2022年呼市一模（文科數學）試卷真題+答案解析

2022年呼和浩特市高三年級第一次質量數據監(jiān)測考試

文科數學

一、單項選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題

目要求的）.

1.（5分）已知集合4={*@<4},8={0,1,2,3,4},則458=（）

A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{0,1,2,3}

2.（5分）已知復數z滿足（3+4>z=5（l-i）,則z的虛部是（）

3.（5分）記5,為等差數列｛4｝的前〃項和.若4+生+%=3,品,=20,則｛%｝的公差為（）

4.（5分）某學校高一年級學生來自農村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)三類地區(qū)，如圖是根據其人數比例繪制的扇形統(tǒng)計圖,

由圖中的信息，得出以下3個判斷：

①該校高一學生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3:2:7；

②若已知該校來自牧區(qū)的高一學生為140人，則高一學生總人數為840人；

③若從該校高一學生中抽取120人作為樣本，調查高一學生父母的文化程度，則利用分層抽樣，從農村、

牧區(qū)、城鎮(zhèn)學生中分別抽取30、20、70人,樣本更具有代表性.

其中正確的判斷有（）

C.1個D.0個

5.（5分）下列函數是奇函數的是（

3

A.y=2x+2-xB.y=/C.y=fe（-x）D.y=x\x\

6.（5分）已知?！辏ü?乃），cos0=-----則tan（。-2）=（）

2104

A.2B.-D.-2

2

7.（5分）干支歷，又稱農歷、星辰歷、甲子歷等，是一種用60組各不相同的天干地支標記年、月、日、

時，中國所特有的古老的歷法，其中蘊含了深奧的宇宙星象密碼，具體算法如下：先用年份的尾數查出天

干，再用年份除以12的余數查出地支；如2022年由尾數2查得天干為壬，2022除以12余數為6,由余數

6查得地支為寅，所以2022年就是壬寅年.

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

4567890123

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

456789101112123

小張是2002年（壬午年）出生，他的爸爸比他大27歲，根據上面給出的對應表，可知小張爸爸出生的年

份是（）

A.乙卯年B.丙辰年C.乙丑年D.丙午年

8.（5分）橢圓二+與=l（a＞10）的左、右焦點為小F,,尸是橢圓上一點，O為坐標原點，若APO6

a"b

為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）

A.A/3-1B.夜-1C.—D.—

23

9.（5分）攢尖是中國古代建筑中屋頂的一種結構形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖.通常有圓形攢尖、三

角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分.多見于亭閣式建筑，園林建筑.如圖所示的建筑屋

頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面（過圓錐旋轉軸的截面）是底邊長為66，頂角為生的

3

等腰三角形，則該屋頂的側面積約為（）

A.64后B.6垂＞兀小C.36冗/D.12乖＞兀而

10.（5分）已知圓（x+l）2+（y+2）2=4關于直線ar+by+2=0對稱，則！+'的最小值為（）

ab

9

A.2B.4C.9D.-

2

11.（5分）已知直線4：4x+3y—6=0和直線小工=1，拋物線V=-4x上一動點P到直線4和直線4的距

離之和的最小值是（）

1137

A.2B.3C.—D.—

516

12.（5分）已知函數/（幻=|歷1）|-or+a有3個零點，則。的取值范圍是（）

A.（0,e）B.（0,1）C.（0,-）D.（0，）

ee'

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案填在答題卡的相應位置.）

13.（5分）已知平面向量1=（1,2）,6=（T,4）,若（々―則/=.

3x-y,,0

14.（5分）若實數x,y滿足約束條件卜+y..O,貝Iz=x+2y的最大值為一.

x-y+2..0

15.（5分）已知數列｛/｝滿足V％+1=3",4=1,則｛%｝的前10項和為.

16.（5分）如圖，在棱長為1的正方體A8CD-A4GA中，點石、F、G分別為棱Be、CC,,的

中點，P是底面438上的一點，若AP//平面GEF,則下面的4個判斷

①點P的軌跡是一段長度為0的線段；

②線段4P的最小值為更；

2

③AP-LAG；

④AP與8c一定異面.

