專題6 導(dǎo)數(shù)之構(gòu)造函數(shù)（基本初等函數(shù)）（模擬+真題）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題《數(shù)學(xué)》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁專題6導(dǎo)數(shù)之構(gòu)造函數(shù)（基本初等函數(shù)）1．（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學(xué)校?？计谥校┒x在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時，．則（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由當(dāng)時，，得，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以在在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，A選項錯誤；，即，所以，B選項錯誤；，即，所以，C選項錯誤；，即，所以，D選項正確；故選：D.2．（2023上·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┮阎x域為R的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（

）A． B．C．D．【答案】C【詳解】令，則，因為在上恒成立，所以在上恒成立，故在上單調(diào)遞減，，即，故A不正確；，即，即，故B不正確；，即，即，故C正確；，即，即，故D不正確；故選：C3．（2023上·四川內(nèi)江·高三期末）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，對任意，恒有，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，令函數(shù)，，求導(dǎo)得，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，而，則，因此有，解得，所以原不等式的解集為.故選：C4．（2023下·河南洛陽·高二統(tǒng)考期末）已知是定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對于任意的實數(shù)x，都有，當(dāng)時，．若，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以，令，則，所以為偶函數(shù)，當(dāng)時，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)對稱區(qū)間上單調(diào)性相反的性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，因為，所以，所以，即，即，即，則，解得.故數(shù)a的取值范圍為：故選：B.5．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且當(dāng)時，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，則由，得；當(dāng)時，，則由，得．令，則，故g（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又f（x）是奇函數(shù)，所以是偶函數(shù)，故，即，，即．與和的大小關(guān)系不確定．故選：A．6．（2023上·江蘇徐州·高二?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可構(gòu)造函數(shù)，然后求出函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意得構(gòu)造函數(shù)，則對任意的恒成立，所以在上是減函數(shù)，對A：因為，所以，即，得，故A錯誤；對B、C、D：因為，所以，即，故C錯誤；因為，所以，所以，即，故D錯誤，故B正確.故選：B.7．（2023·全國·模擬預(yù)測）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意，，都有恒成立，則下列結(jié)論成立的是（

）A．當(dāng)為偶數(shù)時，在上為增函數(shù)B．當(dāng)為偶數(shù)時，存在使得C．當(dāng)為奇數(shù)時，在上為增函數(shù)D．當(dāng)為奇數(shù)時，存在使得【答案】C【分析】令，分為奇數(shù)或偶數(shù)判斷的符號得出的單調(diào)性，然后分，判斷的符號，即可得解．【詳解】因為對任意，，都有，所以，所以，令，當(dāng)為奇數(shù)時，則，在上為增函數(shù)，∵，∴當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，∴恒大于0；當(dāng)為偶數(shù)時，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，且，則；當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，且，，∴恒大于0，故選：C．8．（2023上·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？计谥校┮阎x在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)滿足：對任意都有，則下列各式恒成立的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合已知判斷其導(dǎo)數(shù)符號可知單調(diào)性，然后由單調(diào)性可解.【詳解】記，則，因為，即，所以，所以在R上單調(diào)遞增，故，，整理得，.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，由單調(diào)性即可求解.9．（2023上·江蘇無錫·高三校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，在上的導(dǎo)函數(shù)存在，且恒成立，則當(dāng)時，下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可判斷.【詳解】令，則，則在區(qū)間上是增函數(shù)，故，即，則，，所以C正確，D錯誤，A，B不一定正確.故選：C．10．（2019上·四川綿陽·高三四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我們用以下方法求形如的導(dǎo)數(shù)：先在兩邊同時取自然對數(shù)可得：，再在兩邊同時求導(dǎo)數(shù)可得：,用此方法求得的一個單調(diào)增區(qū)間是A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知求導(dǎo)，得，由，得，解之即可.【詳解】對兩邊同時取自然對數(shù)可得：對上式兩邊同時求導(dǎo)數(shù)可得：，即令，得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：C【點睛】本題屬于信息題，題目提示做題方法，考查理解應(yīng)用能力，以書本中復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)為基礎(chǔ)，但又超越課本內(nèi)容，是新題型的重要命題方向，屬于中檔題.11．（2020下·遼寧·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對恒成立，則下列不等式中一定成立的是A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后可證得在上單調(diào)遞減，由，知，從而得解．【詳解】解：設(shè)，則，對恒成立，，即在上單調(diào)遞減，，，即，故選：D．【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．12．