專題02 集合的基本關(guān)系（7大題型）高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

專題02集合的基本關(guān)系（7大題型）高頻考點(diǎn)題型歸納【題型1判斷兩個(gè)集合是否相等】【題型2空集的概念】【題型3子集的概念及個(gè)數(shù)】【題型4真子集的概念及個(gè)數(shù)】【題型5非空（真）子集的概念及個(gè)數(shù)】【題型6集合間的關(guān)系判斷】【題型7根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)】【題型1判斷兩個(gè)集合是否相等】【知識(shí)點(diǎn)】如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)集合B的任何一個(gè)元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等。符號(hào)表示:A＝B;圖形表示：【典例1】（2022秋?安順期末）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1} B．M＝{1，2}，N＝{2，1} C．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}【答案】B【解答】解：對(duì)AD，兩集合的元素類型不一致，則M≠N，AD錯(cuò)；對(duì)B，由集合元素的無序性可知，M＝N，B對(duì)；對(duì)C，兩集合的唯一元素不相等，則M≠N，C錯(cuò)；故選：B．【題型訓(xùn)練1】1．（2022?杭州模擬）下列各組中的M，P表示同一集合的是（）A．M＝{3，﹣1}，P＝{（3，﹣1）} B．M＝{（3，1）}，P＝{（1，3）} C．M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{t|t＝x2﹣1} D．M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{（x，y）|y＝x2﹣1}【答案】C【解答】解：A．M中有兩個(gè)元素，P中有一個(gè)元素，∴M≠P；B．有序數(shù)對(duì)（3，1）≠（1，3），∴M≠P；C．M＝{y|y≥﹣1}，P＝{t|t≥﹣1}，∴M＝P；D．M的元素是實(shí)數(shù)，P的元素是有序數(shù)對(duì)，∴M≠P．故選：C．2．（2022秋?張掖月考）下列各組集合表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）} B．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{x|x+y＝1} C．M＝{4，5}，N＝{5，4} D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}【答案】C【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A，M＝{（3，2）}中的元素為（3，2），N＝{（2，3）}中的元素為（2，3），故M≠N；對(duì)于選項(xiàng)B，M＝{（x，y）|x+y＝1}的元素為（x，y），N＝{x|x+y＝1}的元素為x，故M≠N；對(duì)于選項(xiàng)C，M＝{4，5}＝{5，4}＝N，故正確；對(duì)于選項(xiàng)D，M＝{1，2}的元素為1，2，N＝{（1，2）}的元素為（1，2），故M≠N；故選：C．3．（2022秋?沈河區(qū)校級(jí)月考）下面說法中不正確的為（）A．{x|x+y＝1}＝{y|x+y＝1} B．{（x，y）|x+y＝2}＝{x|x+y＝2 C．{x|x＞2}＝{y|y＞2} D．{1，2}＝{2，1}【答案】B【解答】解：對(duì)于A，∵{x|x+y＝1}＝R，{y|x+y＝1}＝R，∴{x|x+y＝1}＝{y|x+y＝1}，故A正確；對(duì)于B，∵集合{（x，y）|x+y＝2}的元素為有序數(shù)對(duì)，而{x|x+y＝2}的元素為實(shí)數(shù)，兩個(gè)集合的元素不同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，集合{x|x＞2}與{y|y＞2}都表示大于2的數(shù)形成的集合，∴{x|x＞2}＝{y|y＞2}，故C正確；對(duì)于D，由列舉法表示集合知{1，2}＝{2，1}，故D正確．故選：B．4.（2022春?撫州期末）下列集合與集合{2021，2022}相等的是（）A．{（2021，2022）} B．{x|（x﹣2022）（x﹣2021）＝0} C．[2021，2022] D．{（x，y）|x＝2021，y＝2022}【答案】B【解答】解：{（2021，2022）}、{（x，y）|x＝2021，y＝2022}都表示一個(gè)元素的集合，給出的集合有兩個(gè)元素，A、D不正確，[2021，2022]表示有無數(shù)個(gè)元素的集合，C也不正確，{x|（x﹣2022）（x﹣2021）＝0}＝{2021，2022}，故B符合題意，故選：B．