其中正確判斷的序號為—.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(12分)科學數據證明，當前嚴重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化，主要是工業(yè)革命以來人類活動造成

的二氧化碳排放所致.應對氣候變化的關鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現“碳達峰”，而后實現“碳

中和”.2020年第七十五屆聯合國大會上，我國向世界鄭重承諾：力爭在2030年前實現“碳達峰”，努力爭

取在2060年前實現“碳中和”.為了解市民對“碳達峰”和“碳中和”的知曉程度，某機構隨機選取了100

名市民進行問卷調查，他們年齡的分布頻數及對“碳達峰”和“碳中和”的知曉人數如下表：

年齡(單位：歲)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

頻數102030201010

知曉人數1020251942

(I)若以“年齡45歲”為分界點，根據以上數據完成下面2x2列聯表，并判斷是否在犯錯誤的概率不超

過0.001的前提下認為知曉“碳達峰”和“碳中和”與人的年齡有關.

年齡不低于45歲的人數年齡低于45歲的人數合計

知曉

不知曉

合計

(II)若從年齡在［25,35)和［55,65)的知曉人中按照分層抽樣的方法抽取6人，并從這6人中任意選取2人

擔任“碳達峰'和“碳中和”講解員，求2人年齡都在［25,35)的概率.

參考公式：K2=---------"3/一尻、『-------,其中〃=a+"c+".

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數據:

0.100.050.0250.0100.0050.001

Pg.k。)

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（12分）在AABC中，角A、B、C對應的邊分別為°、b、c,且色=之，cosB=-.

b49

（I）求證：AABC為等腰三角形；

（II）從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為已知，求4C邊上的高/?.

條件①：AABC的面積為8逐：

條件②：AA8C的周長為20.

19.（12分）如圖，四棱錐尸一河8中，X4_L平面4?CE>,AB//CD,PA=AB=2CD=2,ZAZX7=9O°,

E、F分別為PB、AB的中點.

（I）求證：CE//平面F4￡>；

（ID求點B到平面PCF的距離.

20.(12分)已知動點。到直線x=-2的距離比到定點(1,0)的距離大1.

(I)寫出動點Q的軌跡C的方程；

(II)設x=+1為過(1,0)作曲線C的任一條弦AB所在直線方程，弦A3的中點為。，過。點作直線DP

與直線x=-l交于點P,與x軸交于點A7,且使得IPAHP8I，\PD\^AB\,求"WF的正弦值(其中F為

定點。,0)).

21.(12分)已知函數/*)=y3—5(a+l*+ox.

(I)討論函數f(x)的單調性；

(II)當時，若/(x)在區(qū)間［O,a+1］上的最大值為M,最小值為m,求證：M-m>-.

(-)選考題：共10分.請考生在第22'23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

x=2+3coscr

22"選修4-4：坐標系與參數方程］(10分)在平面直角坐標系中，曲線q的參數方程為，l（二

y=2v3+3sina

為參數)，曲線C2的直角坐標方程為y=曲線G與曲線C?相交于A、3兩點.以坐標原點為極點,

x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.

(1)寫出曲線和曲線C2的極坐標方程；

(2)已知點用的極坐標為(4,5)，求AA5M的面積.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)已知函數f(%)=|2，-工|+|2x+〃-l|

(1)當。=1時，解不等式：/(x)?3；

(2)若不等式/(“)-14-1|..0對任意實數%恒成立，求實數。的取值范圍.

2022年內蒙古呼和浩特市高三年級第一次質量數據監(jiān)測考試

文科數學

參考答案及評分標準

【選擇題&填空題答案速查】

題號12345678910111213141516

答案DBCADAAABDAC37484①③

選擇題選項分布5個A2個B2個C3個D

一、單項選擇題（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題

目要求的.）

1.（5分）已知集合4={劃太<4},B={0,1,2,3,4},則An3=（）

A.{0,1,2}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{0,1,2,3}

【儂?析】集合A={x|x<4},B={0,1,2,3,4},/.405=（0,1,2,3}.故選:D.

【評注】本題考查集合的運算，考查交集定義、不等式性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

2.（5分）己知復數z滿足（3+4i）?z=5（l-i）,則z的虛部是（）

71.7.

A.B.C.-iD.

5555

5(1-0(3-40177

【解析】(3+40-z=5(1-0,z==------/,故z的虛部是一」.故選：B.

3+4/(3+4z)(3-4z)555

【評注】本題考查了復數虛部的概念，以及復數代數形式的乘除法運算，需要學生熟練掌握公式，屬于基

礎題.

