2019-2020學(xué)年人教A版重慶市北碚區(qū)高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷 含解析

2019-2020學(xué)年高一第一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題

1.下列五個(gè)寫法：①{0}e{l,2,3)；②。{0}；③{0,1,2}c{1,2.0}；④OG0；

⑤on。=。，其中錯(cuò)誤寫法的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2.設(shè)函數(shù)f(x)=logz(3xT),則使得2f(x)>/(矛+2)成立的x的取值范圍是()

54

A.(--,+8)B.(―,+8)

OO

141

C.(-°°,--)U(—,+°°)D.(--,+8)

ooo

3.等比數(shù)列｛a｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且續(xù)為+&<37=18,則Iog34+log3<32+…+log3a10=()

A.12B.8C.10D.2+log35

4.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+等)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.f(x)的一個(gè)周期為-2n

B.y=f(^)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

o

C.r(x+n)的一個(gè)零點(diǎn)為

6

D.f(x)在“)單調(diào)遞減

5.△力歐的內(nèi)角Z,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin班sinZ(sinC-cosC)=0,a=

2,。=&，則C=()

兀兀兀兀

A.---B.——C.—-D.-T-

12643

兀9兀

6.已知sin(―+Q)==，則cos(--Q)的值等于()

434

A口c疾

22n,V5

333~3

7.已知向量正=(2cos?x,"W),門=(1,sin2x),設(shè)函數(shù)=則下列關(guān)于函

數(shù)p=F(x)的性質(zhì)的描述正確的是()

1T

A.關(guān)于直線xqq對(duì)稱

B.關(guān)于點(diǎn)(需，0)對(duì)稱

C.周期為2n

D.y=f(x)在(―，0)上是增函數(shù)

o

TU7TTU

8.函數(shù)F(x)=sin-7—xcos-7—x-在區(qū)間［-1,a］上至少取得2個(gè)最大值，

666

則正整數(shù)己的最小值是()

A.7B.9C.11D.12

9.設(shè)過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=6和過定點(diǎn)夕的直線mx-y-研3=0交于點(diǎn)PQx,y),

貝II必|+|期|的取值范圍是()

A.［遙，2旄］B.：V10.2&］C.［-/10.4遙］D.［2旄，4遍］

10.設(shè)。為△48C的外心，0A+QB+0C=0M>則〃是△/a1的()

A.重心(三條中線交點(diǎn))

B.內(nèi)心(三條角平分線交點(diǎn))

C.垂心(三條高線交點(diǎn))

D.外心(三邊中垂線交點(diǎn))

11.給出下列命題：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；

③不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所對(duì)半徑的大小無關(guān)；

④若sina=sinB,則a與B的終邊相同；

⑤若cos6<0,則。是第二或第三象限的角.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

12.已知/"(x)—sinxcosx+yf2cos2x-將f(x)的圖象向右平移三■個(gè)單位，再向上

26

平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有g(shù)(a-x)=g(a+x)成

7T

立，則g(a+7-)=()

二、填空題

13.已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xG(-8,o)時(shí)，fQx)=^x+x,則f

(2)

14.已知向量之=(m,1),b=(4-/2,2),加>0,n>0,若之〃石，則工m的最小值.

mn

15.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量"51，0B，羽的模分別為1,1,我，水與灰的夾角為

a,且tana=7,根與灰的夾角為45°.若無="水A^R),貝1J加〃=.

16.將函數(shù)f(x)=J5cos(2xi2-)-1的圖象向左平移二廠個(gè)單位長度，再向上平移1

OO

個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)具有性質(zhì).(填入所有正

確性質(zhì)的序號(hào))

①最大值為遮，圖象關(guān)于直線對(duì)稱；

②圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

③最小正周期為兀；

④圖象關(guān)于點(diǎn)(二［，0)對(duì)稱；

4

⑤在(0,-T-)上單調(diào)遞減.

O

三、解答題

17.已知函數(shù)f(x)=①

x+1

(I)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上的單調(diào)性，并用定義證明其結(jié)論；

(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［2,9］上的最大值與最小值.

18.命題P：函數(shù)y=/g(-x2+4ax-3a2)(a>0)有意義，命題0：實(shí)數(shù)x滿足”;<0.

x-2

(1)當(dāng)a=l且p/\g為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)若「。是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

19.已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+Q)(A〉0,3>0,|。|《)的部分圖象如圖所示.

(1)求f(x)的解析式；

(2)求/■(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心坐標(biāo)；

(3)將f(x)的圖象向左平移各個(gè)單位，再講橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

6

最后將圖象向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)小的圖象，求函數(shù)尸爪X)在送[。，哈]

上的最大值和最小值.