【題型2空集的概念】【知識(shí)點(diǎn)】1．定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.2．規(guī)定：空集是任何集合的子集．【典例2】（2022秋?北京月考）下列集合表示空集的是（）A．{x∈R|x2+1＝0} B．{?} C．{0} D．0【答案】A【解答】解：對(duì)于A，∵方程x2+1＝0無實(shí)根，∴集合{x∈R|x2+1＝0}＝?，故A正確，對(duì)于B，∵集合{?}中有一個(gè)元素?，∴不是空集，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，∵集合{0}中有一個(gè)元素0，∴不是空集，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，0不是集合，故D錯(cuò)誤，故選：A．【題型訓(xùn)練2】1．（2022秋?松江區(qū)校級(jí)期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0}為空集，則a＝0．【答案】0．【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0}為空集，則a＝0．故答案為：0．2．（2022秋?河北期中）下列表述錯(cuò)誤的是（）A．??{0} B．{0，1}?{1，0} C．{π}?R D．?＝{?}【答案】D【解答】解：對(duì)于A，??{0}，故A正確；對(duì)于B，{0，1}?{1，0}，故B正確；對(duì)于C，{π}?R，故C正確；對(duì)于D，?∈{?}，故D錯(cuò)誤．故選：D．【題型3子集的概念及個(gè)數(shù)】【知識(shí)點(diǎn)】如果集合A的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A稱為集合B的子集。符號(hào)語言：若任意a∈A，均有a∈B，則A?B，圖形表示：【解題技巧】假設(shè)非空集合A中含有n個(gè)元素，則有：A的子集個(gè)數(shù)為；A的真子集的個(gè)數(shù)為；A的非空子集的個(gè)數(shù)為A的非空真子集的個(gè)數(shù)為?！镜淅?】（2023春?白云區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)集合有5個(gè)元素，這個(gè)集合的子集個(gè)數(shù)共有（）A．16 B．31 C．32 D．64【答案】C【解答】解：∵一個(gè)集合有5個(gè)元素，∴這個(gè)集合的子集個(gè)數(shù)共有：25＝32．故選：C．【題型訓(xùn)練3】1．（2023?南京二模）集合A＝{x∈N|1＜x＜4}的子集個(gè)數(shù)為（）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解答】解：∵A＝{2，3}，∴A的子集個(gè)數(shù)為22＝4．故選：B．2．（2023?廣州一模）已知集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}，則集合A的子集個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．8 D．16【答案】C【解答】解：∵集合A＝{x|x∈Z|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，∴集合A的子集個(gè)數(shù)為23＝8．故選：C．3．（2022秋?長(zhǎng)春期中）已知集合M＝{x|0≤x﹣1≤8，x∈Z}，則集合M的真子集的個(gè)數(shù)為（）A．29﹣1 B．28﹣1 C．25 D．24+1【答案】A【解答】解：不等式0≤x﹣1≤8可化為1≤x≤9，集合M＝{x|0≤x﹣1≤8，x∈Z}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，所以集合M中的元素個(gè)數(shù)為9，故其真子集的個(gè)數(shù)為29﹣1個(gè)．故選：A．4．（2023春?樂亭縣校級(jí)期中）集合A＝{1，2，3，4，5，6}，則集合A的子集個(gè)數(shù)為64．【答案】64．【解答】解：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，則集合A的子集個(gè)數(shù)為：26＝64．故答案為：64．【題型4真子集的概念及個(gè)數(shù)】【知識(shí)點(diǎn)】如果集合A是B的子集，且A≠B，即B中至少有一個(gè)元素不屬于A，那么A就是B的真子集，可記作：A?B。符號(hào)語言：若任意a∈A，均有a∈B，且x∈B使x?A，則A?B?！镜淅?】