對稱性及常微分方程的精確解_第1頁
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對稱性及常微分方程的精確解1根據(jù)對稱性求解一階常微分方程如何求解一階常微分方程（1）的精確解？看起來有些困難。但是，仔細觀察，不難發(fā)現(xiàn)方程具有如下對稱性也就是說對因變量和自變量作這樣的變換，微分方程仍然不變我們看如何通過變換變量求解這個方程？將變換寫為（2）可以看出，變換就是參數(shù)從0改變的結(jié)果，可以認為是對從0平移到造成的?？梢匀我飧淖儾挥绊戇@個對稱性，我們稱方程（1）具有單參數(shù)平移變換不變性。你可能有點不耐煩，“那有怎么樣，我要的是方程的精確解！”稍安勿躁，這包含變換變量的技巧！如果我將因變量和自變量變?yōu)橛謺鯓?？可以預(yù)見，方程（1）會變成的形式。這樣就可以求解了！為什么？我們看在變換（2）時是不變的，而在變換（2）時有，一般方程（1）會變?yōu)椋?）的形式，但是別忘了方程（1）具有變換（2）不變性，同樣地方程（3）也具有變換（2）不變性。由于和在變換（2）中不變，在變換（2）時方程（3）變?yōu)橐虼松鲜龇匠讨荒懿辉亠@含t?；卮鹜戤叀Ｎ覀兛匆豢瘁槍Ψ匠蹋?）具體的表達式果然改變變量后不顯含。于是這樣就求出方程的精確解。真得感謝對稱性。是啊，對稱性是個好東西！2尋找微分方程的對稱不變解微分方程有沒有滿足對稱性(2)的解？有的，當時就具有（2）所示對稱性。事先求解方程能否得到它？可以的?？醋儞Q（2）滿足的微分方程，如果將（2）看成包含參數(shù)的隱函數(shù)（不改變），我們知道方程（1）的對稱解也滿足這個方程，因此，對稱解同時滿足兩個微分方程消去，得到，即，即。3.一般情況作新因變量，和新自變量，原來微分方程

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