第8章 整式乘法與因式分解（教師版）

2023-2024學年滬科新版數(shù)學七年級下冊章節(jié)知識講練1.掌握正整數(shù)冪的運算性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算；掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；2.會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算；4.理解因式分解的意義，并感受分解因式與整式乘法是相反方向的運算，掌握提公因式法和公式法（直接運用公式不超過兩次）這兩種分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步驟；能夠熟練地運用這些方法進行多項式的因式分解.知識點01：冪的運算【高頻考點精講】1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.冪的乘方：(為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3.積的乘方：(為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.4.同底數(shù)冪的除法：(≠0,為正整數(shù)，并且).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.6.負指數(shù)冪：(，為正整數(shù)).任何不等于0的數(shù)的－次冪，等于這個數(shù)的次冪的倒數(shù).【易錯點剖析】公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式，還可以表示多項式；靈活地雙向應用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.知識點02：整式的乘法【高頻考點精講】1.單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.2.單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).3.多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.【易錯點剖析】運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質(zhì)符號，單項式乘以多項式各項的結果，要用“＋”連結，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項式的乘法，能得出一個應用比較廣泛的公式：.知識點03：乘法公式【高頻考點精講】1.平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 【易錯點剖析】在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.2.完全平方公式：；兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.【易錯點剖析】公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.知識點04：因式分解【高頻考點精講】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.因式分解的方法主要有:提公因式法,公式法,分組分解法,十字相乘法,添、拆項法等.【易錯點剖析】落實好方法的綜合運用：首先提取公因式，然后考慮用公式；兩項平方或立方，三項完全或十字；四項以上想分組，分組分得要合適；幾種方法反復試，最后須是連乘式；因式分解要徹底，一次一次又一次.檢測時間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.51一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填寫在括號內(nèi)）1．（2分）（2023秋?宜陽縣期末）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3+a2＝a5 B．a(chǎn)3?a3＝2a3 C．a(chǎn)5÷a2＝a3 D．33?23＝6解：A、a3與a2不屬于同類項，不能合并，故A不符合題意；B、a3?a3＝a6，故B不符合題意；C、a5÷a2＝a3，故C符合題意；D、33?23＝27×8＝216，故D不符合題意；故選：C．2．（2分）（2023秋?崆峒區(qū)期末）通過計算比較圖1，圖2中陰影部分的面積，可以驗證的計算式子是（）A．a(chǎn)（b﹣x）＝ab﹣ax B．b（a﹣x）＝ab﹣bx C．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx D．