第五章 留數(shù)及其應(yīng)用

第第頁(yè)第五章留數(shù)及其應(yīng)用復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)與積分變換

復(fù)變函數(shù)

參考用書《復(fù)變函數(shù)與積分變換》,華中科技高校數(shù)學(xué)系,《復(fù)變函數(shù)與積分變換》,華中科技高校數(shù)學(xué)系,2022.6高等教育出版社,高等教育出版社,高等教育出版

《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》,華中科大,《復(fù)變函數(shù)與積分變換學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題全解》,華中科大,社《復(fù)變函數(shù)》,西安交通高校高等數(shù)學(xué)教研室,《復(fù)變函數(shù)》,西安交通高校高等數(shù)學(xué)教研室,1996.5

高等教育出版社,高等教育出版社,

2022-2-1

復(fù)變函數(shù)

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復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)解析函數(shù)復(fù)變函數(shù)的積分解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示留數(shù)及其應(yīng)用傅立葉變換拉普拉斯變換3

復(fù)變函數(shù)

第五章

留數(shù)及其應(yīng)用

本章中心問(wèn)題是留數(shù)定理，前面講的柯西定理、柯西積分公式都是留數(shù)定理的非常狀況，并且留數(shù)定理在作理論探討與實(shí)際應(yīng)用中都具有重要意義，它是復(fù)積分與復(fù)級(jí)數(shù)理論相結(jié)合的產(chǎn)物，為此先對(duì)解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)進(jìn)行分類

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第五章5.2留數(shù)

留數(shù)及其應(yīng)用

5.1孤立奇點(diǎn)5.3留數(shù)在定積分計(jì)算中的應(yīng)用本章小結(jié)思索題

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復(fù)變函數(shù)

第一節(jié)一、奇點(diǎn)的分類

孤立奇點(diǎn)

但在定義：假設(shè)函數(shù)f(z)在z0處不解析，z0的某一去心鄰域0zz0δ內(nèi)到處解析，

那么稱z0為函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)1如：z=0是函數(shù)f(z)=的孤立奇點(diǎn)，也是函數(shù)f(z)=ez的孤立奇點(diǎn).z1如z=0是函數(shù)f(z)=的一個(gè)奇點(diǎn)，1sinz1

除此之外，zn=

1(n=1,2,)也是它的一個(gè)奇點(diǎn)，nπ

1當(dāng)n的絕對(duì)值漸漸增大時(shí)，可任意接近z=0,nπ

即在z=0不論怎樣小的去心鄰域，總有函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)存在，所以z=0不是函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn).2022-2-16

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孤立奇點(diǎn)分類：函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的鄰域0zz0δ內(nèi)展為洛朗級(jí)數(shù)為：

f(z)=

∑C(zz)+∑Cnn=0n0n=1

∞

∞

n

(zz0)n

解析部分∞

主要部分

那么稱(1)主部消逝即只有∑Cn(zz0)n,z0為函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)n=0

(2)主部?jī)H含有限項(xiàng)(m項(xiàng)),那么稱z0為函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn)(3)主部含有無(wú)限多項(xiàng)，那么稱z0為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)

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說(shuō)明點(diǎn)z=0是函數(shù)f(z)=例1.

sinz的可去奇點(diǎn).z

解：f(z)在z=0的去心鄰域內(nèi)可開展成洛朗級(jí)數(shù)為：函數(shù)11sinz1z3z5f(z)==(z+)=1z2+z4,3!5!zz3!5!

開展式中不含負(fù)冪項(xiàng)，

sinzz=0是函數(shù)f(z)=的可去奇點(diǎn).z

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復(fù)變函數(shù)

二、可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)的解析化：

假設(shè)z0為函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)，那么f(z)在z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)就是一個(gè)不含負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)為：f(z)=C0+C1(zz0)+C2(

zz0)2+Cn(zz0)n+,0zz0δ

顯著這個(gè)冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)F(z)在zz0δ內(nèi)到處解析.