3.（5分）記S“為等差數列伍“}的前”項和.若4+%+4=3,$=20,則{%}的公差為（）

A.-B.-C.-D.-

7473

10x9

【解析】設{4}的公差為d,?.?4+%+名=3,1=20,.?.34+3d=3,10a+-^-—rf=20,

2

解得4=三5，d=?~,故選：C.

77

【評注】本題考查了等差數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

4.（5分）某學校高一年級學生來自農村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)三類地區(qū)，如圖是根據其人數比例繪制的扇形統(tǒng)計圖,

由圖中的信息、，得出以下3個判斷：

①該校高一學生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3:2:7；

②若已知該校來自牧區(qū)的高一學生為140人，則高一學生總人數為840人；

③若從該校高一學生中抽取120人作為樣本，調查高一學生父母的文化程度，則利用分層抽樣，從農村、

牧區(qū)、城鎮(zhèn)學生中分別抽取30、20、70人,樣本更具有代表性.

其中正確的判斷有（）

A.3個B.2個C.1個D.0個

【解析】根據扇形統(tǒng)計圖，結合圓心角分別為：90°,60°,120°,

來自農村、牧區(qū)和城鎮(zhèn)的人數之比為90:60:210=3:2:7,

對于①，該校高一學生在這三類不同地區(qū)的分布情況為3:2:7,故①正確；

對于②，設高一學生總人數為x,由該校來自牧區(qū)的高一學生為140人，

-x=}40,解得x=840,則高一學生總人數為840人，故②正確；

6

對于③，根據題意，從高一學生中抽取120人，來自農村、牧區(qū)、城鎮(zhèn)的人數分別為：

327

120x---=30人，120*----------=20人，120x-----------=70人，故③正確.故選：A.

3+2+73+2+73+2+7

【評注】本題考查命題真假的判斷，考查莖葉圖、分層抽樣等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

5.（5分）下列函數是奇函數的是（）

A.y=2*+2-*B.y=xC.y=lg(-x)D.y=x\x\

xx

【解析】/（此=2*+2一，的定義域為R,f（-x）=2+2~=f（x）f可得7=2*+2-”為偶函數,故A錯誤:

/（幻二戶的定義域為［0,+00）,則y=V為非奇非偶函數，故8錯誤：

f（x）=lg（-x）的定義域為（YO,0）,則y=lg（-x）為非奇非偶函數，故。錯誤；

y二x|x|的定義域為R,/（-%）=-x|x|=-/（%）,/（九）為奇函數，故。正確.故選：D.

【評注】本題考查函數的奇偶性的判斷，考查運算能力和推理能力，屬于基礎題.

6.（5分）已知兀），cos0=-1^,則tan（。一?）=（）

A.2B.-C.--D.-2

【解析】由（二，乃），cos0=,可得sin8=,tan_sin^_

【評注】本題考查兩角差的正切公式和同角的基本關系式，考查轉化思想和運算能力，屬于基礎題.

7.（5分）干支歷，又稱農歷、星辰歷、甲子歷等，是一種用60組各不相同的天干地支標記年、月、日、

時，中國所特有的古老的歷法，其中蘊含了深奧的宇宙星象密碼，具體算法如下：先用年份的尾數查出天

干，再用年份除以12的余數查出地支；如2022年由尾數2查得天干為壬，2022除以12余數為6,由余數

6查得地支為寅，所以2022年就是壬寅年.

天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸

4567890123

地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

456789101112123

小張是2002年（壬午年）出生，他的爸爸比他大27歲，根據上面給出的對應表，可知小張爸爸出生的年

份是（）

A.乙卯年B.丙辰年C.乙丑年D.丙午年

【附析】小張爸爸出生年份是從2002往前推27年，即2002-27=1975年，尾數是5,.?.天干為“乙”，

1975+12=164…7,由余數7可得地支為“卯”，，小張爸爸出生的年份是“乙卯”年.故選：A.

【評注】本題考查小張爸爸出生的年份的判斷，考查簡單的合情推理等基礎知識，考查運算求解能力，是

基礎題.

