四川省雅安市寶興縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

四川省雅安市寶興縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若，則函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

(

)

A.3 B.2 C.1 D.0

參考答案：C略2.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如右圖，則該幾何體的俯視圖不可能有是

參考答案：D因?yàn)樵搸缀误w的正視圖和側(cè)視圖是相同的，而選項(xiàng)D的正視圖和和側(cè)視圖不同。3.已知函數(shù)，，若，則（

）A.1

B.2

C.3

D.-1參考答案：A所以選A。

4.設(shè)函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，則(

)A.

B.0＜＜1

C.1＜＜2

D.參考答案：B5.（2016?海南校級(jí)二模）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，則△ABC的面積（）A．3 B． C． D．3參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理．【專題】解三角形．【分析】根據(jù)條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵c2=（a﹣b）2+6，∴c2=a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2=2ab﹣6，∵C=，∴cos===，解得ab=6，則三角形的面積S=absinC==，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的面積的計(jì)算，根據(jù)余弦定理求出ab=6是解決本題的關(guān)鍵．6.設(shè)全集，集合，，則等于（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：答案：B7.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為A．-1

B．1

C．0

D．2參考答案：B略8.在等差數(shù)列{an}中，Sn為前n項(xiàng)和，，則（

）A.55

B.11

C.50

D.60參考答案：A9.某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有

(

)A．

140種

B．

120種

C．35種

D．

34種參考答案：D10.已知集合=

A．

B．（0，1）

C．[0，1）

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè),則當(dāng)______時(shí),取得最小值.參考答案：12.過拋物線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，且△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為=

.參考答案：213.已知變量滿足約束條件，則的取值范圍是_________參考答案：14.如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形AOBC內(nèi)，曲線y=x2和曲線y=圍成一個(gè)葉形圖（陰影部分），向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的），則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是．參考答案：【考點(diǎn)】定積分；幾何概型．【專題】計(jì)算題．【分析】欲求所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率，利用幾何概型解決，只須利用定積分求出葉形圖的面積，最后利用它們的面積比求得即可概率．【解答】解：由定積分可求得陰影部分的面積為S==，所以p=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用定積分求面積以及幾何摡型知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．15.數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，且，則參考答案：在等差數(shù)列中，由得，即，所以。16.設(shè)，已知在約束條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為___________．參考答案：略17.已知實(shí)數(shù)、滿足約束條件則的最大值是

參考答案：解：因?yàn)閷?shí)數(shù)、滿足約束條件則過點(diǎn)（2，-1）時(shí)，目標(biāo)函數(shù)最大且為3三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為e=，且C1的右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)相同．（1）求橢圓C1的方程；（2）求經(jīng)過點(diǎn)P（﹣2，0）分別作斜率為k1、k2（k1≠k2）的兩條直線，兩直線分別與橢圓C1交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)直線MN與y軸垂直時(shí)，求k1?k2的值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】（1）由橢圓的離心率和且C1的右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)相同，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C1的方程．（2）設(shè)直線PM：y=k1（x+2），與橢圓聯(lián)立，求出M，同理求出N，由直線MN與y軸垂直，得，由此能求出k1k2的值．【解答】解：（1）∵橢圓C1：+=1（a＞b＞0）的離心率為e=，且C1的右焦點(diǎn)與拋物線C2：y2=4x的焦點(diǎn)相同，∴，解得a=2，c=，b2=4﹣3=1，∴橢圓C1的方程為．（2）由題意，當(dāng)k1=0時(shí)，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0，直線MN與y軸垂直，則點(diǎn)N的縱坐標(biāo)也為0，∴k1=k2=0，與k1≠k2矛盾，∴k1≠0，設(shè)直線PM：y=k1（x+2），由，得，解得或y=0（舍），∴M（，），同理N（，），∵直線MN與y軸垂直，∴=，化簡(jiǎn)，得，∴（k2﹣k1）（4k1k2﹣1）=0，又由k1≠k2，得4k1k2﹣1=0，∴k1k2=．已知函數(shù)f（x）=x2+alnx的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率為10．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅱ）判斷方程f（x）=2x根的個(gè)數(shù)，證明你的結(jié)論；（Ⅲ）探究：是否存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右的兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】【解析】【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】解法一：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率k，結(jié)合已知可求a（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)F（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合F（1）=﹣1＜0，F(xiàn)（2）=8ln2＞0，可證（Ⅲ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線方程（x＞0），構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），對(duì)h（x）求導(dǎo)，通過討論t的取值范圍來判斷h′（x）的符號(hào)，進(jìn)而可判斷h（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，即可判斷解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線方程（x＞0），構(gòu)造函數(shù)h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），對(duì)h（x）求導(dǎo)，若存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)，則問題等價(jià)于t不是極值點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)可求【解答】解法一：（Ⅰ）因?yàn)閒（x）=x2+alnx，所以，函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)P（1，f（1））處的切線斜率k=f'（1）=2+a．由2+a=10得：a=8．

…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=x2+8lnx，令F（x）=f（x）﹣2x=x2﹣2x+8lnx．因?yàn)镕（1）=﹣1＜0，F(xiàn)（2）=8ln2＞0，所以F（x）=0在（0，+∞）至少有一個(gè)根．又因?yàn)?，所以F（x）在（0，+∞）上遞增，所以函數(shù)F（x）在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）=2x有且只有一個(gè)實(shí)根．

…（Ⅲ）證明如下：由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線方程為，即（x＞0）．

…記h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），則．

…（1）當(dāng)，即t=2時(shí)，對(duì)一切x∈（0．+∞）成立，所以h（x）在（0，+∞）上遞增．又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)h（x）＜0，當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)h（x）＞0，即存在點(diǎn)A（2，4+8ln2），使得曲線在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．

