2024屆河北省金科大聯(lián)考高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2河北省金科大聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，解得，所以，因為，所以，故.故選：A.2.已知隨機(jī)變量服從，若，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗C〖解析〗由題意可得，所以.故選：C.3.已知為復(fù)數(shù)，若為實數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因為為實數(shù)，所以.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.34 B.35 C.36 D.38〖答案〗B〖解析〗因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，因，則，所以，則，所以，.故選：B.5.的值為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗.故選：C.6.實驗課上，小明將一個小球放置在圓柱形燒杯口處固定（燒杯口支撐著小球），觀察到小球恰好接觸到燒杯底部，已知燒杯的底面半徑為2，小球的表面積為，若燒杯的厚度不計，則燒杯的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)小球的半徑為，則，解得，設(shè)圓柱的高為，由勾股定理可得，解得或（舍去），所以燒杯的側(cè)面積為.故選：D.7.已知是定義域為的偶函數(shù)，當(dāng)時，，若有且僅有3個零點，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為為偶函數(shù)，有且僅有3個零點，所以，即，解得，此時當(dāng)時，，所以的零點為，滿足題意，又當(dāng)時，，，由，得，即，解得，又為偶函數(shù)，所以的解集為，故選：A.8.已知圓O的半徑為1，A，B，C為圓O上三點，滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，取的中點為，則，，，所以，因為，所以.故選：B.二?選擇題9.潮汐現(xiàn)象是地球上的海水受月球和太陽的萬有引力作用而引起的周期性漲落現(xiàn)象.某觀測站通過長時間觀察，發(fā)現(xiàn)某港口的潮汐漲落規(guī)律為（其中，），其中y（單位：）為港口水深，x（單位：）為時間，該觀測站觀察到水位最高點和最低點的時間間隔最少為，且中午12點的水深為，為保證安全，當(dāng)水深超過時，應(yīng)限制船只出入，則下列說法正確的是（）A.B.最高水位為12C.該港口從上午8點開始首次限制船只出入D.一天內(nèi)限制船只出入的時長為〖答案〗AC〖解析〗對于A，依題意，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，，解得，所以最高水位為10m，故B錯誤；對于CD，由上可知，令，解得或者，所以從上午8點開始首次開放船只出入，一天內(nèi)開放出入時長為8h，故C正確，D錯誤.故選：AC.10.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半圓，為底面圓的一條直徑，，B為圓O上的一個動點（不與A，C重合），記二面角為，為，則（）A.圓錐的體積為B.三棱錐的外接球的半徑為C.若，則平面D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)底面半徑為，母線長為，則，即，由，則，則，所以圓錐的體積為，故A正確；設(shè)三棱錐外接球的球心為，在上，設(shè)球的半徑為，則中，，解得：，故B錯誤；如下圖，取的中點，連結(jié),因為，，所以，，所以，若，則，即，所以是等腰直角三角形，所以，因為平面，平面，所以，且，平面，所以平面，故C正確；如上圖，，，因為，所以，則，即則，且，所以，則所以，故D正確.故選：ACD.11.已知，為雙曲線：的左?右焦點，點滿足，N為雙曲線C的右支上的一個動點，O為坐標(biāo)原點，則（）A.雙曲線C的焦距為4B.直線與雙曲線C的左?右兩支各有一個交點C.的面積的最小值為1D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，所以，則，又，所以，雙曲線的焦距，故A正確；對于B，由知，，雙曲線漸近線方程為，則直線的斜率為，所以直線與雙曲線的右支有兩個交點，故B錯誤；對于C，因為，設(shè)直線與雙曲線右支相切，聯(lián)立，消去，得，則，解得或者（舍去），則直線與之間的距離為，所以的面積最小值為，故正確；對于D，以為直徑的圓的方程為，由可知，直線與雙曲線右支的切點為，此時，其圓心到直線的距離為，又直線與兩平行線之間的距離為1，所以切點到圓心的距離大于1，即雙曲線上的點都在圓外，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題12.在的展開式中，的一次項的系數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.〖答案〗〖解析〗因為的展開通項公式為，所以的一次項的系數(shù)為.故〖答案〗為：.13.已知F為拋物線C：的焦點，O為坐標(biāo)原點，過F且斜率為1的直線交拋物線C于A，B兩點，直線，分別交拋物線C的準(zhǔn)線于P，Q兩點，若，，則___________.〖答案〗6〖解析〗設(shè)，則，同理，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線，可得，，則，所以.故〖答案〗為：6.14.已知函數(shù)，記函數(shù)，的值域分別為，若，則的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗因為，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，所以，當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)，即時，令，則，，因為，所以必有，顯然不可能有，否則，不符合題意，所以，解得，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.四?解答題15.2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，設(shè)立全民健身日（FitnessDay）是適應(yīng)人民群眾體育的需求，促進(jìn)全民健身運動開展的需要.某學(xué)校為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了跑步競賽活動，活動分為長跑?