江西省上饒市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測(cè)試數(shù)學(xué)試題

上饒市2023—2024學(xué)年度上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量測(cè)試高二數(shù)學(xué)試題卷注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，寫在本試卷上無效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上，答在本試卷上無效．4．本試卷共22題，總分150分，考試時(shí)間120分鐘．第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出直線斜率可得答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所?故選：D.2.若向量，，則的值為（）A.0 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得.【詳解】由向量，，則.故選：B.3.盒子中有紅球3個(gè)，黃球4個(gè)，任取3個(gè)球，則抽到2個(gè)紅球的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式可得.【詳解】盒子中有紅球3個(gè)，黃球4個(gè)，從盒子中任取3個(gè)球，共有種取法，3球中抽到個(gè)紅球，則有個(gè)黃球，故取法有種，由古典概型的概率公式得所求事件的概率為.故選：A4.根據(jù)與之間的一組數(shù)據(jù)求得兩個(gè)變量之間的線性回歸方程為，已知數(shù)據(jù)的平均值為，則數(shù)據(jù)的平均值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將代入回歸直線方程，可得出的值.【詳解】將代入回歸直線方程可得.故選：D.5.已知橢圓，若點(diǎn)P在橢圓M上，，是橢圓M的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】由，再由基本不等式求解.【詳解】解：由橢圓M方程可知，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，則的最大值為：2故選：B6.某大學(xué)有兩家餐廳，某同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐，如果第一天去餐廳，那么第2天去餐廳的概率是；如果第一天去餐廳，那么第二天去餐廳的概率是；則該同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)，應(yīng)用全概率公式可直接求得該同學(xué)第2天去餐廳用餐的概率.【詳解】設(shè)“第1天去A餐廳用餐”，“第1天去B餐廳用餐”，“第2天去A餐廳用餐”，由題意得：，，，由全概率公式，得：，因此，該同學(xué)第天去餐廳用餐的概率為.故選：B.7.名學(xué)生參加數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，有個(gè)不同的數(shù)學(xué)建模小組，每個(gè)小組分配名學(xué)生，則不同的分配方法種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依次分配第一、二、三組，結(jié)合平均分組法可得出不同的分配方法種數(shù).【詳解】名學(xué)生參加數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，有個(gè)不同的數(shù)學(xué)建模小組，每個(gè)小組分配名學(xué)生則不同的分配方法種數(shù)為種.故選：B.8.已知拋物線，弦過拋物線的焦點(diǎn)且滿足，則弦的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合可得出，代入韋達(dá)定理求出的值，再利用拋物線的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可求得的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)?，即，可得，即，所以，，可得，，所以，，則，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.若隨機(jī)變量，下列說法中正確的有（）A. B.期望C.期望 D.方差【答案】AC【解析】【分析】利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可判斷A選項(xiàng)；利用二項(xiàng)分布的期望公式可判斷B選項(xiàng)；利用期望的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；利用方差的性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，則，，，由期望的性質(zhì)可得，由方差的性質(zhì)可得，AC對(duì)，BD錯(cuò).故選：AC.10.已知，則下列結(jié)論成立的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，可得出，可判斷A選項(xiàng)；利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)可判斷B選項(xiàng)；由可判斷C選項(xiàng)；由可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)，對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，的展開式通項(xiàng)為，所以，，B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，解得，，C錯(cuò)D對(duì).故選：ABD.11.若直線與相交于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值可以為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】ABC【解析】【分析】由幾類特殊情況可得ABC，由兩直線互相垂直得點(diǎn)的軌跡，可得的范圍可排除D.【詳解】已知直線與，由，得.由直線，則不垂直于軸，不過原點(diǎn)，令，則直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則過，，解得，此時(shí)，故A正確；由直線，直線不垂直于軸，也不過原點(diǎn)，令，則直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則過，，解得，此時(shí)，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則兩直線交點(diǎn)，此時(shí)，故C正確；當(dāng)點(diǎn)不與重合時(shí)，設(shè)兩條直線交于點(diǎn)，則，則交點(diǎn)的軌跡為以為直徑的圓，且點(diǎn)與或重合時(shí)，都滿足題意，但原點(diǎn)除外.且圓的圓心為的中點(diǎn)，圓的半徑，則圓的方程為，不包含原點(diǎn).由，則點(diǎn)也在圓上，則的取值范圍為，故，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，左、右頂點(diǎn)分別為、，為雙曲線右支上的一點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于，過點(diǎn)的切線與雙曲線的漸近線交于、兩點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.雙曲線的漸近線方程為 B.C.離心率 D.【答案】BCD【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)，利用斜率公式求出的值，可得出雙曲線的漸近線方程，可判斷A選項(xiàng)；寫出切線方程，求出點(diǎn)、的橫坐標(biāo)，證明出點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可判斷B選項(xiàng)；利用雙曲線的離心率公式可判斷C選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，則，且，易知點(diǎn)、，則，因?yàn)椋獾?，所以，雙曲線的漸近線方程為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，接下來證明雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，又因?yàn)?，整理可得，解得，所以，雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為，聯(lián)立可得，即，聯(lián)立可得，即，所以，，所以，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，即，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，離心率，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，D對(duì).故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解指定區(qū)間的概率即可.【詳解】隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以，所以，故答案為：14.以為圓心且與圓外切的圓的方程為______．【答案】【解析】【分析】求出兩圓圓心距，利用兩圓外切求出圓的半徑，即可得出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的半徑為，圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為，兩圓圓心距為，故，因此，以為圓心且與圓外切的圓的方程為.故答案為：.15.在正四棱柱中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值______．【答案】##【解析】【分析】設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與所成角的余弦值.【詳解】不妨設(shè)，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，則，，所以，.因此，與所成角余弦值為.故答案為：.16.如圖，離心率相同兩個(gè)橢圓和分別是同一個(gè)矩形（此矩形的兩組對(duì)邊分別與兩坐標(biāo)軸平行）的內(nèi)切橢圓和外接橢圓，則______．【答案】##【解析】【分析】由離心率相同，可得，由圖可得，計(jì)算即可得的值.【詳解】由圖可得，故有，由兩個(gè)橢圓離心率相同，則有，即，故，即有，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.某教育部門為了了解某地區(qū)高中學(xué)生每周的課外乒乓球訓(xùn)練的情況，隨機(jī)抽取了該地區(qū)名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中男生人．將每周課外訓(xùn)練時(shí)間不低于小時(shí)的學(xué)生稱為“訓(xùn)練迷”，低于小時(shí)的學(xué)生稱為“非訓(xùn)練迷”．己知“訓(xùn)練迷”中有名男生和名女生．非訓(xùn)練迷訓(xùn)練迷合計(jì)男女合計(jì)（1）根據(jù)數(shù)據(jù)完成上面的列聯(lián)表；（2）判斷是否有把握認(rèn)為“訓(xùn)練迷”與性別有關(guān)．附：【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）有，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題中信息可完善列聯(lián)表；（2）計(jì)算出的觀測(cè)值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：根據(jù)已知條件完成的列聯(lián)表如下：非訓(xùn)練迷訓(xùn)練迷合計(jì)男女合計(jì)【小問2詳解】解：根據(jù)公式得，的觀測(cè)值為，則，故有的把握認(rèn)為“訓(xùn)練迷”與性別有關(guān)．18.