（2022秋?襄城區(qū)校級(jí)期末）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的個(gè)數(shù)是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】C【解答】解：x＝0時(shí)，y＝6；x＝1時(shí)，y＝5；x＝2時(shí)，y＝2；x＝3時(shí)，y＝﹣3；∵函數(shù)y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是減函數(shù)；∴x≥3時(shí)，y＜0；∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；∴該集合的所有真子集為：?，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；∴該集合的真子集個(gè)數(shù)為7．故選：C．【題型訓(xùn)練4】1．（2022秋?陽泉期末）已知集合，則集合A真子集的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解答】解：已知集合，解得：＝{x∈Z|﹣3＜x≤0}＝{﹣2，﹣1，0}，則集合A真子集的個(gè)數(shù)為23﹣1＝7個(gè)，故選：C．2.（2023?開封三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|x＝ab，a，b∈A}，則集合B的真子集個(gè)數(shù)是（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解答】解；由題意得B＝{﹣1，0，1}，所以集合B的真子集個(gè)數(shù)為23﹣1＝7．故選：C．3.（2023?咸陽模擬）設(shè)集合A＝{x∈N*|﹣1＜x≤3}，則集合A的真子集個(gè)數(shù)是（）A．6 B．7 C．8 D．15【答案】B【解答】解：因?yàn)锳＝{x∈N*|﹣1＜x≤3}，所以A＝{1，2，3}，所以集合A的真子集個(gè)數(shù)是23﹣1＝7．故選：B．4．（2022秋?武陵區(qū)校級(jí)期中）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}，則A的真子集共有個(gè)（）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【解答】解：因?yàn)锳＝{x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜3，x∈Z}＝{0，1，2}，所以集合A的真子集個(gè)數(shù)為23﹣1＝7．故選：C．【題型5非空（真）子集的概念及個(gè)數(shù)】【典例5】（2022秋?響水縣校級(jí)月考）集合{2，4，6}的非空子集的個(gè)數(shù)是（）A．8 B．7 C．4 D．3【答案】B【解答】解：根據(jù)非空子集個(gè)數(shù)公式為2n﹣1＝23﹣1＝7．故選：B．【題型訓(xùn)練5】1.（2023?重慶模擬）數(shù)集{1，2，3，4，5}的非空真子集個(gè)數(shù)為（）A．32 B．31 C．30 D．29【答案】C【解答】解：數(shù)集{1，2，3，4，5}的非空真子集個(gè)數(shù)為25﹣2＝30．故選：C．2．（2023?泰和縣一模）已知A＝{1，2}，B＝{1，2，6，7，8}，且A?C?B，滿足這樣的集合C的個(gè)數(shù)（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解答】∵A?C?B，∴1∈C，2∈C，又∵c?B，除了1，2外，余下的元素構(gòu)成的集合為{6，7，8}的非空子集，故滿足條件的集合C的個(gè)數(shù)為23﹣1＝7，故選：B．【題型6集合間的關(guān)系判斷】【典例6】（2022秋?葫蘆島期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，則（）A．A∈B B．A?B C．A＝B D．B?A【答案】D【解答】解：由集合A＝{x|﹣1＜x＜6]，B＝{x|2＜x＜3}，選項(xiàng)A．A，B兩個(gè)數(shù)集之間應(yīng)是包含關(guān)系不能用屬于關(guān)系，故不正確．由條件可得B?A，A?B，且A≠B，所以選項(xiàng)B，C錯(cuò)誤，選項(xiàng)D正確．故選：D．【題型訓(xùn)練6】1．（2022秋?阜南縣校級(jí)月考）已知集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＜4}，則下列說法正確的是（）A．A?B B．B?A C．A?B D．A∈B【答案】C【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x＜4}，∴A?B，故選：C．2．（2022秋?