函數(shù)概念與性質(zhì)

第三章函數(shù)概念與性質(zhì)

3.1函數(shù)的概念及其表示

3.1.1函數(shù)的概念

學(xué)案

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

L通過(guò)具體教學(xué)實(shí)例，在體會(huì)兩個(gè)變量之間依賴關(guān)系的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用

集合思想與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫函數(shù)概念.

2.能夠指出現(xiàn)實(shí)情境問(wèn)題中函數(shù)的定義域和值域.

3.給出一個(gè)函數(shù)解析式，能夠舉出它所對(duì)應(yīng)的問(wèn)題情境.

二、基礎(chǔ)梳理

1.一般地，設(shè)A,3是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,按照

某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系了,在集合5中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱

/：AfB為從集合A到集合3的一個(gè)函數(shù)，記作y=/(x),

其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y

值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|xeA｝叫做函數(shù)的值域.

2.函數(shù)的三個(gè)要素：定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系，值域.

3.研究函數(shù)時(shí)常會(huì)用到區(qū)間的概念.設(shè)跖6是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且戰(zhàn)上我們規(guī)定：

(1)滿足不等式aWxW》的實(shí)數(shù)X的集合叫做閉區(qū)間，表示為出⑸；

(2)滿足不等式◎的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，表示為(。力)；

(3)滿足不等式或a<x46的實(shí)數(shù)X的集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別表示

為［a,b),(a,b］.

4.在數(shù)軸表示時(shí)，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在

區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn).

5.實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(ro,*o).

6.把滿足了2。,%>0,%46戶<6的實(shí)數(shù)》的集合，用區(qū)間分別表示［a,+oo),(a,+oo),(-

ooM(-oo,b).

三、鞏固練習(xí)

1.下列X,y關(guān)系中為函數(shù)的是()

A.y=Jx-2+Jl-x

B.x2+y2=1

x,x>l,

C.y=

1-2x,x<l

D.

1234

y05-611

2.下列各圖中，可表示函數(shù)y=/（x）的圖象的是（）

A.{-2,-1,0,1,2}B.{x|-3<尤<2}C.{x|-3<x<2}D.{%|-3<x<2}

4.函數(shù)”x）=立4的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

無(wú)一1

A.[-2,2]B.(-2,3)C.[-2,l)u(l,2]D.(-2,l)u(l,2)

5.若周長(zhǎng)為定值。的矩形，它的面積S是這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng)x的函數(shù)，則這個(gè)

函數(shù)的定義域是（）

A.（Q,+OO）B.、,+8）C.（MD.[O,￡|

6.右y(x)=,則/(。)=()

1+X

B.1

A.1C.OD.-1

2

7.（多選）下列函數(shù)中，滿足/（2尤）=2/（無(wú)）的是（）

A./(x)=|尤|B./(x)=x-\x\C.f(x)=x+1D./(x)=-x

8.函數(shù)"")=J六的定義域?yàn)?/p>

答案以及解析

L答案：D

解析：根據(jù)函數(shù)的定義，自變量在其允許取值范圍內(nèi)任意取一個(gè)值，有唯一的

函數(shù)值與其對(duì)應(yīng)，選項(xiàng)A中的解析式中，x的取值范圍為x22且x41,符合條

件的x值不存在，故它不是函數(shù)；選項(xiàng)B中的解析式，當(dāng)x在它允許取值的范

圍內(nèi)取值時(shí)，y的值不唯一，故它不是函數(shù)；選項(xiàng)C中，當(dāng)x=l時(shí)，y的值不唯

一，故它不是函數(shù)；只有選項(xiàng)D中的x,y滿足函數(shù)的定義.

2.答案：D

解析：由函數(shù)的定義可知，對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)變量x,都存在唯一確定的

函數(shù)值y與之對(duì)應(yīng).A中，當(dāng)x=0時(shí)，有兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng)；B中，當(dāng)x>0時(shí)，有

兩個(gè)丁與x對(duì)應(yīng)；C中，當(dāng)無(wú)=0時(shí)，有兩個(gè)y與x對(duì)應(yīng)；D中，對(duì)任意x都只

有唯一確定的y與之對(duì)應(yīng).故選D.

3.答案：C

解析：由區(qū)間和集合的關(guān)系，可得區(qū)間（-3,2］可表示為"|-3<三2},故選?.

4.答案:C

解析:要使函數(shù)有意義,須滿足:二/解得-2X2,且向

故函數(shù)/（幻的定義域?yàn)椋?2,1）口（1,2］.故選C.

5.答案：D

解析：依題意知，矩形的一邊長(zhǎng)為x,則該邊的鄰邊長(zhǎng)為7=3-x,由

22

x>0,/x

“得0<x<4,故這個(gè)函數(shù)的定義域是0二.

----x>02\2J

12

6.答案:A

解析：y（x）=3，.?./（（））=二2=1.故選A.

l+x1+0

7.答案：ABD

解析：對(duì)于A,/（2X）=|2X|=2|X|=2/（X）,A正確；

對(duì)于B,?,>f(2x)=lx-1lx|=2(x-1xI)=2/(x),r.B正確;

對(duì)于C「f(2x)=2x+12(x+1)=2f(x),，C不正確;

對(duì)于D,-f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x),D正確.故選ABD.

8.答案：｛x\-2<x<3]

I------3-x〉

解析：由=