（2023下·四川綿陽·高二統(tǒng)考期中）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，不等式，即為不等式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，不等式，即為不等式，因為，所以，不等式，即為不等式，所以，所以，所以，即不等式的解集為.故選：B.13．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時，不等式恒成立（為的導(dǎo)函數(shù)），若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意得函數(shù)為偶函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，所以，易知當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．因為，則，由，則，且，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，所以，即，故選：C．14．（2023下·山東聊城·高二?？茧A段練習(xí)）定義在上的函數(shù)，已知是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則有（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：令，則，因為，所以，則在上單調(diào)遞減.所以，故，，故選：C15．（2023上·上海徐匯·高三上海市第二中學(xué)?？计谥校┮阎x在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)滿足：對任意都有，則下列各式恒成立的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】記，則，因為，即，所以，所以在R上單調(diào)遞增，故，，整理得，.故選：B16．（2023·河南開封·統(tǒng)考三模）設(shè)定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足，．則、、的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，設(shè)，則，令，則，設(shè)，則，∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，∴，∴，在上單調(diào)遞減，又，理由如下：如圖，設(shè)，射線與單位圓相交于點，過點作⊥軸于點，過點作⊥軸交射線于點，連接，設(shè)扇形的面積為，則，即，解得，其中，故，∴．故選：C17．（2023下·云南保山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時不等式成立，若，，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題意可知當(dāng)時，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，，因為，，所以，所以，即，正確.故選：.18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在R上可導(dǎo)，且滿足恒成立，常數(shù)則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增．，，即．故選：A19．（2023·全國·高三對口高考）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時不等式成立，若，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題意可知當(dāng)時，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，又因為是定義在上的奇函數(shù)，所以是定義在上的偶函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，，因為，，所以，所以，即，故選：B20．（2023·全國·高三對口高考）已知是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，對任意正數(shù)a、b，若，則必有（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由.若不是常函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，又，則；若為常函數(shù)，則.綜上，.故選：A21．（2023·云南·校聯(lián)考三模）設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)數(shù)存在，且，則當(dāng)時，（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為，令，則，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，所以且.故選：B22．（2023下·湖北·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)的定義域為R，為的導(dǎo)函數(shù)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，即，所以，即，解得.故選：D.23．（2023下·湖北武漢·高二武漢市洪山高級中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)的定義域為，是其導(dǎo)函數(shù)，若，，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】令，則，因為，所以，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而可化為，又即，解得，所以不等式的解集是．故選：B24．（2023下·湖北武漢·高二華中師大一附中?？计谥校┦嵌x在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，有恒成立，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：令，則，因為，所以，則在上遞增，又是偶函數(shù)，且是定義在R上的奇函數(shù)，所以是定義在R上的奇函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，所以，即，故A錯誤；，即，故B錯誤；，即，故C正確；，即，故錯誤，故選：C25．（2023下·河北張家口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)在上連續(xù)且可導(dǎo)，同時滿足，則下列不等式一定成立的為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.故選：C26．（2023上·河南焦作·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知定義在R上的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足，若，則滿足不等式的x的取值范圍是．【答案】【詳解】由題意，對任意，都有成立，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．不等式即，即．因為，所以．故由，得.所以不等式的解集為，故答案為：.27．（2023下·湖北咸寧·高二鄂南高中?？茧A段練習(xí)）已知偶函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，且，則的解集為.【答案】【詳解】令，可得因為時，，所以，即函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，又因為函數(shù)為偶函數(shù)，可得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以在為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，即，可得，即，解得，即不等式的解集為.