22

20.已知橢圓與+J=l(a>6>0)的左右焦點(diǎn)分別為￡、&左頂點(diǎn)為4若出知=2,

橢圓的離心率為e=*

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(II)若尸是橢圓上的任意一點(diǎn)，求正二?包的取值范圍.

x=cosa,

21.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為《L(a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)

=

tyV3sind.

為極點(diǎn)，以X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為

7T

Psin(6—^~)=2V2-

(1)寫出G的普通方程和G的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在G上，點(diǎn)0在G上，求|河|的最小值及此時(shí)戶的直角坐標(biāo).

22.已知函數(shù)/'(￡)=/sin(少或+巾)，xGR(其中/>0,?>0,0<i<等)的圖象與

x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為三，且圖象上一個(gè)最高點(diǎn)為〃(3，3).

2b

(1)求f(x)的解析式；

(2)先把函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移二個(gè)單位長度，然后再把所得圖象上各點(diǎn)的橫

6

坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，試寫出函數(shù)y=g

(x)的解析式.

JTOTT

(3)在(2)的條件下，若總存在照￡[-二廠，-],使得不等式g(xo)+2Wlog3〃成

立，求實(shí)數(shù)7的最小值.

參考答案

一、選擇題

1.下列五個(gè)寫法：①{0}e{l,2,3)；②。{0}；③{0,1,2}U{1,2,0)；④0G。；

⑤on。=。，其中錯(cuò)誤寫法的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【分析】據(jù)“e”于元素與集合；“n”用于集合與集合間；判斷出①⑤錯(cuò)，。是不含

任何元素的集合且是任意集合的子集判斷出②④

的對(duì)錯(cuò)；據(jù)集合元素的三要素判斷出③對(duì)

解：對(duì)于①，“e”是用于元素與集合的關(guān)系故①錯(cuò)

對(duì)于②，。是任意集合的子集，故②對(duì)

對(duì)于③，集合中元素的三要素有確定性、互異性、無序性故③對(duì)

對(duì)于④，因?yàn)椤Ｊ遣缓魏卧氐募瞎盛苠e(cuò)

對(duì)于⑤，因?yàn)閚是用于集合與集合的關(guān)系的，故⑤錯(cuò)

故選：c.

2.設(shè)函數(shù)/'(x)=log2(3^-1),則使得2f(x)>f(x+2)成立的x的取值范圍是()

54

A.(--,+8)B.(―,+8)

OO

141

C.(-°°,--)U(―?+°°)D.(--,+8)

ooO

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算可將原不等式化為(3x-l)2〉3X+5,且3X-1>0,解得答案.

解：二?函數(shù)F(x)=log2(3x-1),

則不等式(x)>f(JT+2)可化為：21og2(3JT-1)>log2(3x+5),

即(3x-1)2>3X+5,且3X-1>0,

4

解得：x>可，

o

4

即使得2F(x)>F(x+2)成立的x的取值范圍是(件，+8),

o

故選：B.

3.等比數(shù)列{a}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且為a+&&=18,則Iog3劭+log3/+…+log3aio=()

A.12B.8C.10D.2+log35

【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質(zhì)，分析可得&e=9,對(duì)數(shù)性質(zhì)可知Iog34+log34十…

+Iog3&0=51og3a&,進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論.

解:根據(jù)題意，等比數(shù)列｛a｝中,&a+a4a7=18,

則有"QASI~~18,

則a4a7=9,

?二log3dl+log3a2+???+log3dlO

=Iog3&aio+Iog3a2邀+Iog3a338+log3a&+log3a5注

=5log3a4a7

=10,

故選：c.

4.設(shè)函數(shù)F（x）=cos（￡+《-）,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.f（x）的一個(gè)周期為-2n

B.y=f（^）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱

o

C.r（x+n）的一個(gè)零點(diǎn)為x=4

6

D.f（x）在（-^-，“）單調(diào)遞減

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

解：A.函數(shù)的周期為2A兀，當(dāng)A=T時(shí)，周期丁=-2兀，故/正確,

8兀兀9兀

313=COS/cos3JI=-1為最小值,

此時(shí)p=F（x）的圖象關(guān)于直線才=―--對(duì)稱，故夕正確，

o

JI'）I'JI-JlQJI

。當(dāng)時(shí)，/＞（一7_+兀）=cos（-7一十"七7"）=cos——=0,貝!]（戶兀）的一個(gè)

66632

零點(diǎn)為故C正確,

6

D.當(dāng)二＜X＜JT時(shí)，器＜x+=〈萼，此時(shí)函數(shù)/"（X）不是單調(diào)函數(shù)，故〃錯(cuò)誤,

2boo

故選：D.