令f(z0)=C0=limF(z)=limf(z).z→z0z→z0

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孤立奇點(diǎn)z0為可去奇點(diǎn)的判別方法：設(shè)z0為函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)，那么以下條件是等價(jià)的,

(1)z0為函數(shù)f(z)的可去奇點(diǎn)；(2)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)的洛朗級(jí)數(shù)開展式中不含zz0的負(fù)冪項(xiàng)，即f(z)=C0+C1(zz)++Cn(zz0)n+

(3)limf(z)=C0,(C0為一常復(fù)數(shù));z→z0

(4)函數(shù)f(z)在z0某去心鄰域內(nèi)有界.

lim假設(shè)z0為f(z)的極點(diǎn)，那么z→zf(z)=?0

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復(fù)變函數(shù)

三、極點(diǎn)假如在洛朗級(jí)數(shù)開展式中只有有限多個(gè)zz0的負(fù)冪項(xiàng)，且關(guān)于(zz0)1的最高冪為(zz0)m,即f(z)=Cm(zz0)m++C2(zz0)2+C1(zz0)1+C0+C1(zz0)+,(m≥1,Cm≠0)

那么孤立奇點(diǎn)z0稱為函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn).

下面爭(zhēng)論m階極點(diǎn)的特征：()f(z)=11[Cm+Cm+1(zz0)+Cm+2(zz0)2++C1(zz0)m1(zz0)m+∑Cn(zz0)n+m]=n=0∞

1g(z)m(zz0)

()這里g(z)滿意：1在圓域zz0δ內(nèi)是解析函數(shù)；

(2)g(z0)≠0.2022-2-111

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(2)反過(guò)來(lái)，當(dāng)任何一個(gè)函數(shù)f(z)能表示為f(z)=

1g(z)的形式，m(zz0)

g(z)在zz0δ內(nèi)解析且g(z0)≠0,那么z0是函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn).判定z0是函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn)的另一方法.

1g(z)=+∞而limf(z)=limz→z0z→z0(zz)m0limf(z)=∞.判定z0是函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn)的又一方法.z→z0

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復(fù)變函數(shù)

孤立奇點(diǎn)z0為極點(diǎn)的判別方法：設(shè)z0為函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)，那么以下條件是等價(jià)的,

(1)z0是函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn)；(2)函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處的洛朗開展式為：+∞CmC1f(z)=+++∑Cn(zz0)n(zz0)m(zz0)n=0

(Cm≠0,m0)

(3)極限limf(z)=∞,缺點(diǎn)：不能指明極點(diǎn)的階數(shù).z→z0

(4)函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0的某去心鄰域內(nèi)能表示成：f(z)=1g(z),(zz0)m

其中g(shù)(z)在z0的鄰域內(nèi)解析，且g(z0)≠0.2022-2-113

復(fù)變函數(shù)

求有理分式函數(shù)f(z)=例2.

z2的極點(diǎn).23(z+1)(z1)

解：函數(shù)的孤立奇點(diǎn)有：z=1,z=i.limf(z)=∞,z→1

z→i

limf(z)=∞,

z=1,z=i都是函數(shù)f(z)的極點(diǎn).11z2z2=2=g1(z)(1)當(dāng)z=1時(shí)，2333(z+1)(z1)(z1)(z+1)(z1)

這里g1(z)在z=1的某鄰域內(nèi)到處解析，且g1(1)≠0,z=1是有理函數(shù)的3階極點(diǎn).11z2z2==(2)對(duì)于z=i,有(z2+1)(z1)3(zi)(z+i)(z1)3(zi)g2(z

)11z2z2==(3)對(duì)于i,有(z2+1)(z1)3(z+i)(zi)(z1)3(z+i)g3(z)

z=i都是有理函數(shù)的1階極點(diǎn).2022-2-114

復(fù)變函數(shù)

四、本性奇點(diǎn)假設(shè)在洛朗級(jí)數(shù)開展式中含有無(wú)窮多個(gè)zz0的負(fù)冪項(xiàng)，那么

孤立奇點(diǎn)z0稱為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn).z例如：f(z)=e,=0是它的本性奇點(diǎn),由于它的洛朗級(jí)數(shù)為：1z

121ne=1+z+z++z+,含有無(wú)窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng).2!n!1

