高二上學(xué)期中復(fù)習(xí)專題07雙曲線原卷版

期中復(fù)習(xí)專題07：雙曲線原卷版考點(diǎn)一：雙曲線方程【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、雙曲線的定義：已知平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2，若并且，則這樣的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫作雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.

2、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b2焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2x2b2=【典例例題】例1.（2022·江蘇省連云港市贛榆區(qū)期中）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程___________.①焦點(diǎn)在x軸上；②漸近線方程為.【變式訓(xùn)練】1.（2022·廣東省惠州市豐湖高級(jí)中學(xué)期中）雙曲線上一點(diǎn)到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離為5，則到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于（）A.3 B.7 C. D.3或72.（2023秋·全國·高二期中）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)A在雙曲線的右支上，則的最小值為（

）A． B． C． D．3.（2023秋·全國·高二期中）（多選）已知方程表示的曲線為C，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線C是橢圓 B．當(dāng)或時(shí)，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則 D．若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則4.（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)、淄博齊盛高中期中）已知離心率為的雙曲線C與橢圓的焦點(diǎn)相同.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離.5.（2022秋·福建泉州·高二?？计谥校┮阎獔A：，圓：，圓，圓．(1)若動(dòng)圓與圓內(nèi)切與圓外切.求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；(2)若動(dòng)圓與圓、圓都外切.求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程．6．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，若，且雙曲線焦距為4．(1)求雙曲線的方程；(2)如果為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，在軸負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．考點(diǎn)二：雙曲線的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)梳理】雙曲線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程x2a2y2b2y2a2x2b2圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤a,y∈R

y≤a或y≥a,x∈R

對稱性對稱軸:坐標(biāo)軸.對稱中心:原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(a,0)A2(a,0)A1(0,a)A2(0,a)漸近線y=±bay=±ab離心率e=ca,e∈(1,+∞a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

實(shí)、虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸,它的長|A1A2|=2a;線段B1B2叫作雙曲線的虛軸,它的長|B1B2|=2b;a叫作雙曲線的實(shí)半軸長,b叫作雙曲線的虛半軸長

【典例例題】例1.（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)、淄博齊盛高中期中）已知雙曲線：一條漸近線方程是，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.例2.（2022·江蘇省連云港市贛榆區(qū)期中）雙曲線C：的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)均在C上，且關(guān)于y軸對稱.若直線AM，AN的斜率之積為，則的離心率為（）A. B. C. D.【變式訓(xùn)練】1.（2022·廣東省惠州市豐湖高級(jí)中學(xué)期中）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的虛半軸長為1，半焦距為，則其漸近線方程為（）A. B. C. D.2.（2022·新疆烏魯木齊市第101中學(xué)期中）已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（）A. B. C. D.3.（2022·廣東省深圳市中學(xué)究投資期中）已知雙曲線C的離心率為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)A在C上，若，則（）A. B. C. D.4.（2022·廣東省深圳市龍華中學(xué)期中）已知雙曲線，過右焦點(diǎn)作其漸近線的垂線，垂足為，若的面積為，則的離心率為（）A. B. C.2 D.5.（2022·新疆烏魯木齊市第101中學(xué)期中）已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為___________.6．（2022秋·安徽·高二?？计谥校┮阎p曲線的離心率為，若點(diǎn)與點(diǎn)都在雙曲線上，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三：直線與雙曲線的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為的形式，在的情況下考察方程的判別式．(1)Δ>0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．(2)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．(3)Δ<0時(shí)，直線與雙曲線沒有公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)．注：直線與雙曲線的關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支．弦長公式直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，則（為直線斜率）3、通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，則弦長.【典例例題】例1.（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)、淄博齊盛高中期中）已知橢圓：的長軸為雙曲線的實(shí)軸，且橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)、是橢圓上異于點(diǎn)的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線與的斜率均存在，分別記為，，且，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【變式訓(xùn)練】1.（2022·廣東省深圳市中學(xué)究投資期中）已知F1為雙曲線的左焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線l交雙曲線C的左支于A，B兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為___________．2.（2023春·重慶沙坪壩·高二重慶一中校考期中）已知雙曲線，焦點(diǎn)為，其中一條漸近線的傾斜角為，點(diǎn)在雙曲線上，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線交于兩點(diǎn)，若的面積為，求正實(shí)數(shù)的值.3．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線實(shí)軸的一個(gè)端點(diǎn)是，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)是，直線與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為.(1)求雙曲線的方程；(2)若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積最小值.一、單項(xiàng)選擇題（10道題）1.（2022·廣東省深圳市龍華中學(xué)期中）雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.2．（2022秋·山西·高二長治市上黨區(qū)第一中學(xué)校校聯(lián)考期中）已知雙曲線，則下列選項(xiàng)中不正確的是（

）A．的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 B．的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．的離心率為 D．的虛軸長為3．（2021秋·安徽安慶·高二安慶市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以這個(gè)橢圓的長軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程是（

）A． B． C． D．4．（2023秋·安徽蕪湖·高一?？茧A段練習(xí)）已知曲線表示雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？计谥校┰O(shè)是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，分別為左右焦點(diǎn)，則（