（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2解：圖1中，陰影部分＝長（a﹣x）寬（a﹣2b）長方形面積，∴陰影部分的面積＝（a﹣x）（b﹣x），圖2中，陰影部分＝大長方形面積﹣長a寬x長方形面積﹣長b寬x長方形面積+邊長x的正方形面積，∴陰影部分的面積＝ab﹣ax﹣bx+x2，∴（a﹣x）（b﹣x）＝ab﹣ax﹣bx+x2．故選：D．3．（2分）（2023秋?如皋市期末）在下面的正方形分割方案中，可以驗證（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab的圖形是（）A． B． C． D．解：∵由選項A可得a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），∴選項A不符合題意；∵由選項B可得（a+b）2＝a2+2ab+b2，∴選項B不符合題意；∵由選項C可得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．∴選項C不符合題意；∵由選項D可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，∴選項D符合題意；故選：D．4．（2分）（2023秋?烏達區(qū)期末）將下列多項式因式分解，結果中不含有因式a+1的是（）A．a(chǎn)2﹣1 B．a(chǎn)2+a C．a(chǎn)2﹣2a+1 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1解：∵a2﹣1＝（a+1）（a﹣1），a2+a＝a（a+1），a2+a﹣2＝（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1＝（a+2﹣1）2＝（a+1）2，∴結果中不含有因式a+1的是選項C．故選：C．5．（2分）（2023秋?永春縣期末）已知a，b，c為正整數(shù)，且滿足2a×3b×4c＝384，則a+b+c的取值不可能是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：根據(jù)題意得：2a+2c?3b＝27×3，∴a+2c＝7，b＝1，∵a，b，c為正整數(shù)，∴當c＝1時，a＝5；當c＝2時，a＝3；當c＝3時，a＝1，∴a+b+c不可能為8．故選：D．6．（2分）（2023秋?武漢期末）已知x，y，z都是正整數(shù)，其中x＞y，且x2﹣xz﹣xy+yz＝23，設a＝x﹣z，則[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝（）A．3 B．69 C．3或69 D．2或46解：x2﹣xz﹣xy+yz＝23，x2﹣xz﹣xy+yz＝23，x（x﹣z）﹣y（x﹣z）＝23，（x﹣y）（x﹣z）＝23，∵x＞y，∴x﹣y＞0，∵x，y，z都是正整數(shù)，∴x﹣z＝1，x﹣y＝23或x﹣z＝23，x﹣y＝1，∴a＝x﹣z＝1或23，[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝（3a2+6a﹣a﹣2﹣5a+2）÷a＝3a2÷a＝3a，∵a＝x﹣z，∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝3a＝3（x﹣z），當x﹣z＝1時，3a＝3，當x﹣z＝23時，3a＝69，∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝3或69，故選：C．7．（2分）（2023秋?南昌期末）設a，b是實數(shù)，定義關于“*”的一種運算如下：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．則下列結論：①若a*b＝0，則a＝0或b＝0；②a*（b+c）＝a*b+a*c；③若ab≠0，a*b＝8，則；④不存在實數(shù)a，b，滿足a*b＝a2+4b2，其中正確的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④解：a*b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2＝a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2＝4ab，①∵a*b＝0，∴4ab＝0，∴a＝0或b＝0，故①正確；②∵a*（b+c）＝4a（b+c）＝4ab+4ac，a*b+a*c＝4ab+4ac，∴a*（b+c）＝a*b+a*c，故②正確；③∵ab≠0，a*b＝8，∴4ab＝8，∴ab＝2，∴÷＝?＝＝＝，故③正確；④∵a*b＝a2+4b2，∴4ab＝a2+4b2，∴a2﹣4ab+4b2＝0，∴（a﹣2b）2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b，∴當a＝2b時，滿足a*b＝a2+4b2，故④不正確；所以，上列結論，其中正確的是①②③，故選：A．