5.△/回的內(nèi)角Z,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin*sinZ（sin。-cos。）=0,a=

2,c=&,則—（）

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可

解：sio5=sin(4+。)=sin/cos仆cos/sinf,

sin班sin/(sinC-cosO=0,

sin/cosHcos/sinHsinZsin。-sin/cosC=0,

cosZsinC^sin/sinC=0,

sin存0,

cosZ=-sinZ,

tan?l=-1,

n

-V/VJi,

-3兀

T

由正弦定理可得?

sinCsinA

..「csinA

..sinC------------

a

：a=2,c=y/2,

.?.sin1乎

1

a5'

2

'：a>c,

兀

C="6

故選：B.

6.已知sin(-^7-4-Q)=g,則cos(-^7--Q)的值等于()

434

A.噲B—C.返D.+返

333~3

ITIT

【分析】直接利用二+a與丁-a互余，即可求出所求結(jié)果.

44

TTJT

解：因?yàn)?一+a與7--a互余，

44

TTTT0

所以cos(---Q.)=sin(―-+Q)=—,

443

故選:B.

7.已知向量正=(2COS2X,J5),門=(1,sin2x),設(shè)函數(shù)f(x)=m，m則下列關(guān)于函

數(shù)y=f3的性質(zhì)的描述正確的是()

JT

A.關(guān)于直線■對(duì)稱

B.關(guān)于點(diǎn)(需，0)對(duì)稱

C.周期為2n

D.y=f(x)在(義，0)上是增函數(shù)

O

【分析】利用三角恒等變換化簡/'(X)的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷.

解：f(x)=2cos2x+^/^sin2x=cos2x+^/^sin2x+l=2sin(2x+-^~)+1,

兀兀兀兀

當(dāng)入=不7時(shí)，sin(2x-+--)=sin-—7^±1,.\f(jr)不關(guān)于直線入=不彳對(duì)稱；

126312

RJT71RTT

當(dāng)7r時(shí)，2sin(2^+—)+1=1,:?f3關(guān)于點(diǎn)(3丁，1)對(duì)稱；

12012

fix)得周期7=等=兀，

當(dāng)xG(——,0)時(shí)，2JT+-—(——,二―)，「?/1(x)在在——,0)上是增函數(shù).

36263

故選：D.

TT7TTT

8.函數(shù)F(x)=sin-7-xcos-7-x-在區(qū)間［-1,句上至少取得2個(gè)最大值，

666

則正整數(shù)H的最小值是()

A.7B.9C.11D.12

【分析】化函數(shù)F(x)為正弦型函數(shù)，求出函數(shù)的最小正周期T;

根據(jù)F(x)在區(qū)間［-1,4上至少取得2個(gè)最大值，得H的取值范圍，求得女的最小值.

,__皿_兀兀L2

解：函數(shù)廣(x)=sin-r-^cos-r-Jr-y3sin-r-x

666

1.兀/3M兀、

=—sin--jr----(i-cos--JT)

2323

=sin?吟)冬

.??函數(shù)的最小正周期為7=弊=6；

又廣(x)在區(qū)間［-1,目上至少取得2個(gè)最大值，

T—

:?a-(_1)>5,

4

解得a>6.5,

?.?正整數(shù)a的最小值是7.

故選：A.

9.設(shè)山￡R,過定點(diǎn)/的動(dòng)直線x+my=O和過定點(diǎn)8的直線力x-y-研3=0交于點(diǎn)PQx,y）,

則|*|+|必|的取值范圍是（）

A.［匾，2旄］B.［5，2&］C.［^10,4代］D.［2旄，4遍］

【分析】可得直線分別過定點(diǎn)（0,0）和（1,3）且垂直，可得|心|2+|必『=10.三角

換元后，由三角函數(shù)的知識(shí)可得.

解：由題意可知，動(dòng)直線或+”=0經(jīng)過定點(diǎn)/（0,0）,

動(dòng)直線％-y-研3=0即m(x-\)-y+3=0,經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)6(1,3),

:動(dòng)直線矛+紡=0和動(dòng)直線加r-y-加3=0的斜率之積為-1,始終垂直,

戶又是兩條直線的交點(diǎn)，..?序，如，，四I/陽2=|您2=]0.

設(shè)/膠=e,貝同sin。，|/^l=V10cose,

TT

由I川川且|用NO,可得ee[0,—]

7T

\PA\+\PB\^4W(sin0+cos0)=2V^sin(0+-^-),

???2遙sin（0+?e［歷,2匹,

故選：B.

10.設(shè)。為△48C的外心，若贏+而+京=而，則〃是△/a1的（）

A.重心（三條中線交點(diǎn)）

B.內(nèi)心（三條角平分線交點(diǎn)）

C.垂心（三條高線交點(diǎn)）

D.外心（三邊中垂線交點(diǎn)）

【分析】設(shè)47的中點(diǎn)為。，根據(jù)題意可得aa/8由題中向量的等式化簡得◎吐/氏即

在月6邊的高線上.同理可證出/〃在比邊的高線上，故可得〃是三角形/比的垂心.