故答案為：.28．（2021下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省丹陽高級中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)定義域為，其導(dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時，有，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【詳解】令，則，因為，所以，因為，所以，所以在上為減函數(shù)，由，得，所以，因為在上為減函數(shù)，所以，所以不等式的解集為，故答案為：29．（2022下·江蘇·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)是，若，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【詳解】變形為，變形為，故可令g(x)＝f(x)sinx，，則，∴g(x)在單調(diào)遞減，不等式即為g(x)＜g()，則，故答案為：.30．（2021下·重慶江津·高二校考期中）已知定義在上的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有，且，則使得成立的的取值范圍是.【答案】【詳解】∵當(dāng)時，有，令，∴，∴在上遞增，又∵在上的偶函數(shù)∴，∴在上是奇函數(shù)∴在上遞增，又∵，∴當(dāng)時，，此時，0＜x＜1，當(dāng)時，，此時，，∴成立的的取值范圍是．故答案為：﹒31．（2021下·山東濟南·高二山東師范大學(xué)附中?？计谥校┰O(shè)的定義域為，的導(dǎo)函數(shù)為，且對任意正數(shù)均有，設(shè)，，，，則的大小關(guān)系是【答案】【詳解】由，得，令，則恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.因，，則，故，即，變形得：①，同理②，①+②得：，即，故.故答案為：.32．（2020下·四川成都·高二四川師范大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)定義在上，，其導(dǎo)函數(shù)是，且恒成立，則不等式的解集為.【答案】【詳解】解：，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞增，不等式，即即，故不等式的解集為.故答案為：.33．（2019·山東泰安·）已知是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，，且當(dāng)時，，則不等式的解集為______．【答案】【分析】首先根據(jù)已知構(gòu)造函數(shù)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)單調(diào)遞增，即，再結(jié)合奇偶性得到不等式的解集.【詳解】令，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，且.因為等價于，即g(x)<g()，又為偶函數(shù)，所以，故，故不等式的解集為.【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)與方程，函數(shù)與不等式，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力，等價轉(zhuǎn)化能力，運算求解能力，綜合性較強，本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并且判斷是偶函數(shù).34．（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且當(dāng)時，，則不等式的解集為．【答案】【詳解】令，因為是定義在上的奇函數(shù)，則，所以為偶函數(shù).當(dāng)時，，，由已知，所以，則在上單調(diào)遞增，由可化為，即，得；當(dāng)，，則，即，由為偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，得，所以不等式的解集為．故答案為：.35．（2020·陜西·統(tǒng)考二模）已知定義在上的函數(shù)滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】令，則，因為，所以，所以函數(shù)在為單調(diào)遞減函數(shù)，又由，所以，即，所以，即，所以，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.36．（2019下·江蘇揚州·高二統(tǒng)考期末）已知可導(dǎo)函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則不等式的解集為．【答案】【詳解】函數(shù)的定義域為構(gòu)造函數(shù)：已知：所以，遞減.即故答案為37．（2017·河南·統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集．【答案】【詳解】令，因為，且，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，即，所以，即，即不等式的解集為.38．（2023上·黑龍江·高三黑龍江實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義域為的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則使得成立的的取值范圍是.【答案】【詳解】記，則，故當(dāng)，，所以，因此在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，因此為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，又，因此當(dāng)和時，，當(dāng)和時，，因此，即可得和，故成立的的取值范圍是，故答案為：39．（2023·甘肅張掖·甘肅省民樂縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為．【答案】【詳解】令函數(shù)，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，由為偶函數(shù)，得，即函數(shù)是奇函數(shù)，于是在R上單調(diào)遞減，不等式，因此，解得，所以原不等式的解集是.故答案為：40．（2023上·新疆伊犁·高三奎屯市第一高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為.【答案】【詳解】設(shè)，則，，，在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故答案為：.41．（2018上·江西贛州·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)的定義域和值域均為，的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則的取值范圍是．【答案】【詳解】設(shè)，則＞0∴在上單調(diào)遞增，所以，即＜?＜；令，則∴在上單調(diào)遞減，所以，即＞?＞綜上，＜且

＞．故答案為：

42．（2007·陜西·高考真題）是定義在上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足．對任意正數(shù)a，b，若，則必有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，再分類討論即可求解.【詳解】解：令，，所以在上為常函數(shù)或遞減,若在上為單調(diào)遞減，所以，即①，②①②兩式相乘得：所以，若在上為常函數(shù)，且，則，即③，④，③④兩式相乘得：所以，綜上所述，故選：A43．（2015·福建·高考真題）若定義在上的函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯誤的是（）