湖南省永州市梅崗中學高三數(shù)學文期末試題含解析

湖南省永州市梅崗中學高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，過F作直線l與C交于A，B兩點．若，則△OAB重心的橫坐標為（

）A．

B．2

C.

D．3參考答案：B為拋物線的焦點，所以.設由拋物線定義知：，解得.重心的橫坐標.故選B.

2.已知命題p：函數(shù)(a≠0)在(0，1)內(nèi)恰有一個零點；命題q：函數(shù)在(0，+)上是減函數(shù)．若p且為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是(

)

A．a(chǎn)>1

B．a(chǎn)≤2

C．1<a≤2

D．a(chǎn)≤l或a>2參考答案：C略3.設z1=1+i，復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于實軸對稱，則=（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1參考答案：A【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】由已知求得復數(shù)z2，代入，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【解答】解：∵z1=1+i，且復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)的對應點關于實軸對稱，∴z2=1﹣i，則=．故選：A．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎的計算題．4.設是定義在上的函數(shù)，且對任意實數(shù)，恒有．當時，.則(A)

()()

()參考答案：D略5.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a2a5=2a3，且a4與2a7的等差中項為，則S5=（）A．29 B．31 C．33 D．36參考答案：B【考點】等比數(shù)列的前n項和．【分析】利用a2?a3=2a1，且a4與2a7的等差中項為，求出數(shù)列的首項與公比，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2?a3=2a1=a1q?=a1?a4，∴a4=2．∵a4與2a7的等差中項為，∴a4+2a7=，故有a7=．∴q3==，∴q=，∴a1==16．∴S5==31．故選：B．6.已知函數(shù)f（x）=，若存在實數(shù)x1，x2，x3，x4，滿足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），則的取值范圍是(

) A．（0，12） B．（4，16） C．（9，21） D．（15，25）參考答案：A考點：分段函數(shù)的應用．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：畫出函數(shù)f（x）的圖象，確定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范圍．解答： 解：函數(shù)的圖象如圖所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴l(xiāng)og2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范圍是（0，12）．故選：A．點評：本小題主要考查分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法、函數(shù)的值域的應用、函數(shù)與方程的綜合運用等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．7.已知函數(shù)是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且當時成立（其中的導函數(shù)），若，，則的大小關系是

A．

B．

C．

D．參考答案：A8.下列函數(shù)中，偶函數(shù)是（）A．y=2x﹣B．y=xsinx C．y=excosx D．y=x2+sinx參考答案：B【考點】函數(shù)奇偶性的判斷．【分析】利用奇偶函數(shù)的定義，進行判斷，即可得出結(jié)論．【解答】解：對于A，是奇函數(shù)，對于B，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx，是偶函數(shù)；對于C，f（﹣x）=e﹣xcos（﹣x）=e﹣xcosx，非奇非偶函數(shù)；對于D，f（﹣x）=x2﹣sinx，非奇非偶函數(shù)，故選B．【點評】本題考查奇偶函數(shù)的定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．9.從N個編號中要抽取n個號碼入樣，若采用系統(tǒng)抽樣方法抽取，則分段間隔應為（

）A．

B．n

C．［］

D．［］+1參考答案：C10.已知是實數(shù)，是純虛數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y﹣1=0平行，則實數(shù)a的值為

．參考答案：1【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到函數(shù)在x=1處的導數(shù)，由導數(shù)值等于﹣求得實數(shù)a的值．【解答】解：由f（x）=ln（1+x）﹣ax，得，則．∵函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣ax的圖象在x=1處的切線與直線x+2y﹣1=0平行，∴，即a=1．故答案為：1．12.甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上，若每級臺階最多站2人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法總數(shù)是

．參考答案：336【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題．【分析】由題意知本題需要分組解決，共有兩種情況，對于7個臺階上每一個只站一人，若有一個臺階有2人另一個是1人，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題需要分組解決，∵對于7個臺階上每一個只站一人有A73種；若有一個臺階有2人另一個是1人共有C31A72種，∴根據(jù)分類計數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是A73+C31A72=336種．故答案為：336．【點評】分類要做到不重不漏，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．分步要做到步驟完整﹣﹣完成了所有步驟，恰好完成任務．13.給出下列命題：①是冪函數(shù)②函數(shù)的零點有1個③的解集為④“＜1”是“＜2”的充分不必要條件⑤函數(shù)在點O（0，0）處切線是軸其中真命題的序號是

