2022-2023學(xué)年陜西省西安市蓮湖區(qū)高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2陜西省西安市蓮湖區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)向量運(yùn)算公式可知，．故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.1 B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗，所以的虛部為1.故選：A.3.已知向量，.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗向量，，，則，解得.故選：B.4.下列說法正確的是（）A.等邊三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐B.球體的截面都是圓面C.正四棱臺的側(cè)面展開圖是一個(gè)等腰梯形D.正三棱錐的四個(gè)面都是等邊三角形〖答案〗B〖解析〗對選項(xiàng)A：等邊三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是兩個(gè)圓錐的組合體，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：球體的截面都是圓面，正確；對選項(xiàng)C：正四棱臺的側(cè)面是一個(gè)等腰梯形，側(cè)面展開圖不是，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：正三棱錐的側(cè)面可能不是等邊三角形，錯(cuò)誤.故選：B.5.若的直觀圖如圖所示，，，則頂點(diǎn)到軸的距離是（）A.2 B.4 C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖（1）所示，在的直觀圖中，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，又因?yàn)榍?，可得，作出直角坐?biāo)系中，作出的圖形，如圖（2）所示，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得軸，即點(diǎn)到的距離即為.故選：D.6.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，且，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)椋傻茫?，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以為鈍角三角形.故選：D.7.如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時(shí)海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上.1小時(shí)后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時(shí)與燈塔之間的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，則，即，.故選：B.8.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，則球的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗將三棱錐放入長方體中，設(shè)長方體的長寬高分別為，如圖所示：則，故，球的半徑，故體積為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.平行向量不一定是共線向量B.向量的長度與向量的長度相等C.是與非零向量共線的單位向量D.若四邊形滿足，則四邊形是矩形〖答案〗BC〖解析〗對于A中，根據(jù)共線向量的概念，可得平行向量一定是共線向量，所以A不正確；對于B中，向量與向量是相反向量，可得，所以B正確；對于C中，根據(jù)單位向量概念，向量是與非零向量同向的單位向量，也是與向量共線的單位向量，所以C正確；對于D中，四邊形滿足，則四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，所以D正確.故選：BC.10.如圖，在直角梯形中，，與交于點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，，，，，即，A正確；對于BC，由A知：，B正確，C錯(cuò)誤；對于D，，D正確.故選：ABD.11.若是關(guān)于的方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（）A.B.C.的共軛復(fù)數(shù)為D.關(guān)于的方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根為〖答案〗AB〖解析〗是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則，整理得到，故，解得，對選項(xiàng)A：，正確；對選項(xiàng)B：，正確；對選項(xiàng)C：，共軛復(fù)數(shù)為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：，解得或，錯(cuò)誤.故選：AB.12.軟木鍋墊一般用于餐廳、咖啡廳、酒店等公共飲食場所，可作廣告飾品以提高形象．杯墊透氣、無毒、無異味、防水防潮、耐油耐酸、彈性環(huán)保，具有耐沖擊、不變形、耐用等特點(diǎn)．正、反面可加置印刷公司LOGO、圖片、產(chǎn)品、廣告、聯(lián)系方式等，更接近人們的生活，較強(qiáng)的摩擦力可以防止玻璃、瓷杯滑落，亦可保護(hù)桌面不被燙壞．如圖，這是一個(gè)邊長為10厘米的正六邊形的軟木鍋墊，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.向量與向量是相等向量 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由圖可得向量與向量方向相同，大小相等，所以向量與向量相等向量，A正確；對于B，由圖易得向量與向量的夾角為，則，B錯(cuò)誤；如圖，因?yàn)?