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第第頁初中數(shù)學競賽數(shù)論題v1.0可編輯可修改

1

中學數(shù)學競賽練習題集

數(shù)論部分

1.求滿意2p2p8m22m的全部素數(shù)p和正整數(shù)m.

2.設a、b為整數(shù)，*、y為整數(shù)，證明：形如a*by的正整數(shù)中，最小值a*0by0(a,b).

22

3.求方程*y2(*y)*y的全部正整數(shù)解?

4.正整數(shù)n滿意當10k2時，有nk1(modk)，求n的最小值.

6.已知a1，a?,a3,a4，是滿意條件a1a?a3

a4關于*的方程*耳*a2*%*a4*a5

7.試求出全部這樣的正整數(shù)

a使得關于*的二次方程a*22(2a1)*4(a3)0至少

有一個整數(shù)根.2

8.是否存在質(zhì)數(shù)p、q，使得關于*的一元二次方程p*q*p0有有理數(shù)根,22

9.已知m、n均為正整數(shù)，且mn，2022mm2022nn.證明：mn是為完全平方數(shù).

22

10.已知k為常數(shù)，關于*的一元二次方程(k2k)*(46k)*80的解都是整數(shù)，求k的值.

2

9n10n2022能表示為兩個連續(xù)自然數(shù)之積，求5.a是三位數(shù),b是一位數(shù)，且2b

2a、一—都是整數(shù)，求

bab1b的最大值與最小值

a59的五個不同的整數(shù)，且

b是2022的整數(shù)根，求b的值.11.已知n為自然數(shù),n的最大值.

12.設a是3的正整數(shù)次幕,

b是2的正整數(shù)次幕,試確定全部這樣的a、b，使得二次方程

2*a*b0的根是整數(shù)

13.是否存在這樣的正整數(shù)

n，使得3n27n1能整除n3n2n1請說明理由14.求使得2n(n1)(n2)(n

3)12可表示為2個正整數(shù)平方和的自然數(shù)n的個數(shù).15.證明：存在無窮多對正整數(shù)m,n，滿意方程m225n210mn7mn

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2

16.求方程*36*25*y3y2的整數(shù)解.

1

17.已知a、b都是正整數(shù)，試問關于*的方程*2ab*(ab)0是否有兩個整數(shù)解

2

18.求方程*2y2208(*y)的全部正整數(shù)解.

2

19.設a為質(zhì)數(shù)，b為正整數(shù)，且9(2ab)509(4a511b)求a，b的值.

20.已知正整數(shù)a滿意192a3191,且a2022，求滿意條件的全部可能的正整數(shù)

a的和.

21.試確定一切有理數(shù)r，使得關于*的方程r*2r2*r10有根且只有整數(shù)根.

22.已知p為質(zhì)數(shù)，使二次方程*22p*p2

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