是直線(xiàn)小前提：函數(shù)y=2x+5是一次函數(shù)

結(jié)論：函數(shù)y=2x+5的圖像是一條直線(xiàn)略12.圓與圓的位置關(guān)系是_____________.

參考答案：相交略13.已知且，則實(shí)數(shù)的值等于_________參考答案：略14.參考答案：略15.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，截面，截面，則截面和截面面積之和

參考答案：∵面PQEF∥A′D，平面PQEF∩平面A′ADD′=PF

∴A′D∥PF，同理可得PH∥AD′，

∵AP=BQ=b，AP∥BQ；∴APBQ是平行四邊形，∴PQ∥AB，

∵在正方體中，AD′⊥A′D，AD′⊥AB，

∴PH⊥PF，PH⊥PQ，截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，PF＝AP，PH＝PA′，∴截面PQEF和截面PQGH面積之和是(故答案為

16.若正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則這個(gè)三角形的面積為

。參考答案：略17.中，角的對(duì)邊分別為，若，則銳角的大小為_(kāi)____________參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值；（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．參考答案：【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）首先求出函數(shù)的定義域，把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式后，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)等于0求出函數(shù)的極值點(diǎn)，結(jié)合定義域可得函數(shù)在定義域內(nèi)取得最值的情況，從而求出函數(shù)的最值．（2）把原函數(shù)求導(dǎo)后，對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)，根據(jù)a的不同取值得到導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=x2﹣ax﹣aln（x﹣1）（a∈R）的定義域是（1，+∞）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x2﹣x﹣ln（x﹣1），，當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在為減函數(shù)．當(dāng)x∈時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在為增函數(shù)，則當(dāng)x=時(shí)，f（x）有極小值，也就是最小值．所以函數(shù)f（x）的最小值為=．（2），若a≤0時(shí)，則，f（x）=＞0在（1，+∞）恒成立，所以f（x）的增區(qū)間為（1，+∞）．若a＞0，則，故當(dāng)，f′（x）=≤0，當(dāng)時(shí)，f（x）=≥0，所以a＞0時(shí)f（x）的減區(qū)間為，f（x）的增區(qū)間為．19.（本小題滿(mǎn)分16分）已知函數(shù)

(為實(shí)常數(shù))．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；（2）當(dāng)時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù)．（3）若，且對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：（1），當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，又，故，當(dāng)時(shí)，取等號(hào)

-------4分（2）易知，故，方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)。設(shè)=，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增。又，，作出與直線(xiàn)的圖像，由圖像知：當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；當(dāng)

或時(shí)，方程有1個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根；

-------10分

（3）當(dāng)時(shí)，在時(shí)是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于即，故原題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，恒成立，即在時(shí)恒成立。在時(shí)是減函數(shù)

-------16分（其他解法酌情給分）略20.(本小題共12分)如圖，已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上，且異于點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于點(diǎn)，(Ⅰ)設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，求證：為定（Ⅱ）求線(xiàn)段的長(zhǎng)的最小值；（Ⅲ）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或（Ⅰ），令，則由題設(shè)可知，∴直線(xiàn)的斜率，的斜率，又點(diǎn)在橢圓上，所以，（），從而有.（Ⅱ）由題設(shè)可以得到直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，由，

由，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn).

又，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取到，故線(xiàn)段長(zhǎng)的最小值是.（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，故有，又，所以以為直徑的圓的方程為，令解得，以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)和.21.無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)恒有公共點(diǎn)。

（1）求雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍；

（2）若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，并且滿(mǎn)足,求雙曲線(xiàn)的方程。參考答案：

22.（本小題滿(mǎn)分12分）已知一條曲線(xiàn)在軸右側(cè)，上每一點(diǎn)到點(diǎn)的距離減去它到軸距離的差都是1．（1）求曲線(xiàn)的方程；（2）（文科做）已知點(diǎn)是曲線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是直線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．（理科做）是否存在正數(shù)，對(duì)于過(guò)點(diǎn)且與曲