8．（2分）（2023秋?平山縣期末）如圖，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么陰影部分的面積是（）A．30 B．34 C．40 D．44解：如圖，∵a﹣b＝2，ab＝26，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴a2+b2＝4+2ab＝4+52＝56，陰影部分的面積＝S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM＝2×（a﹣b）×a+2×b×b＝a（a﹣b）+b2＝a2+b2﹣ab＝56﹣26＝30．故選：A．9．（2分）（2023春?拱墅區(qū)期末）設a，b為實數(shù)，多項式（x+a）（2x+b）展開后x的一次項系數(shù)為p，多項式（2x+a）（x+b）展開后x的一次項系數(shù)為q：若p+q＝6，且p，q均為正整數(shù)，則（）A．a(chǎn)b與的最大值相等，ab與的最小值也相等 B．a(chǎn)b與的最大值相等，ab與的最小值不相等 C．a(chǎn)b與的最大值不相等，ab與的最小值相等 D．a(chǎn)b與的最大值不相等，ab與的最小值也不相等解：（x+a）（2x+b）＝2x2+bx+2ax+ab＝2x2+（b+2a）x+ab，（2x+a）（x+b）＝2x2+2bx+ax+ab＝2x2+（2b+a）x+ab，∵多項式（x+a）（2x+b）展開后x的一次項系數(shù)為p，多項式（2x+a）（x+b）展開后x的一次項系數(shù)為q，∴p＝b+2a，q＝2b+a，∵p+q＝6，且p，q均為正整數(shù)，∴b+2a+2b+a＝6，整理得：a+b＝2．又p＝b+2a，q＝2b+a，∴p＝a+2，q＝b+2．∴a＝p﹣2，b＝q﹣2．∴ab＝（p﹣2）（q﹣2）＝pq﹣2（p+q）+4＝p（6﹣p）﹣2×6+4＝﹣p2+6p﹣8＝﹣（p﹣3）2+1．∵p，q均為正整數(shù)，∴p的取值為1，2，3，4，5．∴ab的最大值為1，ab的最小值為﹣3．∵a＝p﹣2，b＝q﹣2，∴＝＝＝＝＝﹣1+（q≠2）．∵p，q均為正整數(shù)，∴q的取值為1，2，3，4，5．∴的最大值為1，的最小值為﹣3．故選項A正確，符合題意．故選：A．10．（2分）（2023春?高青縣期中）如圖所示，兩個正方形的邊長分別為a和b，如果a+b＝10，ab＝20，那么陰影部分的面積是（）A．10 B．20 C．30 D．40解：首先令直線BF與直線CD的交點為O；則S△BDO+S△EFO＝S△BDC+S?ECGF﹣S△BGF＝a?a÷2+b?b﹣（a+b）?b÷2；①S△DEF＝底EF?高DE÷2＝b?（a﹣b）÷2；②S△CGF＝底CG?高GF÷2＝b?b÷2；③∴陰影部分面積＝①+②+③＝a2÷2+b2﹣（ab+b2）÷2+（ab﹣b2）÷2+b2÷2＝{a2+2b2﹣（ab+b2）+（ab﹣b2）+b2}÷2＝（a2+b2）÷2，④由已知a+b＝10，ab＝20，構造完全平方公式：（a+b）2＝102，解得a2+b2+2ab＝100，a2+b2＝100﹣2?20，化簡＝60代入④式，得60÷2＝30，∴S陰影部分＝30．故選：C．二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分．不需寫出解答過程，請將正確答案填寫在橫線上）11．（2分）（2023秋?南昌期末）若（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，則（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝4049．解：設2024﹣A＝m，2023﹣A＝n，∴m﹣n＝2024﹣A﹣（2023﹣A）＝2024﹣A﹣2023+A＝1，∵（2024﹣A）（2023﹣A）＝2024，∴mn＝2024，∴（2024﹣A）2+（A﹣2023）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝12+2×2024＝1+4048＝4049，故答案為：4049．12．（2分）（2023秋?豐澤區(qū)期末）邊長為a的正方形ABCD與邊長為b的正方形DEFG按如圖所示的方式擺放，點A，D，G在同一直線上．已知a+b＝10，ab＝24．則圖中陰影部分的面積為14．解：由S陰影部分＝S正方形ABCD+S正方形DEFG﹣S△ABC﹣S△AFG可得，S陰影部分＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝a2+b2﹣ab＝（a2+b2﹣ab）＝[（a+b）2﹣3ab]＝×（100﹣72）＝14，故答案為：14．13．（2分）（2023秋?武隆區(qū)期末）若2m＝a，32n＝b，m，n為正整數(shù)，則23m+10n＝a3b2．解：32n＝25n＝b，則23m+10n＝23m?210n＝a3?b2＝a3b2．故答案為：a3b2．14．（2分）（2023秋?