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文檔簡介
2023-2024學年浙江省五校高三3月份模擬考試數學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,點,,,,設對一切都有不等式成立,則正整數的最小值為()A. B. C. D.2.()A. B. C. D.3.在中,內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,D是AB的中點,若,且,則面積的最大值是()A. B. C. D.4.若圓錐軸截面面積為,母線與底面所成角為60°,則體積為()A. B. C. D.5.已知集合A={x|–1<x<2},B={x|x>1},則A∪B=A.(–1,1) B.(1,2) C.(–1,+∞) D.(1,+∞)6.已知等比數列滿足,,則()A. B. C. D.7.若集合,,則A. B. C. D.8.已知函數的最小正周期為,且滿足,則要得到函數的圖像,可將函數的圖像()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度9.若函數f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)滿足f(1)=,則f(x)的單調遞減區(qū)間是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]10.函數的最小正周期是,則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數的一條對稱軸是()A. B. C. D.11.已知是函數圖象上的一點,過作圓的兩條切線,切點分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.12.某大學計算機學院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領域的語音識別、人臉識別,數據分析、機器學習、服務器開發(fā)五個方向展開研究,且每個方向均有研究生學習,其中劉澤同學學習人臉識別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設函數,則______.14.集合,,則_____.15.若曲線(其中常數)在點處的切線的斜率為1,則________.16.的展開式中含的系數為__________.(用數字填寫答案)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在直三棱柱中,,點P,Q分別為,的中點.求證:(1)PQ平面;(2)平面.18.(12分)如圖,四棱錐中,底面為直角梯形,,,,,在銳角中,E是邊PD上一點,且.(1)求證:平面ACE;(2)當PA的長為何值時,AC與平面PCD所成的角為?19.(12分)已知函數.(1)求函數的單調區(qū)間;(2)若,證明.20.(12分)如圖,三棱柱中,側面為菱形,.(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)設數列是等比數列,,已知,(1)求數列的首項和公比;(2)求數列的通項公式.22.(10分)已知等差數列的公差,且,,成等比數列.(1)求數列的通項公式;(2)設,求數列的前項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
先求得,再求得左邊的范圍,只需,利用單調性解得t的范圍.【詳解】由題意知sin,∴,∴,隨n的增大而增大,∴,∴,即,又f(t)=在t上單增,f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴正整數的最小值為3.【點睛】本題考查了數列的通項及求和問題,考查了數列的單調性及不等式的解法,考查了轉化思想,屬于中檔題.2、D【解析】
利用,根據誘導公式進行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點睛】本題考查誘導公式以及兩角差的正弦公式,關鍵在于掌握公式,屬基礎題.3、A【解析】
根據正弦定理可得,求出,根據平方關系求出.由兩端平方,求的最大值,根據三角形面積公式,求出面積的最大值.【詳解】中,,由正弦定理可得,整理得,由余弦定理,得.D是AB的中點,且,,即,即,,當且僅當時,等號成立.的面積,所以面積的最大值為.故選:.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數量積運算,屬于中檔題.4、D【解析】
設圓錐底面圓的半徑為,由軸截面面積為可得半徑,再利用圓錐體積公式計算即可.【詳解】設圓錐底面圓的半徑為,由已知,,解得,所以圓錐的體積.故選:D【點睛】本題考查圓錐的體積的計算,涉及到圓錐的定義,是一道容易題.5、C【解析】
根據并集的求法直接求出結果.【詳解】∵,∴,故選C.【點睛】考查并集的求法,屬于基礎題.6、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.7、C【解析】
解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運算求得.【詳解】因為或,,所以,故選C.【點睛】本題考查集合的交運算,屬于容易題.8、C【解析】
依題意可得,且是的一條對稱軸,即可求出的值,再根據三角函數的平移規(guī)則計算可得;【詳解】解:由已知得,是的一條對稱軸,且使取得最值,則,,,,故選:C.【點睛】本題考查三角函數的性質以及三角函數的變換規(guī)則,屬于基礎題.9、B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上單調遞減,在[2,+∞)上單調遞增,所以f(x)在(-∞,2]上單調遞增,在[2,+∞)上單調遞減,故選B.10、D【解析】