…（2）當(dāng)，即t＞2時(shí)，時(shí)，h'（x）＞0；時(shí)，h'（x）＜0；x∈（t，+∞）時(shí)，h'（x）＞0．故h（x）在上單調(diào)遞減，在（t，+∞）上單調(diào)遞增．又h（t）=0，所以當(dāng)時(shí)，h（x）＞0；當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，h（x）＞0，即曲線在點(diǎn)A（t，f（t））附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的同側(cè)．

…（3）當(dāng)，即0＜t＜2時(shí)，x∈（0，t）時(shí)，h'（x）＞0；時(shí)，h'（x）＜0；時(shí)，h'（x）＞0．故h（x）在（0，t）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，h（x）＜0；當(dāng)時(shí)，h（x）＜0，即曲線在點(diǎn)A（t，f（t））附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的同側(cè)．綜上，存在唯一點(diǎn)A（2，4+8ln2）使得曲線在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．

…解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；（Ⅲ）證明如下：由f（x）=x2+8lnx，，可求得曲線y=f（x）在點(diǎn)A處的切線方程為，即（x＞0）．

…記h（x）=x2+8lnx﹣=x2+8lnx﹣（x＞0），則．

…若存在這樣的點(diǎn)A（t，f（t）），使得曲線y=f（x）在該點(diǎn)附近的左、右兩部分都位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)，則問題等價(jià)于t不是極值點(diǎn)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)且僅當(dāng)，即t=2時(shí)，t不是極值點(diǎn)，即h'（x）≥0．所以h（x）在（0，+∞）上遞增．又h（t）=0，所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，h（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，h（x）＞0，即存在唯一點(diǎn)A（2，4+8ln2），使得曲線在點(diǎn)A附近的左、右兩部分分別位于曲線在該點(diǎn)處切線的兩側(cè)．

…19.已知函數(shù).(Ⅰ)求該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸；(Ⅱ)在中,角所對(duì)的邊分別為,且滿足,求的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)由即即對(duì)稱軸為……6分（Ⅱ）由已知b2=ac即的值域?yàn)?……14分20.某商場(chǎng)舉行的“三色球”購物摸獎(jiǎng)活動(dòng)規(guī)定:在一次摸獎(jiǎng)中,摸獎(jiǎng)?wù)呦葟难b有個(gè)紅球與個(gè)白球的袋中任意摸出個(gè)球,再從裝有個(gè)藍(lán)球與個(gè)白球的袋中任意摸出個(gè)球,根據(jù)摸出個(gè)球中紅球與藍(lán)球的個(gè)數(shù),設(shè)一.二.三等獎(jiǎng)如下:獎(jiǎng)級(jí)摸出紅.藍(lán)球個(gè)數(shù)獲獎(jiǎng)金額一等獎(jiǎng)3紅1藍(lán)200元二等獎(jiǎng)3紅0藍(lán)50元三等獎(jiǎng)2紅1藍(lán)10元其余情況無獎(jiǎng)且每次摸獎(jiǎng)最多只能獲得一個(gè)獎(jiǎng)級(jí).(1)求一次摸獎(jiǎng)恰好摸到1個(gè)紅球的概率;(2)求摸獎(jiǎng)?wù)咴谝淮蚊?jiǎng)中獲獎(jiǎng)金額的分布列與期望.參考答案：21.已知數(shù)列{an}滿足，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，cn=Sn﹣2n+2ln（n+1）（1）令，證明：對(duì)任意正整數(shù)n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|（2）證明數(shù)列{cn}是遞減數(shù)列．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法．【分析】（1）由于，，可得bn+1==1+bn，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn=n．對(duì)任意正整數(shù)n，要證明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要證明：|sinnθ|≤n|sinθ|，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．（2）由（1）可得：，解得an=2﹣．cn=Sn﹣2n+2ln（n+1），當(dāng)n≥2時(shí)，可得cn﹣cn﹣1=2（ln﹣）．（n≥2）．令1+=x，．記f（x）=lnx﹣（x﹣1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．【解答】證明：（1）∵，，∴bn+1====1+=1+bn，∴bn+1﹣bn=1，∴數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項(xiàng)b1==1，公差為1．∴bn=1+（n﹣1）=n．對(duì)任意正整數(shù)n，要證明|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|，只要證明：|sinnθ|≤n|sinθ|，（*）．下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，（*）成立．②假設(shè)n=k時(shí)，（*）成立，即|sinkθ|≤k|sinθ|，則當(dāng)n=k+1時(shí)，|sin（k+1）θ|=|sinkθcosθ+coskθsinθ|≤|sinkθ||cosθ|+|coskθ||sinθ|≤|sinkθ|+|sinθ|≤（k+1）|sinθ|，即n=k+1時(shí)，（*）成立．由①②可知：對(duì)任意正整數(shù)n，|sin（bnθ）|≤bn|sinθ|．（2）由（1）可得：，解得an=2﹣．cn=Sn﹣2n+2ln（n+1），當(dāng)n≥2時(shí)，cn﹣1=Sn﹣1﹣2（n﹣1）+2lnn，∴cn﹣cn﹣1=an﹣2+2ln=﹣+2ln=2（ln﹣）．（n≥2）．令1+=x，．記f（x）=lnx﹣（x﹣1），f′（x）=﹣1=＜0，∴f（x）在上單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（1）=0，∴l(xiāng)n﹣＜0．∴cn﹣cn﹣1＜0，即cn＜cn﹣1，∴數(shù)列{cn}是遞減數(shù)列．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法、遞推關(guān)系的應(yīng)用、