）A． B． C．4 D．6．（2023秋·全國·高二期中）若過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂線交軸于點(diǎn)（為雙曲線的半焦距），則此雙曲線的離心率是（

）A． B． C． D．7．（2023春·海南海口·高三統(tǒng)考期中）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)A的直線l與圓相切，與C交于另一點(diǎn)B，且，則C的離心率為（

）A．3 B． C．2 D．8．（2023春·四川巴中·高二統(tǒng)考期中）已知、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，，點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為，則下列選項(xiàng)不正確的有（

）A．B．雙曲線的離心率為C．的最小值為2D．雙曲線的實(shí)軸長為39．（2023春·江蘇揚(yáng)州·高二揚(yáng)州中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知橢圓和雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，A、B、C、D是它們的公共點(diǎn)，且都在圓上，直線與x軸交于點(diǎn)P，直線與雙曲線交于點(diǎn)，記直線、的斜率分別為、，若橢圓的離心率為，則的值為（

）A．2 B．C． D．410．（2022秋·廣東深圳·高三校聯(lián)考期中）設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在x軸上，，平分，則C的離心率為（

）A． B．C． D．二、多項(xiàng)選擇題（5道）11.（2022·廣東省深圳市龍華中學(xué)期中）已知曲線C的方程為，則（）A.曲線C可以表示圓 B.曲線C可以表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 D.曲線C可以表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線12.（2022秋·浙江嘉興·高二?？计谥校┮阎p曲線，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．雙曲線的離心率為B．焦點(diǎn)到漸近線的距離為C．左右焦點(diǎn)分別為，若，則或D．若左、右頂點(diǎn)分別為，當(dāng)與不重合時(shí)，直線與直線的斜率之積為13．（2022秋·浙江寧波·高二校聯(lián)考期中）已知雙曲線：與直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.若，且的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，則下列說法正確的是（

）A．B．的離心率為C．若，則的面積為2D．若的面積為，則為鈍角三角形14.（2022·廣東省深圳市中學(xué)究投資期中）定義：以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線．以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的是（）A.與共軛的雙曲線是B.互為共軛的雙曲線漸近線不相同C.互為共軛的雙曲線的離心率為、則D.互為共軛的雙曲線的個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上15.（2023春·云南保山·高二統(tǒng)考期中）公元前年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值即為“黃金分割比”，這個(gè)數(shù)值的作用不僅僅體現(xiàn)在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術(shù)領(lǐng)域，而且在管理、工程設(shè)計(jì)等方面也有著不可忽視的作用．利用“黃金分割比”研究雙曲線，可得滿足：的雙曲線叫做“黃金雙曲線”．黃金雙曲線E：（，）的一個(gè)頂點(diǎn)為A，與A不在y軸同側(cè)的焦點(diǎn)為F，E的一個(gè)虛軸端點(diǎn)為為雙曲線任意一條不過原點(diǎn)且斜率存在的弦，M為PQ中點(diǎn)．設(shè)雙曲線E的離心率為e，則下列說法中，正確的有（

）A． B．C． D．填空題（10道）16．（2022秋·江蘇連云港·高二統(tǒng)考期中）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①焦點(diǎn)在x軸上；②漸近線方程為.17．（2022秋·安徽·高二校考期中）若雙曲線：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)的值為．18．（2022秋·四川綿陽·高二鹽亭中學(xué)?？计谥校┮阎匠?表示雙曲線，則?的取值范圍是19．（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)（記為，），點(diǎn)是該橢圓與雙曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則的面積為.20．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在y軸上，，，則C的離心率為．21．（2021春·云南昭通·高二?？计谥校┰O(shè)分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上關(guān)于軸對稱的不同兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，若，則雙曲線的離心率.22．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）設(shè)是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．過作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則雙曲線的離心率為．23．（2022秋·浙江溫州·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，P，Q分別是它們的在第一象限和第三象限的交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于．24．（2023春·上海黃浦·高二格致中學(xué)?？计谥校哪硞€(gè)角度觀察籃球（如圖1），可以得到一個(gè)對稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形狀為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線的一部分，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，且，視所在直線為x軸，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程方程為．25．（2023秋·全國·高二期中）已知點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)、分別是圓和上的點(diǎn)，求的最大值為_____

簡答題（10道）26．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線C：一個(gè)焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)及該定值；如果不存在，請說明理由．27．（2022秋·江西南昌·高二南昌十中?？计谥校┮阎p曲線C經(jīng)過點(diǎn)，且漸近線方程為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)A為雙曲線C的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交雙曲線C于M、N兩點(diǎn)，試問，直線AM與直線AN的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由.28．（2022秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在定點(diǎn)，使得為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)及此常數(shù)的值，若不存在，說明理由．29．（2023秋·全國·高二期中）已知雙曲線C：的漸近線方程為，其左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)D為雙曲線上一點(diǎn)，且的重心G點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過x軸上一動(dòng)點(diǎn)作直線l交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（與B不重合），連接并延長交x軸于點(diǎn)Q，問是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.30．（2023秋·全國·高二期中）從雙曲線上一點(diǎn)向軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)，點(diǎn)分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)，且，.(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)作直線分別交雙曲線左右