8.（5分）橢圓鳥+耳=1（。＞人＞0）的左、右焦點為尸「F,,P是橢圓上一點，O為坐標原點，若"OF,

ab，

為等邊三角形，則橢圓的離心率為（）

A.73-1B.A/2-1C.—D.—

23

【評析】連接尸耳，由APOg為等邊三角形可知在△大2心中，ZFtPF2=90°,\PF2|=C,|PFt|=,于

是2a=|P￡|+|PE|=（石+l）c,故橢圓的離心率e=￡=e-1.故選：A.

a

【評注】本題考查了橢圓的簡單性質以及橢圓的定義的應用，屬中檔題.

9.（5分）攢尖是中國古代建筑中屋頂的一種結構形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖.通常有圓形攢尖、三

角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分.多見于亭閣式建筑，園林建筑.如圖所示的建筑屋

頂是圓形攢尖，可近似看作一個圓錐，已知其軸截面（過圓錐旋轉軸的截面）是底邊長為6帆，頂角為生的

3

等腰三角形，則該屋頂的側面積約為（）

A.6兀府B.66冗府C.30?！?D.12xfi7nrr

由越意，底面半徑尸=3/%，母線/=----=2\/3m,側面積S=7T“=;rx3x2\/5=6\/^7r.故選：B.

.幾

sin—

3

【評注】本題考查圓錐的側面積的求法，考查圓錐的性質、側面積公式等基礎知識，考查運算求解能力，

是基礎題.

17

10.(5分)已知圓(x+l)2+(y+2)2=4關于直線ox+b)，+2=0對稱，則上+4的最小值為()

ab

9

A.2B.4C.9D.

2

【答析】依題意圓心(一1,一2)在直線/:以+外+2=0上，,\-a-2b+2=0f:.a+2b=2,

12A2、/“,I2b2a八J2b2〃、1<八9

(_+_)(fl+2Z,),=_(1+_+_+4)...-(5+2^-.-)=-x(5+4)=->

ab

1oo

當且僅當.=。時，上+*有最小值故選：D.

ab2

【評注】本題考查了直線與圓的位置關系，基本不等式的應用，屬基礎題.

11.(5分)己知直線4：4x+3y-6=0和直線4：x=l,拋物線V=-4x上一動點尸到直線《和直線［的距

離之和的最小值是()

1137

A.2B.3C.—D.—

516

【然析】拋物線丁2=_41的焦點為尸(T,O),準線方程為工=1,即直線4是拋物線產=_4式的準線.

拋物線y2=-4x上一動點P到直線4和直線4的距離之和，也即是P到直線4與焦點的距離之和，

最小值為F(-l,0)到直線、：4x+3y-6=0的距離，即三回=2.故選：A.

【評注】本題主要考查拋物線的幾何性質，點到直線距離公式及其應用等知識，屬于基礎題.

12.(5分)已知函數/(x)=|比(x-l)|-or+a有3個零點，則a的取值范圍是()

A.(0,e)B.(0,1)C.(0,-)D.(0，)

ee~

【解析一】由函數/(x)=|仇a(x-l)有三個零點,可轉化為y=|比(x-l)|與直線y=a(x-1)有三個不同

的交點，令，=x-l,則將問題轉化為y=|/w|與直線y=w有三個不同的交點，顯然&0時不滿足條件.

當a>0,/>1時，加，>0,|Int|=Int,設切點坐標為((),/〃/()),由丁二/加1得了=1,所以切線斜率為,，

t%

因此，切線方程為：y-lnta=—(x-Z0),由切線過原點，得%=e,此時切線的斜率為1.

ke

故當0<a<,時，r>1,y=|/〃/1與直線v=af有兩個交點；

e

當0</<1時，y=|/〃f|與直線y=a/有一個交點，所以0<“<,故選：C.

e

【評注】本題主要考查由函數零點個數求參數的問題，熟記導數的幾何意義，根據數形結合的思想求解，

屬于中檔題.

二'填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把正確答案填在答題卡的相應位置.)

13.(5分)已知平面向量2=(1,2),5=(f,4),若(&-垃，&,則f=3.

【解析】?.■平面向量1=(1,2),b=(-t,4),(ci-b)l.d,:.(a-b)-a=a2-ci-b=5-(-t+S)=0,:.t=3,

故答案為：3.

【評注】本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量的數量積公式，兩個向量坐標形式的運算法則，屬

于基礎題.

