高三一輪總復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測37正弦定理和余弦定理的應(yīng)用

[課時(shí)跟蹤檢測][基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處．則這只船的航行速度為()A.eq\f(17\r(6),2)海里/時(shí) B．34eq\r(6)海里/時(shí)C.eq\f(17\r(2),2)海里/時(shí) D．34eq\r(2)海里/時(shí)解析：如圖，在△PMN中eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68·\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)(海里/時(shí))．答案：A2．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB＝1km，水的流速為2km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時(shí)間為6min，則客船在靜水中的速度為()A．8km/h B．6eq\r(2)km/hC．2eq\r(34)km/h D．10km/h解析：設(shè)AB與河岸線所成的角為θ，客船在靜水中的速度為vkm/h，由題意知sinθ＝eq\f(0.6,1)＝eq\f(3,5)，從而cosθ＝eq\f(4,5)，所以由余弦定理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)v))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)×2))2＋12－2×eq\f(1,10)×2×1×eq\f(4,5)，解得v＝6eq\r(2).答案：B3．(2017屆廣東中山上學(xué)期期末)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D．eq\f(25\r(2),2)m解析：由題意，得B＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sin∠ACB,sinB)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．故選A.答案：A4．某人在C點(diǎn)測得某塔在南偏西80°，塔頂仰角為45°，此人沿南偏東40°方向前進(jìn)10米到D，測得塔頂A的仰角為30°，則塔高為()A．15米 B．5米C．10米 D．1米解析：如圖所示，設(shè)塔高為h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，則OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，則OD＝eq\r(3)h，在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10，由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(eq\r(3)h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍去)．答案：C5．有一長為1千米的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則斜坡長為()A．1千米 B．2sin10°千米C．2cos10°千米 D．cos20°千米解析：由題意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.答案：C6．(2017屆湖南師大附中月考)如圖所示，測量河對岸的塔高AB時(shí)可以測量與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝()A．5eq\r(6) B．15eq\r(3)C．5eq\r(2) D．15eq\r(6)解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(30,sin135°)，所以BC＝15eq\r(2).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝15eq\r(2)×eq\r(3)＝15eq\r(6).故選D.答案：D7．在200m高的山頂上，測得山下塔頂和塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為()A.eq\f(400,3)m B．eq\f(400\r(3),3)mC.eq\f(200\r(3),3)m D．eq\f(200,3)m解析：如圖所示，在Rt△BAC中，∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(400,3)eq\r(3).∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°.在△BDC中，eq\f(DC,sin30°)＝eq\f(BC,sin120°).∴DC＝eq\f(BC·sin30°,sin120°)＝eq\f(\f(400,3)\r(3)×\f(1,2),\f(\r(3),2))＝eq\f(400,3)(m)．答案：A8．(2017屆濰坊模擬)校運(yùn)動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)m(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個(gè)水平面上．若國歌時(shí)長為50s，升旗手應(yīng)以________m/s的速度勻速升旗．解析：依題意可知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°.由正弦定理可知eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠CEA)，∴AC＝eq\f(CE,sin∠EAC)·sin∠CEA＝20eq\r(3)m.∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝20eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝30m.∵國歌時(shí)長為50s，∴升旗速度為eq\f(30,50)＝0.6m/s.答案：0.69．如圖，在△ABC中，sineq\f(∠ABC,2)＝eq\f(\r(3),3)，AB＝2，點(diǎn)D在線段AC上，且AD＝2DC，BD＝eq\f(4\r(3),3)，則cos∠C＝________.解析：由條件得cos∠ABC＝eq\f(1,3)，sin∠ABC＝eq\f(2\r(2),3).在△ABC中，設(shè)BC＝a，AC＝3b，則由余弦定理得9b2＝a2＋4－eq\f(4,3)a.①因?yàn)椤螦DB與∠CDB互補(bǔ)，所以cos∠ADB＝－cos∠CDB，所以eq\f(4b2＋\f(16,3)－4,\f(16\r(3),3)b)＝－eq\f(b2＋\f(16,3)－a2,\f(8\r(3),3)b)，所以3b2－a2＝－6，②聯(lián)立①②解得a＝3，b＝1，所以AC＝3，BC＝3.在△ABC中，cos∠C＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq\f(32＋32－22,2×3×3)＝eq\f(7,9).答案：eq\f(7,9)10．某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn)，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45°，距離為10nmile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以9nmile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21nmile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin21.8°≈\f(3\r(3),14)))解：如圖所示，根據(jù)題意可知AC＝10，∠ACB＝120°，設(shè)艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為th，并在B處與漁輪相遇，則AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根據(jù)余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×eq\f(1,2)，即360t2－90t－100＝0，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．所以艦艇靠近漁輪所需的時(shí)間為eq\f(2,3)h．此時(shí)AB＝14，BC＝6.在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(6×\f(\r(3),2),14)＝eq\f(3\r(3),14)，即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)，即艦艇航行的方位角為45°＋21.8°＝66.8°.所以艦艇以66.8°的方位角航行，需eq\f(2,3)h才能靠近漁輪．[能力提升]1．(2018屆廣東深圳第二次調(diào)研)如圖，在凸四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(3)，AC⊥CD，AC＝CD.當(dāng)∠ABC變化時(shí)，對角線BD的最大值為________．解析：設(shè)AC＝CD＝x，在△ABC中，由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，所以x2＝1＋3－2eq\r(3)cos∠ABC.①由正弦定理得eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，即sin∠ACB＝eq\f(sin∠ABC,x).②在△BCD中，由余弦定理知，BD＝eq\r(3＋x2－2\r(3)xcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠ACB)))＝eq\r(3＋x2＋2\r(3)xsin∠ACB)，將①②式代入化簡得，BD＝eq\r(7＋2\r(6)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ABC－\f(π,4)))).因?yàn)椤螦BC∈(0，π)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ABC－\f(π,4)))可以取到最大值1，所以|BD|max＝eq\r(7＋2\r(6))＝eq\r(6)＋1.答案：eq\r(6)＋12．(2017屆鹽城一模)如圖所示，經(jīng)過村莊A有兩條夾角為60°的公路AB，AC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P，分別在兩條公路邊上建兩個(gè)倉庫M，N(異于村莊A)，要求PM＝PN＝MN＝2(單位：千米)．如何設(shè)計(jì)，使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民的影響最小(即工廠與村莊的距離最遠(yuǎn))?解：設(shè)∠AMN＝θ，在△AMN中，eq\f(MN,sin60°)＝eq\f(AM,sin120°－θ).因?yàn)镸N＝2，所以AM＝eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)．在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝eq\f(16,3)sin2(120°－θ)＋4－2×2×eq\f(4\r(3),3)sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝eq\f(16,3)sin2(θ＋60°)－eq\f(16\r(3),3)sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝eq\