統(tǒng)考版2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)專題三立體幾何第2講空間位置關(guān)系的判斷

第2講空間位置關(guān)系的判斷與證明考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)四考點(diǎn)一點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系考點(diǎn)一點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系——真有證據(jù)，假有反例判斷空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，主要依賴四個(gè)公理、平行關(guān)系和垂直關(guān)系的有關(guān)定義及定理，具體處理時(shí)可以構(gòu)建長(zhǎng)方體或三棱錐等模型，把要考查的點(diǎn)、線、面融入模型中，判斷會(huì)簡(jiǎn)潔明了．如要否定一個(gè)結(jié)論，只需找到一個(gè)反例就可以．例1[2023·陜西省寶雞市高三三模]已知α，β是空間兩個(gè)不同的平面，m，n是空間兩條不同的直線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A．m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB．m⊥α，n⊥β且α∥β，則m∥nC．m⊥α，n⊥β，且m∥n，則α∥βD．α∥β，m?α，n?β，則m∥n答案：D解析：對(duì)于A：若m⊥α，m⊥n，則n?α或n∥α，若n?α，n⊥β，則α⊥β，若n∥α，則平面α存在直線c使得n∥c，又n⊥β，所以c⊥β，又c?α，所以α⊥β，故A正確；對(duì)于B：若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又n⊥β則m∥n，故B正確；對(duì)于C：若m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β且α，β是空間兩個(gè)不同的平面，則α∥β，故C正確；對(duì)于D：若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m與n異面，故D錯(cuò)誤．故選D.歸納總結(jié)判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)命題真假的4種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷；(2)借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定；(3)借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時(shí)，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷；(4)判斷空間兩條直線是否相交，首先判斷兩直線是否共面．

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.[2023·成都七中高三一模]設(shè)α是空間中的一個(gè)平面，l，m，n是三條不同的直線，則(

)A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB．若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥αC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l⊥nD．若m?α，l⊥n，n⊥α，則l∥m答案：B解析：由α是空間中的一個(gè)平面，l，m，n是三條不同的直線，知：對(duì)A：若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l與α相交、平行或l?α，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：若l∥m，m∥n，l⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)定理得n⊥α，故B正確；對(duì)C：若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：若m?α，n⊥α，l⊥n，則l與m相交、平行或異面，故D錯(cuò)誤．故選B.2．[2022·全國(guó)乙卷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則(

)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D答案：A

考點(diǎn)二空間角的基本計(jì)算考點(diǎn)二空間角的基本計(jì)算——依照定義，轉(zhuǎn)化角度用平移法求異面直線所成的角是指通過平移異面直線中的一條或兩條，找到異面直線所成的角，并求出該角．此種方法適用于規(guī)則幾何體中的異面直線所成角的求解問題．例2[2022·全國(guó)甲卷]在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則(

)A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°答案：D

答案：A答案：C考點(diǎn)三空間中平行、垂直關(guān)系考點(diǎn)三空間中平行、垂直關(guān)系——思轉(zhuǎn)化，用定理，得結(jié)論1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，PA?平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形．∴BE∥AD.又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.

歸納總結(jié)平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化提醒

(1)證明線面平行時(shí)，忽略“直線在平面外”“直線在平面內(nèi)”的條件．(2)證明面面平行時(shí)，忽略“兩直線相交”“兩直線在平面內(nèi)”的條件．(3)證明線面垂直時(shí)，容易忽略“平面內(nèi)兩條相交直線”這一條件．對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.如圖，該幾何體的三個(gè)側(cè)面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形．(1)證明：平面ABC∥平面A1B1C1；(2)若AA1＝2AC，AC⊥AB，M為CC1的中點(diǎn)，證明：A1M⊥平面ABM.

2．如圖，已知△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)E與點(diǎn)D在平面ABC的同側(cè)，且CE∥BD，BD＝2CE.F為AD的中點(diǎn)，連接EF.(1)求證：EF∥平面ABC；(2)求證：平面AED⊥平面ABD.證明：(1)如圖，取AB的中點(diǎn)為O，連接OC，OF，∵O，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴OF∥BD且BD＝2OF，又∵CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴四邊形OCEF為平行四邊形，∴EF∥OC.又∵EF?平面ABC且OC?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵三角形ABC為等邊三角形，∴OC⊥AB，又∵平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，∴OC⊥平面ABD，∵EF∥OC，∴EF⊥平面ABD，又∵EF?平面AED，∴平面AED⊥平面ABD.考點(diǎn)四平面圖形的折疊問題考點(diǎn)四平面圖形的折疊問題——折疊前后“變”與“不變”是關(guān)鍵1．畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖．2．把握關(guān)系：即比較翻折前后的圖形，準(zhǔn)確把握平面圖形翻折前后的線線關(guān)系，哪些平行與垂直的關(guān)系不變，哪些平行與垂直的關(guān)系發(fā)生變化，這是準(zhǔn)確把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行空間線面關(guān)系邏輯推理的基礎(chǔ)．3．準(zhǔn)確定量