3x-y?0

14.(5分)若實數x,y滿足約束條件卜+y..0,則z=x+2y的最大值為7.

x-y+2..0

【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

聯立=°可得A(l,3),當直線y=-‘x+，z平移到A(l,3)時z取得最大值7.故答案為：7.

[x-y+2=022

【評注】本題主要考查了線性規(guī)劃在最值求解中的應用，體現了數形結合思想的應用，屬于基礎題.

15.(5分)已知數列｛an｝滿足a?a?+l=3",at=1,則｛??｝的前10項和為484.

qlq2q3o5q6

[1由=3",a]=1得===3,%=—=3,%=—=9,a5=—=9,a6=—=27,%=—=27,

4,%生4%4

q7q8o9

as=—=81,%=—=81,aw=—=243,所以數列｛《,｝的前10項和為1+2(3+9+27+81)+243=484.

a74a9

故答案為：484.

【評注】本題考查數列遞推公式應用，考查數學運算能力，所以中檔題.

16.(5分)如圖，在棱長為1的正方體ABC。—中，點E、F、G分別為棱BQ、CQ、2G的

中點，P是底面AfiC。上的一點，若""平面GEF,則下面的4個判斷

①點P的軌跡是一段長度為叵的線段；

②線段Ap的最小值為4；

③；

④與8c一定異面.

其中正確判斷的序號為①③.

【解析】分別連接3￡),48,A.D,:.BD//BtD,,"DJ/EG,:.BD//EG,

同理AO//EF,BD[｝A,D=D,EG[｝EF=E,平面4B。//平面GEF,

?：AP//平面GEF,且P是底面ABC。上的一點，.?.點P在8。上，.?.點P的軌跡是一段長度為B￡>=0的

線段，故①正確；

當尸為8□中點時，A,P±BD,線段A/最小，最小值為《AP2=《2-([￥=乎,故②錯誤；

?.?在正方體488-A8CR中，4G平面48。，又4尸匚平面人也），..A.PIAQ,故③正確;

當p與。重合時，4/與8c平行，故④錯誤.故答案為：①③.

【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求

解能力，是中檔題.

三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明'證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生

都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.（12分）科學數據證明，當前嚴重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化，主要是工業(yè)革命以來人類活動造成

的二氧化碳排放所致.應對氣候變化的關鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現“碳達峰”，而后實現“碳

中和”.2020年第七十五屆聯合國大會上，我國向世界鄭重承諾：力爭在2030年前實現“碳達峰”，努力爭

取在2060年前實現“碳中和”.為了解市民對“碳達峰”和“碳中和”的知曉程度，某機構隨機選取了100

名市民進行問卷調查，他們年齡的分布頻數及對“碳達峰”和“碳中和”的知曉人數如下表：

年齡（單位：歲）[15,25)[25,35)[35,45)145,55)[55,65)[65,75)

頻數102030201010

知曉人數1020251942

（I）若以“年齡45歲”為分界點，根據以上數據完成下面2x2列聯表，并判斷是否在犯錯誤的概率不超

過0.001的前提下認為知曉“碳達峰”和“碳中和”與人的年齡有關.

年齡不低于45歲的人數年齡低于45歲的人數合計

知曉

不知曉

合計

（II）若從年齡在［25,35）和［55,65）的知曉人中按照分層抽樣的方法抽取6人，并從這6人中任意選取2人

擔任“碳達峰'和''碳中和”講解員，求2人年齡都在［25,35）的概率.

n(ad-he)2

參考公式：K2-其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數據:

0.100.050.0250.0100.0050.001

尸（K.4）

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

k°

【仃；（I）根據統(tǒng)計數據統(tǒng)計，年齡不低于45歲的人數的人數共有40人，其中知曉“碳達峰”和“碳中和”

的有25人，不知曉“碳達峰”和“碳中和”的有15人，

年齡低于45歲的人數的人數共有60人，其中知曉"碳達峰'‘和''碳中和''的有55人，不知曉"碳達峰''和"碳中

和”的有5人，

故2x2列聯表4口下：

年齡不低于45歲的人年齡低于45歲的人數合計

數

知曉255580

不知曉15520

合計4060100

...........................................................................................（3分）

2

K=---------型-be）--------------=100（25x5-55xj5）-=1225],因為尸（片..10.828）=0.001,且

（a+6）（c+d）（a+c）（6+d）80x20x40x6096

12.76>10.828,............................................................................（5分）