短跑兩類項目，且該班級所有同學(xué)均參加活動，每位同學(xué)選擇一項活動參加.長跑短跑男同學(xué)3010女同學(xué)10若采用分層抽樣按性別從該班級中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2名.（1）求的值以及該班同學(xué)選擇長跑的概率；（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否推斷選擇跑步項目的類別與其性別有關(guān)？附：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）因為采用分層抽樣按性別從該班級中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2名，所以男女同學(xué)的比例為，則，故，該班同學(xué)選擇長跑的概率為.（2）依題意，完善列聯(lián)表，如下，長跑短跑總計男同學(xué)301040女同學(xué)101020總計402060零假設(shè)選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān)，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān).16.設(shè)各項都不為0數(shù)列的前項積為，，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）保持?jǐn)?shù)列中各項順序不變，在每兩項與之間插入一項（其中），組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前項和為,若，求的最小值.解：（1）因為，當(dāng)時，，兩式相除可得，因為，所以，又，所以.（2）依題意，，易知隨著增大而增大，當(dāng)時，，當(dāng)時，，而綜上，的最小值為.17.在三棱臺中，為等邊三角形，，平面，分別為，的中點，（1）證明：平面平面；（2）若，設(shè)為線段上的動點，求與平面所成的角的正弦值的最大值.（1）證明：在三棱臺中，，為的中點，所以，且，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面，因為分別為，的中點，所以，又平面平面，所以平面，因為平面平面，所以平面平面；（2）解：連接，因為平面，且平面，所以平面平面，因為為等邊三角形，為的中點，所以，又平面平面平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，則，故四邊形為正方形，，以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，則，，，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，得，令，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以與平面所成角的正弦值的最大值為.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，記的極小值點為，證明：存在唯一零點，且.（參考數(shù)據(jù)：）（1）解：當(dāng)時，，設(shè)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值，所以，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；（2）證明：，設(shè)，則，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，，所以存在，使得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，又且時，，所以存在唯一，使得，存在唯一零點.要證，只需證，即證，因，所以，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，取得極大值，所以，即成立，命題得證.19.已知橢圓：的離心率為，為坐標(biāo)原點，，為橢圓C的左?右焦點，點P在橢圓C上（不包括端點），當(dāng)時，的面積為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點，，直線，分別與橢圓C交于異于點P的M?N兩點，記直線，的斜率分別為，，求的值，解：（1）當(dāng)時，將代入橢圓方程可得，解得，由題意得，解得，所以的方程為.（2）設(shè)，由于，在橢圓的內(nèi)部，所以直線都與橢圓有兩個交點，由于在橢圓上，所以，直線，直線，聯(lián)立，消去整理可得，所以，故，則，故，聯(lián)立，消去整理可得，所以，故，則，故，故，又，所以.河北省金科大聯(lián)考2024屆高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一?選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，解得，所以，因為，所以，故.故選：A.2.已知隨機(jī)變量服從，若，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5〖答案〗C〖解析〗由題意可得，所以.故選：C.3.已知為復(fù)數(shù)，若為實數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡方程為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，因為為實數(shù)，所以.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.34 B.35 C.36 D.38〖答案〗B〖解析〗因為是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，因，則，所以，則，所以，.故選：B.5.的值為（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗.故選：C.6.實驗課上，小明將一個小球放置在圓柱形燒杯口處固定（燒杯口支撐著小球），觀察到小球恰好接觸到燒杯底部，已知燒杯的底面半徑為2，小球的表面積為，若燒杯的厚度不計，則燒杯的側(cè)面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)小球的半徑為，則，解得，設(shè)圓柱的高為，由勾股定理可得，解得或（舍去），所以燒杯的側(cè)面積為.故選：D.7.