，，，則，C正確；因?yàn)闉檎切?，所以根?jù)平行四邊形法則得，與共線且同方向，又均為含角的直角三角形，所以，，所以，，D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．13.在邊長為6的正方形中，_________.〖答案〗〖解析〗由題意，．故〖答案〗為：．14.在中，，，分別是角，，所對的邊，，，若有兩解，請寫出一個(gè)滿足題意的的值：_______________________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，則，即，，，或，驗(yàn)證滿足，故有兩個(gè)解，滿足.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.如圖，在正六邊形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，則_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)正六邊形邊長為1，則與的夾角為，故在向量上的投影向量為，所以.故〖答案〗為：.16.廣州國際金融中心大樓，簡稱“廣州IFC”，又稱“廣州西塔”，位于廣東省廣州市，為地處天河中央商務(wù)區(qū)的一棟摩天大樓，東面珠江公園，南鄰珠江和廣州塔，西近廣州大道，北望天河體育中心與白云山.小勝為測量其高度，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，其中，，三點(diǎn)共線且與廣州國際金融中心大樓底部在同一水平高度，已知米，則廣州國際金融中心大樓的高度為______米.〖答案〗435〖解析〗如圖是塔底，顯然與垂直，，，，設(shè)，則，，，由余弦定理得，，因?yàn)?，，即，所以，即，解得．故〖答案〗為?35.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若，求的值.解：（1）由向量，，可得，且，所以與夾角的余弦值.（2）由，可得，即，解得.18.已知復(fù)數(shù).（1）若為實(shí)數(shù)，求的值；（2）若為純虛數(shù)，求的值；（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍.解：（1）若為實(shí)數(shù)，則虛部為0，所以，解得或.（2）若為純虛數(shù)，則實(shí)部為0，虛部不為0，所以解得.（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，則實(shí)部大于0，虛部小于0，所以解得.19.如圖，在平面四邊形中，，，.（1）求的大??；（2）求邊的長度.解：（1）因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，即，所以或，因?yàn)椋?，所?（2）由（1）知，，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以.20.六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多種類，有六角螺帽，有圓螺帽，方型螺帽等等，而不同種類的螺帽也有不同的尺寸標(biāo)準(zhǔn).已知某種六角螺帽是一個(gè)在正六棱柱內(nèi)部挖去一個(gè)圓柱得到的幾何體，它的尺寸（單位：cm）如圖所示.（1）求該六角螺帽的體積；（2）求該六角螺帽的表面積.解：（1）六角螺帽的體積為正六棱柱的體積減去圓柱的體積，.（2）六角螺帽的表面積：.21.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）若是銳角三角形，且，求外接圓面積的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，可得，所以，即，即，又因?yàn)?，所以，所?（2）由，可得，即，因?yàn)闉殇J角三角形，所以且，解得，所以，設(shè)的外接圓的半徑為，因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，可得，所以外接圓的面積，所以外接圓的面積的取值范圍為.22.在中，，且．（1）求A；（2）已知E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D為AC上一點(diǎn)，且，BD與AE相交于點(diǎn)P，求．解：（1）依題意，由，即．所以，又，所以．（2）如圖所示：因?yàn)?，，所以，易知．因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，所以，則，所以．陜西省西安市蓮湖區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)向量運(yùn)算公式可知，．故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.1 B. C.6 D.〖答案〗A〖解析〗，所以的虛部為1.故選：A.3.已知向量，.若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗向量，，，則，解得.故選：B.4.下列說法正確的是（）A.等邊三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐B.球體的截面都是圓面C.正四棱臺的側(cè)面展開圖是一個(gè)等腰梯形D.正三棱錐的四個(gè)面都是等邊三角形〖答案〗B〖解析〗對選項(xiàng)A：等邊三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是兩個(gè)圓錐的組合體，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)B：球體的截面都是圓面，正確；對選項(xiàng)C：正四棱臺的側(cè)面是一個(gè)等腰梯形，側(cè)面展開圖不是，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：正三棱錐的側(cè)面可能不是等邊三角形，錯(cuò)誤.故選：B.5.