某學(xué)校有男運(yùn)動(dòng)員4名，女運(yùn)動(dòng)員6名共10名運(yùn)動(dòng)員，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各一名，選拔4名運(yùn)動(dòng)員參加全市中學(xué)生運(yùn)動(dòng)會(huì)．（1）共有多少種選法；（2）若要求至少有1名隊(duì)長(zhǎng)參加，有多少種方法．【答案】18.21019.140【解析】【分析】（1）由組合的定義即可求解；（2）1：有2名隊(duì)長(zhǎng)，可以分選一名隊(duì)長(zhǎng)及分二名隊(duì)長(zhǎng)求解；法2：也可以從反面求解.【小問1詳解】解：從10名運(yùn)動(dòng)員中選4名參賽共有種選法．【小問2詳解】法1：由題意知，10名運(yùn)動(dòng)員中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名，共2名隊(duì)長(zhǎng)．若選中1名隊(duì)長(zhǎng)，則有種選派方法；若選中2名隊(duì)長(zhǎng)，則有種選派方法；∴隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加，有種方法．法2：由題意，男運(yùn)動(dòng)員4名，女運(yùn)動(dòng)員6名，其中男、女隊(duì)長(zhǎng)各1名．選派4人，若沒有隊(duì)長(zhǎng)，則有種選派方法，若隨機(jī)選擇，則有種選派方法，∴隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加，有種方法．19.已知點(diǎn)和圓．（1）過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，滿足，求點(diǎn)的軌跡方程．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出圓心到直線的距離，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出相應(yīng)的參數(shù)值，綜合可得出直線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得出點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程，化簡(jiǎn)可得出點(diǎn)的軌跡方程.【小問1詳解】解：因?yàn)閳A，所以，圓的圓心為，半徑，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以，圓心到直線的距離為，①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，即，則，解得，故直線的方程為，即；②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，則直線的方程為，圓心到直線的距離為，符合題意.綜上所述，直線的方程為或．【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋瑒t點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，可得，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則，可得，故點(diǎn)的軌跡方程為．20.如圖，在四棱錐中，平面底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理只需證明，即證EF平行且等于AB即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，而平面的法向量有現(xiàn)成的，無需計(jì)算，再根據(jù)兩個(gè)平面的法向量求出兩個(gè)平面的夾角.【小問1詳解】證明：取PD中點(diǎn)F，連接EF、AF，因?yàn)镋為棱PC的中點(diǎn)，所以EF為的中位線，所以，且，又，，，所以EF平行且等于AB，所以四邊形ABEF為平行四邊形，所以，又因?yàn)槊鍼AD，面PAD，所以面PAD．【小問2詳解】如圖，取AD的中點(diǎn)為O，連接PO，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，平面底面ABCD且交線為AD，所以平面ABCD．建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)平面PBC的法向量為，則，即，令得，平面PAD即平面，其一法向量為，所以，，故平面PBC與平面PAD所成角的余弦值為．21.已知只小白鼠中有只患有某種疾病，需要通過血液化驗(yàn)來確定患這種病的小白鼠，血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的為患病小白鼠，下面是兩種化驗(yàn)方案．方案甲：將只小白鼠的血液逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病小白鼠為止．方案乙：先取只小白鼠的血液混在一起化驗(yàn)，若呈陽性，則對(duì)這只小白鼠的血液再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病小白鼠；若不呈陽性，則對(duì)剩下的只小白鼠再逐個(gè)化驗(yàn)，直到查出患病小白鼠．（1）若用方案甲，求化驗(yàn)次數(shù)為次的概率；（2）若平均化驗(yàn)次數(shù)少的方案好，請(qǐng)你確定方案甲、方案乙哪個(gè)更好．【答案】（1）（2）方案乙更好，利用見解析【解析】【分析】（1）若用方案甲，設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為，利用獨(dú)立事件的概率公式可求得的值；（2）計(jì)算出使用方案甲、乙時(shí)試驗(yàn)次數(shù)的期望值，比較大小后可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：若用方案甲，設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為，則可能取值為、、、、、、、、，若用方案乙，設(shè)化驗(yàn)次數(shù)為，則可能取值為、、、，由題意可得.所以，若用方案甲，化驗(yàn)次數(shù)為次