1z

假設(shè)z0為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)，且具有如下性質(zhì)：

A,{zn}→z0,使得limf(z)=Az=zn→z0

即：假設(shè)z0為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)，那么極限limf(z)不存在且不是無(wú)窮大.z→z0

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復(fù)變函數(shù)

函數(shù)例3.f(z)=e,點(diǎn)z=0為它的本性奇點(diǎn).那么函數(shù)f(z)=e解：(1)當(dāng)z沿正實(shí)軸趨向于0時(shí)，1z

1z

→+∞;1z

那么函數(shù)f(z)=e→0;(2)當(dāng)z沿負(fù)實(shí)軸趨向于0時(shí)，

(3)假設(shè)對(duì)于給定復(fù)數(shù)A=i=e

寫成

(+2nπ)i2

π

,要使e→i=e

1z

(+2nπ)i2

π

,

1可取數(shù)列zn=,n→∞時(shí)，zn→0,π(+2nπ)i2當(dāng)z沿?cái)?shù)列{zn}趨向于零時(shí)，有：lime=iz=zn→01z

由(1)、(2)、(3)分析得：極限limf(z)不存在.z→z0

故點(diǎn)z=0為f(z)=e的本性奇點(diǎn).2022-2-116

1z

復(fù)變函數(shù)

孤立奇點(diǎn)z0為本性奇點(diǎn)的判別方法：設(shè)z0為函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)，那么以下條件是等價(jià)的,

(1)z0為函數(shù)f(z)的本性奇點(diǎn)；(2)函數(shù)f(z)在z0點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)開展式中含有無(wú)窮多個(gè)zz0的負(fù)冪項(xiàng)；

(3)極限limf(z)不存在(也不是無(wú)窮大).z→z0

0利用極限判斷奇點(diǎn)的類型，當(dāng)極限是型時(shí)，可以象0《高等數(shù)學(xué)》中那樣用羅必達(dá)法那么來(lái)求:

假如函數(shù)f(z),g(z)是當(dāng)z→z0,以零為極限的兩個(gè)

f(z)f′(z)不恒等于零的解析函數(shù)，那么lim=lim.z→z0g(z)z→z0g′(z)2022-2-117

復(fù)變函數(shù)

討論函數(shù)f(z)=例4.

1孤立奇點(diǎn)的類型.2(z1)(z2)

解：z=1,z=2是函數(shù)f(z)的兩個(gè)孤立奇點(diǎn)，當(dāng)z=1時(shí),11f(z)=,2z1(z2)

1在z=1的某鄰域內(nèi)解析，且z=1處取值不等于0,2(z2)

z=1是函數(shù)f(z)的一階極點(diǎn)；

11,當(dāng)z=2時(shí),f(z)=2(z2)z11在z=2的某鄰域內(nèi)解析，且z=2處取值不等于0,z1

z=2是函數(shù)f(z)的二階極點(diǎn).2022-2-118

復(fù)變函數(shù)

討論函數(shù)f(z)=e例5.

1z1

的孤立奇點(diǎn)的類型.

解：f(z)=e

1z1

在整個(gè)復(fù)平面內(nèi)除去點(diǎn)z=1外到處解析，

z=1是它的唯一的孤立奇點(diǎn).將函數(shù)在0|z1|+∞內(nèi)開展成洛朗級(jí)數(shù)，得到：e1z1

112=1+(z1)+(z1)++(z1)n+2!n!1

此級(jí)數(shù)含有無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，故z=1是它的本性奇點(diǎn).

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復(fù)變函數(shù)

五、函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系1.零點(diǎn)的定義假設(shè)函數(shù)f(z)=(zz0)m(z),其中(z)在z0處解析，且(z0)≠0,

m為一正整數(shù)，那么稱z0為函數(shù)f(z)的m階零點(diǎn).

例如：函數(shù)f(z)=z(z1)3,

z=0,z=1分別是f(z)的一階零點(diǎn)和三階零點(diǎn).

定理1假如函數(shù)f(z)在z0處解析，那么z0為f(z)的m階零點(diǎn)的充要條件是f(n)(z0)=0,n=0,1,2,(m1),f(m)(z0)≠0.

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