豐臺區(qū)期末）關于x的二次三項式x2+6x+m是完全平方式，則m的值為9．解：∵關于x的二次三項式x2+6x+m是完全平方式，且6x＝2?x?3，∴m＝32＝9．故答案為：9．15．（2分）（2023秋?瑤海區(qū)期末）給等式中的某些字母賦予一定的特殊值，可以解決一些問題．比如對于等式（x+3）2＝ax2+bx+c，當x＝0時，可得32＝c，計算得c＝9；請你再給x賦不同的值，可計算得4a+2b＝16．解：當x＝2時，可得（2+3）2＝a×22+b×2+c，化簡得4a+2b+c＝25，∵c＝9，∴4a+2b＝16，故答案為：16．16．（2分）（2023秋?涼州區(qū)校級期末）若（x+y+z）（x﹣y+z）＝（A+B）（A﹣B），且B＝y(tǒng)，則A＝x+z．解：∵（x+y+z）（x﹣y+z），＝（x+z+y）（x+z﹣y），＝[（x+z）+y][（x+z）﹣y]，＝（A+B）（A﹣B），∵B＝y(tǒng)，∴A＝x+z．17．（2分）（2023秋?東莞市校級期末）已知a﹣b＝4，ab＝3，則a2+b2的值為22．解：∵a﹣b＝4，ab＝3，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×3＝16+6＝22，故答案為：22．18．（2分）（2023春?寶安區(qū)校級期中）如圖，在長方形ABCD中，AB＝6，點E，F(xiàn)是邊BC，CD上的點，EC＝3，且BE＝DF＝x，分別以FC，CB為邊在長方形ABCD外側作正方形CFGH和CBMN，若長方形CBQF的面積為20，則圖中陰影部分的面積和為41．解：設CF＝a，BC＝b，由題意得，F(xiàn)C＝6﹣x，BC＝3+x，即a＝6﹣x，b＝3+x，∵長方形CBQF的面積為20，∴ab＝（6﹣x）（3+x）＝20，又∵a+b＝（6﹣x）+（x+3）＝9，∴＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝92﹣2×20＝41，∴陰影部分的面積和為41．19．（2分）（2023秋?興文縣期中）若規(guī)定符號的意義是：＝ad﹣bc，則當m2﹣2m﹣3＝0時，的值為9．解：由題意可得，＝m2（m﹣2）﹣（m﹣3）（1﹣2m）＝m3﹣7m+3，∵m2﹣2m﹣3＝0，∴m2＝2m+3，m2﹣2m＝3∴m3﹣7m+3＝m（m2）﹣7m+3＝m（2m+3）﹣7m+3＝2m2﹣4m+3＝2（m2﹣2m）+3＝2×3+3＝9，所以當m2﹣2m﹣3＝0時，的值為9．故答案為：9．20．（2分）（2022?隆昌市校級模擬）已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，則（a﹣4）2+（a﹣2）2的值為10．解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3，∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3＝4，∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10．故答案為：10．三、解答題（本大題共8小題，共60分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（6分）（2023秋?宜陽縣期末）計算：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3；（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）．解：（1）（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）﹣7y3＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3﹣7y3＝8x3﹣8y3；（2）[（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣（a+5b）2+（a﹣5b）2]÷（a2﹣2ab+b2）＝{（a﹣3b）2+（3a+b）2﹣[（a+5b）2﹣（a﹣5b）2]}÷（a﹣b）2＝（a2﹣6ab+9b2+9a2+6ab+b2﹣20ab）÷（a﹣b）2＝（10a2﹣20ab+10b2）÷（a﹣b）2＝10（a﹣b）2÷（a﹣b）2＝10．22．（6分）（2023秋?金鄉(xiāng)縣期末）在冪的運算中規(guī)定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整數(shù)），則x＝y(tǒng)．利用上面結論解答下列問題：（1）若9x＝36，求x的值；（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代數(shù)式表示n．解：（1）∵9x＝36，∴32x＝36，∴2x＝6，解得：x＝3；（2）∵3x+2﹣3x+1＝18，∴3x+1×3﹣3x+1＝18，2×3x+1＝2×32，∴x+1＝2，解得：x＝1；（3）∵m＝2x+1，n＝4x+2x，∴n＝（2x）2+2x＝2x（2x+1）＝m2x＝m（m﹣1）＝m2﹣m．