所以能夠在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為知曉“碳達峰”和“碳中和”與人的年齡有關：……（6分）

（II）法一（文科版）：由題意得，抽樣比為二^=上,

20+44

.?.從年齡在［25,35）的知曉人中抽取20x」=5（人），

4

從年齡在［55,65）的知曉人中抽取4x」=l（人），...............................................（8分）

4

記年齡在在［25,35）的知曉人中抽取的5人為A,B,C,D,E,年齡在［55,65）中的知曉人中抽取的1

人為了,則從這6人中任意選取2人的方法有AB,AC,AD,AE,Af,BC,BD,BE,Bf,CD,

CE,Cf,DE,Df,Ef,共15種，.......................................................（10分）

記“2人中年齡都在［25,35）中”為事件〃，則用包含AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,

ino

DE,共10種，則P（M）=*=W........................................................（12分）

153

【注：此題學生若用其他方法解答，可依據情況酌情給分】

法二（理科版）：年齡在［25,35）中的知曉人有20人，在的［55,65）中知曉人有4人，

所以分層抽到的年齡在［25,35）中的知曉人有6*—再一=5（人）,................................（8分）

20+4

4

分層抽到的年齡在［55,65）中的知曉人有6x=一=l（人），....................................（10分）

20+4

r2in2

并從這6人中任意選取2人擔任“碳達峰”和“碳中和”講解員,2人年齡都在［25,35）的概率為P=冷=一

3

...................................................................................................................................................................................（12分）

【評注】本題考查了獨立性檢驗的應用，屬于中檔題.

18.（12分）在AABC中，角A、B、。對應的邊分別為a、b、c,且色=之，cosB=-.

b49

（1）求證：AABC為等腰三角形；

（2）從條件①、條件②這兩個條件中任選一個作為己知，求AC邊上的高〃.

條件①：AA3C的面積為8逐;

條件②：AABC的周長為20.

【第析】法—：（1）證明：由cos3=J,可得sinB=勺叵，..................................（1分）

99

在A4BC中，由可得=且avZ?,............................................................................................（2分）

b4sin34

則sinA=@，cosA=—f...................................................................................................................................（3分）

33

又sinC=sin（A+B）=sinAcos8+8sAsinB=5x3+§x丁=..........................（4分）

/.sinC=sinA,則C=A或A+C=;r（舍），故A/WC為等腰三甭形...........................（6分）

（2）解：選擇條件①：由cos3=4，可得sin8=逑，......................................（7分）

99

???AABC的面積為8石，且〃=c,，則,X史5/=86,解得0=6,c=6,........................................（10分）

29

/.AC邊上的高h=csinA=6x叵=2#........................................................................................................（12分）

3

選擇條件②：A45C的周長為20,由A48C為等腰三角形，得cosA=2,則2=2,........................（8分）

32c3

又「2c+/?=20,/.c=6,。=8,...................................................................................................................（10分）

?（12分）

【注：此題學生若用其他方法解答，可依據情況酌情給分】

法二：（1）證明：由幺=3,可設〃=3僅，b=4m,......................................................................................（1分）

b4

IA-rtirX.r*"2+<?2—b~1rt9m2+C2—1677121/C八、

由余弦定理知，cosB=---------------=-,即--------------=一，...............................（2分）

2ac92-3/n?c9

2

化簡整理得，3c-2mc-2\nr=Of即（3c+7m）（c—36）=0,...............................................................（4分）

所以c=3/n=a,故AABC為等腰三角形.......................................................（6分）

（2）解：選擇條件①：由（1）,知a=c=3〃?，b=4m,

過點3作8￡>_LAC于。，則AD=1b=2〃2,.........................................................................................（8分）

2

所以8。二1。2一4。2=舊m,所以A48C的面積5=l8。?4。二」?底2?4機=8后，解得m=2,…（10分）

22

所以AC邊上的高h=BD=2布.........................................................................................................（12分）

選擇條件②：由（1）,知〃=c=3m,b=4〃?,

因為AABC的周長為20,所以a+b+c=10『=20,即帆=2,...........................................................（8分）

因為cosB=—,所以sin8=Jl-cos?B,......................................................................................（9分）

99

所以^4^。的面積5=,a0113=,力4。，即6X6'逑=力-8,.......................................................（10分）

229

所以AC邊上的高〃=應>=2?........