已知是定義域為的偶函數(shù)，當(dāng)時，，若有且僅有3個零點，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為為偶函數(shù)，有且僅有3個零點，所以，即，解得，此時當(dāng)時，，所以的零點為，滿足題意，又當(dāng)時，，，由，得，即，解得，又為偶函數(shù)，所以的解集為，故選：A.8.已知圓O的半徑為1，A，B，C為圓O上三點，滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，取的中點為，則，，，所以，因為，所以.故選：B.二?選擇題9.潮汐現(xiàn)象是地球上的海水受月球和太陽的萬有引力作用而引起的周期性漲落現(xiàn)象.某觀測站通過長時間觀察，發(fā)現(xiàn)某港口的潮汐漲落規(guī)律為（其中，），其中y（單位：）為港口水深，x（單位：）為時間，該觀測站觀察到水位最高點和最低點的時間間隔最少為，且中午12點的水深為，為保證安全，當(dāng)水深超過時，應(yīng)限制船只出入，則下列說法正確的是（）A.B.最高水位為12C.該港口從上午8點開始首次限制船只出入D.一天內(nèi)限制船只出入的時長為〖答案〗AC〖解析〗對于A，依題意，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時，，解得，所以最高水位為10m，故B錯誤；對于CD，由上可知，令，解得或者，所以從上午8點開始首次開放船只出入，一天內(nèi)開放出入時長為8h，故C正確，D錯誤.故選：AC.10.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半圓，為底面圓的一條直徑，，B為圓O上的一個動點（不與A，C重合），記二面角為，為，則（）A.圓錐的體積為B.三棱錐的外接球的半徑為C.若，則平面D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)底面半徑為，母線長為，則，即，由，則，則，所以圓錐的體積為，故A正確；設(shè)三棱錐外接球的球心為，在上，設(shè)球的半徑為，則中，，解得：，故B錯誤；如下圖，取的中點，連結(jié),因為，，所以，，所以，若，則，即，所以是等腰直角三角形，所以，因為平面，平面，所以，且，平面，所以平面，故C正確；如上圖，，，因為，所以，則，即則，且，所以，則所以，故D正確.故選：ACD.11.已知，為雙曲線：的左?右焦點，點滿足，N為雙曲線C的右支上的一個動點，O為坐標(biāo)原點，則（）A.雙曲線C的焦距為4B.直線與雙曲線C的左?右兩支各有一個交點C.的面積的最小值為1D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，因為，所以，則，又，所以，雙曲線的焦距，故A正確；對于B，由知，，雙曲線漸近線方程為，則直線的斜率為，所以直線與雙曲線的右支有兩個交點，故B錯誤；對于C，因為，設(shè)直線與雙曲線右支相切，聯(lián)立，消去，得，則，解得或者（舍去），則直線與之間的距離為，所以的面積最小值為，故正確；對于D，以為直徑的圓的方程為，由可知，直線與雙曲線右支的切點為，此時，其圓心到直線的距離為，又直線與兩平行線之間的距離為1，所以切點到圓心的距離大于1，即雙曲線上的點都在圓外，所以，故D正確.故選：ACD.三?填空題12.在的展開式中，的一次項的系數(shù)為___________（用數(shù)字作答）.〖答案〗〖解析〗因為的展開通項公式為，所以的一次項的系數(shù)為.故〖答案〗為：.13.已知F為拋物線C：的焦點，O為坐標(biāo)原點，過F且斜率為1的直線交拋物線C于A，B兩點，直線，分別交拋物線C的準(zhǔn)線于P，Q兩點，若，，則___________.〖答案〗6〖解析〗設(shè)，則，同理，設(shè)直線，聯(lián)立直線與拋物線，可得，，則，所以.故〖答案〗為：6.14.已知函數(shù)，記函數(shù)，的值域分別為，若，則的取值范圍是___________.〖答案〗〖解析〗因為，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，所以，當(dāng)時，，不符合題意，當(dāng)，即時，令，則，，因為，所以必有，顯然不可能有，否則，不符合題意，所以，解得，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：.四?解答題15.2023年8月8日是我國第15個“全民健身日”，設(shè)立全民健身日（FitnessDay）是適應(yīng)人民群眾體育的需求，促進(jìn)全民健身運動開展的需要.某學(xué)校為了提高學(xué)生的身體素質(zhì)，舉行了跑步競賽活動，活動分為長跑?短跑兩類項目，且該班級所有同學(xué)均參加活動，每位同學(xué)選擇一項活動參加.長跑短跑男同學(xué)3010女同學(xué)10若采用分層抽樣按性別從該班級中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2名.（1）求的值以及該班同學(xué)選擇長跑的概率；（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否推斷選擇跑步項目的類別與其性別有關(guān)？附：，其中.0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）因為采用分層抽樣按性別從該班級中抽取6名同學(xué)，其中有男同學(xué)4名，女同學(xué)2名，所以男女同學(xué)的比例為，則，故，該班同學(xué)選擇長跑的概率為.（2）依題意，完善列聯(lián)表，如下，長跑短跑總計男同學(xué)301040女同學(xué)101020總計402060零假設(shè)選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān)，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷出不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為選擇跑步項目類別與學(xué)生性別無關(guān).16.設(shè)各項都不為0數(shù)列的前項積為，，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）保持?jǐn)?shù)列中各項順序不變，在每兩項與之間插入一項（其中），組成新的數(shù)列，記數(shù)列的前項和為,若，求的最小值.解：（1）因為，當(dāng)時，，兩式相除可得，因為，所以，又，所以.（2）依題意，，易知隨著增大而增大，當(dāng)時，，當(dāng)時，，而綜上，的最小值為.17.在三棱臺中，為等邊三角形，，平面，分別為，的中點，（1）證明：平面平面；（2）若，設(shè)為線段上的動點，求與平面所成的角的正弦值的最大值.（1）證明：在三棱臺中，，為的中點