23．（8分）（2023秋?龍山區(qū)期末）兩個邊長分別為a和b的正方形（a＜b＜a），如圖1所示放置，其未重合部分（陰影）的面積為S1，若在圖1的右下角再擺放一個邊長為b的小正方形（如圖2），兩個小正方形重合部分（陰影）面積為S2．（1）用含a，b的代數(shù)式分別表示S1，S2；（2）若a+b＝15，ab＝5，求S1+S2的值；（3）當S1+S2＝64時，求出圖3中陰影部分的面積S3．解：（1）由圖可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab；（2）∵S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab，∴當a+b＝15，ab＝5時，S1+S2＝225﹣3×5＝210；（3）由圖可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）＝（S1+S2），∴當S1+S2＝64時，S3＝（S1+S2）＝×64＝32．24．（8分）（2023秋?十堰期末）“以形釋數(shù)”是利用數(shù)形結合思想證明代數(shù)問題的一種體現(xiàn)，做整式的乘法運算時利用幾何直觀的方法獲取結論，在解決整式運算問題時經(jīng)常運用．例1：如圖1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；例2：由圖2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）如圖3，將幾個面積不等的小正方形與小長方形拼成一個邊長為a+b+c的正方形，從中你發(fā)現(xiàn)的結論用等式表示為（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）利用（1）中所得到的結論，解決下面的問題：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．（3）如圖4，拼成AMGN為大長方形，記長方形ABCD的面積與長方形EFGH的面積差為S．設CD＝x，若S的值與CD無關，求a與b之間的數(shù)量關系．解：（1）∵正方形面積為（a+b+c）2，小塊四邊形面積總和為a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac∴由面積相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，故答案為：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．（2）由（1）可知2ab+abc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36；∴2（ab+bc+ac）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）＝100﹣36＝64，∴．（3）由題意知，BC＝2a，DE＝3a，EH＝CF＝b，EF＝CD+CF﹣DE＝x+b﹣3a，∵S長方形ABCD﹣S長方形EFGH，∴S＝CD?BC﹣EH?EF＝x?2a﹣b?（x+b﹣3a），即S＝2ax﹣bx﹣b2+3ab＝（2a﹣b）x﹣b2+3ab，又∵S為定值，∴2a﹣b＝0，即b＝2a．25．（8分）（2023秋?錦江區(qū)校級期末）定義＝ad﹣bc，如＝1×4×﹣2×3＝﹣2．已知A＝（n為常數(shù)），B＝．（1）若B＝4，則x的值為1；（2）若A的代數(shù)式中不含x的一次項，當x＝1時，求A+B的值；（3）若A中的n滿足8×2n+1＝24時，且A＝B+2，求16x2﹣8x+9的值．解：（1）（x+1）（x+1）﹣（x﹣1）（x﹣1）＝4x，∵4x＝4，∴x＝1，故答案為：1．（2）2x（2x+1）﹣1（nx﹣1）＝4x2+2x﹣nx+1＝4x2+（2﹣n）x+1，∵代數(shù)式中不含x的一次項，∴2﹣n＝0，解得n＝2．∴A＝4x2+（2﹣2）x+1＝4x2+1，∴A+B＝4x2+1+4x，把x＝1代入，A+B＝4×12+1+4×1＝9．（3）8×2n+1＝23×2n+1＝2n+4＝24，∴n+4＝4，∴n＝0，∴A＝4x2+（2﹣n）x+1＝4x2+2x+1，∵B+2＝4x+2，∴4x2+2x+1＝4x+2，即：4x2﹣2x＝1，兩邊都乘4得到：16x2﹣8x＝4，∴16x2﹣8x+9＝4+9＝13．26．（8分）（2023秋?衡陽期末）仔細閱讀下面例題，解答問題：例題：已知二次三項式x2﹣4x+m有一個因式是（x+3），求另一個因式以及m的值．解：設另一個因式為（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）則x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x