（寫出所有正確命題的編號）參考答案：④⑤

略14.已知正△ABC的邊長為2，若，則等于

．參考答案：1由題意可知，則．

15.（5分）設a+b=2，b＞0，則當a=時，取得最小值．參考答案：﹣2【考點】：基本不等式．【專題】：不等式的解法及應用．【分析】：由于a+b=2，b＞0，從而=，（a＜2），設f（a）=，（a＜2），畫出此函數(shù)的圖象，結(jié)合導數(shù)研究其單調(diào)性，即可得出答案．解：∵a+b=2，b＞0，∴=，（a＜2）設f（a）=，（a＜2），畫出此函數(shù)的圖象，如圖所示．利用導數(shù)研究其單調(diào)性得，當a＜0時，f（a）=﹣+，f′（a）==，當a＜﹣2時，f′（a）＜0，當﹣2＜a＜0時，f′（a）＞0，故函數(shù)在（﹣∞，﹣2）上是減函數(shù)，在（﹣2，0）上是增函數(shù)，∴當a=﹣2時，取得最小值．同樣地，當0＜a＜2時，得到當a=時，取得最小值．綜合，則當a=﹣2時，取得最小值．故答案為：﹣2．【點評】：本題考查導數(shù)在最值問題的應用，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．16.已知，滿足約束條件則目標函數(shù)的最小值為__________．參考答案：，作出約束條件表示的可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線經(jīng)過點時，取得最小值，且，，故答案為.17.動點在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及其邊界上運動，則的取值范圍是

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)。（Ⅰ）若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并比較與的大小關系（Ⅱ）若函數(shù)的圖象在點處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數(shù)在區(qū)間上總不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（Ⅲ）求證：。參考答案：略19.（本小題滿分12分）某學校為準備參加市運動會，對本校甲、乙兩個田徑隊中30名跳高運動員進行了測試，并用莖葉圖表示出本次測試30人的跳高成績（單位：cm）．跳高成績在175cm以上（包括175cm）定義為“合格”，成績在175cm以下（不包括175cm）定義為“不合格”．鑒于乙隊組隊晚，跳高成績相對較弱，為激勵乙隊隊員，學校決定只有乙隊中“合格”者才能參加市運動會開幕式旗林隊．（Ⅰ）求甲隊隊員跳高成績的中位數(shù)；（Ⅱ）如果用分層抽樣的方法從甲、乙兩隊所有的運動員中共抽取5分，則5人中“合格”與“不合格”的人數(shù)各為多少．（Ⅲ）若從所有“合格”運動員中選取2名，用X表示所選運動員中能參加市運動會開幕式旗林隊的認輸，試寫出X的分布列，并求X的數(shù)學期望．參考答案：（Ⅰ）中位數(shù)cm.

………..2分（Ⅱ）根據(jù)莖葉圖，有“合格”12人，“不合格”18人，用分層抽樣的方法，每個運動員被抽中的概率是，所以選中的“合格”有人，

………..4分“不合格”有人．

………..6分（Ⅲ）依題意，X的取值為．則，，．因此，X的分布列如下：XP

………..10分．

………..12分備注：一個概率1分，表格1分，共4分

20.已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，離心率為，橢圓上的點到焦點距離的最大值為．（I）求橢圓的標準方程；（II）若過點的直線與橢圓交于不同的兩點，且，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：略21.（本小題滿分12分）已知(1)求函數(shù)上的最小值；(2)若對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍；(3)證明:對一切,都有成立．參考答案：（本小題滿分12分）解（1），

—————1分當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增

—————2分①，即時，

；

②，即時，上單調(diào)遞增，；所以

—————5分（2），則，[/]

設，則，當單調(diào)遞減，當單調(diào)遞增，所以

—————8分所以；

—————9分（3）問題等價于證明，

—————10分[/]由（1）可知的最小值是，當且僅當時取到，設，則，易知，當且僅當時取到，從而對一切，都有成立

—————12分略22.如圖，面，，，為的中點．

（Ⅰ）求證