由三角函數的周期可得,由函數圖像的變換可得,平移后得到函數解析式為,再求其對稱軸方程即可.【詳解】解:函數的最小正周期是,則函數,經過平移后得到函數解析式為,由,得,當時,.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數圖像的性質及函數圖像的平移變換,屬基礎題.11、C【解析】
先畫出函數圖像和圓,可知,若設,則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設,則,然后構造函數,利用導數求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設,則,設,記,則,令,因為在上單調遞增,且,所以當時,;當時,,則在上單調遞減,在上單調遞增,所以,即,所以(當時等號成立).故選:C【點睛】此題考查的是兩個向量的數量積的最小值,利用了導數求解,考查了轉化思想和運算能力,屬于難題.12、B【解析】
將人臉識別方向的人數分成:有人、有人兩種情況進行分類討論,結合捆綁計算出不同的分配方法數.【詳解】當人臉識別方向有2人時,有種,當人臉識別方向有1人時,有種,∴共有360種.故選:B【點睛】本小題主要考查簡單排列組合問題,考查分類討論的數學思想方法,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由自變量所在定義域范圍,代入對應解析式,再由對數加減法運算法則與對數恒等式關系分別求值再相加,即為答案.【詳解】因為函數,則因為,則故故答案為:【點睛】本題考查分段函數求值,屬于簡單題.14、【解析】
分析出集合A為奇數構成的集合,即可求得交集.【詳解】因為表示為奇數,故.故答案為:【點睛】此題考查求集合的交集,根據已知集合求解,屬于簡單題.15、【解析】
利用導數的幾何意義,由解方程即可.【詳解】由已知,,所以,解得.故答案為:.【點睛】本題考查導數的幾何意義,考查學生的基本運算能力,是一道基礎題.16、【解析】由題意得,二項式展開式的通項為,令,則,所以得系數為.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)取的中點D,連結,.根據線面平行的判定定理即得;(2)先證,,和都是平面內的直線且交于點,由(1)得,再結合線面垂直的判定定理即得.【詳解】(1)取的中點D,連結,.在中,P,D分別為,中點,,且.在直三棱柱中,,.Q為棱的中點,,且.,.四邊形為平行四邊形,從而.又平面,平面,平面.(2)在直三棱柱中,平面.又平面,.,D為中點,.由(1)知,,.又,平面,平面,平面.【點睛】本題考查線面平行的判定定理,以及線面垂直的判定定理,難度不大.18、(1)證明見解析;(2)當時,AC與平面PCD所成的角為.【解析】
(1)連接交于,由相似三角形可得,結合得出,故而平面;(2)過作,可證平面,根據計算,得出的大小,再計算的長.【詳解】(1)證明:連接BD交AC于點O,連接OE,,,又平面ACE,平面ACE,平面ACE.(2),,平面PAD作,F為垂足,連接CF平面PAD,平面PAD.,有,,平面就是AC與平面PCD所成的角,,,,,,時,AC與平面PCD所成的角為.【點睛】本題考查了線面平行的判定,線面垂直的判定與線面角的計算,屬于中檔題.19、(1)單調遞減區(qū)間為,,無單調遞增區(qū)間(2)證明見解析【解析】
(1)求導,根據導數的正負判斷單調性,(2)整理,化簡為,令,求的單調性,以及,即證.【詳解】解:(1)函數定義域為,則,令,,則,當,,單調遞減;當,,單調遞增;故,,,,故函數的單調遞減區(qū)間為,,無單調遞增區(qū)間.(2)證明,即為,因為,即證,令,則,令,則,當時,,所以在上單調遞減,則,,則在上恒成立,所以在上單調遞減,所以要證原不等式成立,只需證當時,,令,,,可知對于恒成立,即,即,故,即證,故原不等式得證.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性,利用導數證明不等式,函數的最值問題,屬于中檔題.20、(1)見解析(2)【解析】
(1)根據菱形性質可知,結合可得,進而可證明,即,即可由線面垂直的判定定理證明平面;(2)結合(1)可證明兩兩互相垂直.即以為坐標原點,的方向為軸正方向,為單位長度,建立空間直角坐標系,寫出各個點的坐標,并求得平面和平面的法向量,即可求得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:設,連接,如下圖所示:∵側面為菱形,∴,且為及的中點,又,則為直角三角形,,又,,即,而為平面內的兩條相交直線,平面.(2)平面,平面,,即,從而兩兩互相垂直.以為坐標原點,的方向為軸正方向,為單位長度,建立如圖的空間直角坐標系,為等邊三角形,,,,設平面的法向量為,則,即,∴可取,設平面的法向量為,則.同理可取,由圖示可知二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直的判定方法,利用空間向量方法求二面角夾角的余弦值,注意建系時先證明三條兩兩垂直的直線,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】
本題主要考查了等比數列的通項公式的求解,數列求和的錯位相減求和是數列求和中的重點與難點,要注意掌握.(1)設等比數列{an}的公比為q,則q+q2=6,解方程可求q(2)由(1)可求an=a1?qn-1=2n-1,結合數列的特點,考慮利用錯位相減可求數列的和解:(1)(2)
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