若的直觀圖如圖所示，，，則頂點(diǎn)到軸的距離是（）A.2 B.4 C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖（1）所示，在的直觀圖中，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，又因?yàn)榍?，可得，作出直角坐?biāo)系中，作出的圖形，如圖（2）所示，根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，可得軸，即點(diǎn)到的距離即為.故選：D.6.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對邊，且，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，由正弦定理得，又因?yàn)?，可得，所以，因?yàn)?，可得，所以，又因?yàn)?，所以，所以為鈍角三角形.故選：D.7.如圖，一艘船向正北方向航行，航行速度為每小時(shí)海里，在處看燈塔在船的北偏東的方向上.1小時(shí)后，船航行到處，在處看燈塔在船的北偏東的方向上，則船航行到處時(shí)與燈塔之間的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗B〖解析〗，，，，則，即，.故選：B.8.已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，，，則球的體積是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗將三棱錐放入長方體中，設(shè)長方體的長寬高分別為，如圖所示：則，故，球的半徑，故體積為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.平行向量不一定是共線向量B.向量的長度與向量的長度相等C.是與非零向量共線的單位向量D.若四邊形滿足，則四邊形是矩形〖答案〗BC〖解析〗對于A中，根據(jù)共線向量的概念，可得平行向量一定是共線向量，所以A不正確；對于B中，向量與向量是相反向量，可得，所以B正確；對于C中，根據(jù)單位向量概念，向量是與非零向量同向的單位向量，也是與向量共線的單位向量，所以C正確；對于D中，四邊形滿足，則四邊形是平行四邊形，不一定是矩形，所以D正確.故選：BC.10.如圖，在直角梯形中，，與交于點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，，，，，，即，A正確；對于BC，由A知：，B正確，C錯(cuò)誤；對于D，，D正確.故選：ABD.11.若是關(guān)于的方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（）A.B.C.的共軛復(fù)數(shù)為D.關(guān)于的方程的另一個(gè)復(fù)數(shù)根為〖答案〗AB〖解析〗是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則，整理得到，故，解得，對選項(xiàng)A：，正確；對選項(xiàng)B：，正確；對選項(xiàng)C：，共軛復(fù)數(shù)為，錯(cuò)誤；對選項(xiàng)D：，解得或，錯(cuò)誤.故選：AB.12.軟木鍋墊一般用于餐廳、咖啡廳、酒店等公共飲食場所，可作廣告飾品以提高形象．杯墊透氣、無毒、無異味、防水防潮、耐油耐酸、彈性環(huán)保，具有耐沖擊、不變形、耐用等特點(diǎn)．正、反面可加置印刷公司LOGO、圖片、產(chǎn)品、廣告、聯(lián)系方式等，更接近人們的生活，較強(qiáng)的摩擦力可以防止玻璃、瓷杯滑落，亦可保護(hù)桌面不被燙壞．如圖，這是一個(gè)邊長為10厘米的正六邊形的軟木鍋墊，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.向量與向量是相等向量 B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，由圖可得向量與向量方向相同，大小相等，所以向量與向量相等向量，A正確；對于B，由圖易得向量與向量的夾角為，則，B錯(cuò)誤；如圖，因?yàn)?，，，則，C正確；因?yàn)闉檎切?，所以根?jù)平行四邊形法則得，與共線且同方向，又均為含角的直角三角形，所以，，所以，，D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．13.在邊長為6的正方形中，_________.〖答案〗〖解析〗由題意，．故〖答案〗為：．14.在中，，，分別是角，，所對的邊，，，若有兩解，請寫出一個(gè)滿足題意的的值：_______________________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，則，即，，，或，驗(yàn)證滿足，故有兩個(gè)解，滿足.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.15.如圖，在正六邊形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，則_________．〖答案〗〖解析〗設(shè)正六邊形邊長為1，則與的夾角為，故在向量上的投影向量為，所以.故〖答案〗為：.16.廣州國際金融中心大樓，簡稱“廣州IFC”，又稱“廣州西塔”，位于廣東省廣州市，為地處天河中央商務(wù)區(qū)的一棟摩天大樓，東面珠江公園，南鄰珠江和廣州塔，西近廣州大道，北望天河體育中心與白云山.小勝為測量其高度，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，在點(diǎn)處測得廣州國際金融中心大樓頂端處的仰角為，其中，，三點(diǎn)共線且與廣州國際金融中心大樓底部在同一水平高度，已知米，則廣州國際金融中心大樓的高度為______米.〖答案〗435〖解析〗如圖是塔底，顯然與垂直，，，，設(shè)，則，，，由余弦定理得，，因?yàn)?，，即，所以，即，解得．故〖答案〗為?35.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若，求的值.解：（1）由向量，，可得，且，所以與夾角的余弦值.（2）由，可得，即，解得.18.已知復(fù)數(shù).（1）若為實(shí)數(shù)，求的值；（2）若為純虛數(shù)，求的值；（3）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)