蘆淞區(qū)校級(jí)期中）設(shè)集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x＜2或x＞3}，則A與B的關(guān)系為（）A．A∈B B．B∈A C．A?B D．B?A【答案】C【解答】解：∵集合A＝{0，1}，集合B＝{x|x＜2或x＞3}，∴A?B．故選：C．3．（2023?東城區(qū)二模）已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}，B＝{0，1，2，3，4，5}，則（）A．A?B B．A＝B C．B∈A D．B?A【答案】A【解答】解：集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜5}＝{0，1，2，3，4}，B＝{0，1，2，3，4，5}，則A?B．故選：A．4．（2022秋?濱?？h期中）若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，6}，則集合A與B的關(guān)系是（）A．A＝B B．A?B C．B?A D．不確定【答案】B【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，6}，∴A?B．故選：B．5．（2022秋?秀峰區(qū)校級(jí)月考）集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，則（）A．B∈A B．A?B C．B?A D．A＝B【答案】C【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜1}，則B?A．故選：C．6．（2022秋?市南區(qū)月考）設(shè)集合M＝{x|x＝4n，n∈Z}，N＝{x|x＝2n，n∈Z}，則（）A．M?N B．N?M C．M∈N D．N∈M【答案】A【解答】解：因?yàn)榧螹＝{x|x＝4n，n∈Z}表示的元素為4的倍數(shù)，集合N＝{x|x＝2n，n∈Z}表示的元素為2的倍數(shù)，則M?N，故選：A．7.（2021·北京）已知集合，集合與的關(guān)系如圖所示，則集合可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】由圖可知：，，由選項(xiàng)可知：，故選：D.【題型7根據(jù)集合間的關(guān)系求參數(shù)】【典例7】（2022秋?長(zhǎng)壽區(qū)校級(jí)期中）已知集合A＝{1，a，a2﹣1}，B＝{0，1}，且B?A，則a＝（）A．0或﹣1 B．0或1 C．1或﹣1 D．0【答案】A【解答】解：∵B?A，∴a＝0或a2﹣1＝0，若a＝0，則集合A＝{1，0，﹣1}，符合題意，若a2﹣1＝0，則a＝±1，又元素的互異性，則a≠1，故a＝﹣1，此時(shí)集合A＝{1，﹣1，0}，符合題意，∴a＝0或﹣1，故選：A．【題型訓(xùn)練7】1.（2022秋?金溪縣校級(jí)月考）已知集合A＝{1，16，4x}，B＝{1，x2}，若B?A，則x＝（）A．0 B．﹣4 C．0或﹣4 D．0或土4【答案】C【解答】解：∵A＝{1，16，4x}，B＝{1，x2}，若B?A，則x2＝16或x2＝4x，則x＝﹣4，0，4．又當(dāng)x＝4時(shí)，4x＝16，A集合出現(xiàn)重復(fù)元素，因此x＝0或﹣4．故選：C．2．（2022秋?保定月考）已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B?A，則a的取值范圍是（）A．{a|a＞2} B．{a|a≥2} C．{a|a＜2} D．{a|a≤2}【答案】B【解答】解：因?yàn)榧螦＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，當(dāng)B?A時(shí)，則a≥2，故選：B．3．（2023?鐵嶺模擬）設(shè)，N＝{x|x＞a}，若M?N，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)＜1 B．a(chǎn)≤1 C． D．【答案】A【解答】解：∵，∵N＝{x|x＞a}，M?N，∴a＜1．故選：A．4．（2022秋?連云區(qū)校級(jí)月考）已知a為實(shí)數(shù)，A＝[1，4），B＝[a，+∞），若A?B，則a的取值范圍為（）A．（﹣∞，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）【答案】C【解答】解：因?yàn)锳＝[1，4），B＝[a，+∞），A?B，所以a≤1．故選：C．5．（2022秋?齊齊哈爾期中）已知集合A＝{x|x2+x﹣6＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合是（）A． B．{﹣2，0} C． D．【答案】A【解答】解：A＝{x|x2+x﹣6＝0}＝{2，﹣3}，①當(dāng)a＝0時(shí)，B＝{x|ax﹣1＝0}＝?，B?