解：在中，。為外心，可得a=O8=OC,

,?,OA+OB+OC=OM>

?■-OA+OB=OM-OC

設(shè)股的中點(diǎn)為2,則ODVAB,CH=20D，

/.CMVAB,可得在四邊的高線上.

同理可證，在a1邊的高線上，

故〃是三角形/a'兩高線的交點(diǎn)，可得〃是三角形/6C的垂心,

故選：C.

11.給出下列命題：

①第二象限角大于第一象限角；

②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；

③不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，它們與扇形所對(duì)半徑的大小無關(guān);

④若sina=sinB,則a與B的終邊相同；

⑤若cos。＜0,則。是第二或第三象限的角.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)題意，對(duì)題目中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.

解：對(duì)于①，根據(jù)任意角的概念知，

第二象限角不一定大于第一象限角，①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，三角形的內(nèi)角ae(o,Ji),

a是第一象限角或第二象限角，或y軸正半軸角，②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，根據(jù)角的定義知，不論用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角，

它們與扇形所對(duì)半徑的大小無關(guān)，③正確；

對(duì)于④，若sina=sin8,則a與］3的終邊相同，

或關(guān)于y軸對(duì)稱，，④錯(cuò)誤；

對(duì)于⑤，若COS0V0,則。是第二或第三象限的角，

或終邊在X負(fù)半軸上，..?⑤錯(cuò)誤；

綜上，其中正確命題是③，只有1個(gè).

故選：A.

12.已知F(x)=sinxcosx+yT^cos2x--,將/1(x)的圖象向右平移-71個(gè)單位，再向上

26

平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有g(shù)(a-x)=g(a+x)成

立，則g(a+T-)=()

A.1.t^-B.1C.1-^-D.0

【分析】利用y=/sin(3矛+@)的圖象變換規(guī)律求得g(x)的解析式，再利用正弦函

TT

數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得g(a+亍)的值.

解:Vf(x)usinxcosx+^/^cos、-一sin(2戶,

22223

將f(x)的圖象向右平移3個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，

b

兀兀

得到P=g(x)=sin(2x--—+I=sin2x+1的圖象.

OO

若對(duì)任意實(shí)數(shù)或，都有g(shù)(a-x)=g(a+或)成立，貝(Ig(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

令2了=次五+二-,求得￡=1"+二，故g(x)的圖象關(guān)于直線或二絲1+3-，ACZ對(duì)

22424

稱.

可取@=十，可得g(a+()=g(全)=sinJr+1=1,

故選：B.

二、填空題

13.已知函數(shù)/'(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xG(-8,0)時(shí)，fQx)=2/+/,則廣

(2)=12.

【分析】由已知中當(dāng)XG(-8,0)時(shí)，f(x)=2/+/,先求出r(-2),進(jìn)而根據(jù)

奇函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.

解：,/當(dāng)XG(-8,0)時(shí)，f(x)=2x+x,

：.f(-2)=T2,

又...函數(shù)r(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

:.f(2)=12,

故答案為：12

14.已知向量之=(0，1),E=(4-77,2),77>0,若Z〃E，則工+2的最小值

mn

9

2'—,

【分析】由之〃總可得：廿2m=4.再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解：,/W〃E，4-77-2m—0,即加2%=4.

V/Z7>0,77>0,

（加2%）d屈）=、（10+24^）*（10+4/*典）=￡,當(dāng)且僅

mn4mn4mn4Vmn2

o

當(dāng)??=4〃=w時(shí)取等號(hào).

o

?二+且的最小值是3.

mn2.

故答案為：

15.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量水，0B，灰的模分別為1.1,、歷，水與羽的夾角為

a,且tana=7,而與羽的夾角為45°.若沃=/示+〃而（〃，〃GR），貝U研片3.

【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系./（1,0）.由贏與沃的夾角為a,且tana=7.可

17173

得cosa=，sinQ二=耳？C急,有）.可得cos（Q+45°）=管sin（a+45°）

4Q4―?—?—?

=—?方（17,—）.利用0C=〃0A+力0B（%，〃￡R）,即可得出.

DDD

解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系.A（1,0）.

由也與前的夾角為a，且tana=7.

,17

..cosa--,sina.

5加5^2

J?

cos(a+45°)=---(cosa-sinQ)=——.

25

sin(a+45°)=>(sina+cosQ).

2

：0C="0A+力OBQm,〃GR),

.W|=o4?

bbbb

7_5

解得〃1=----

44

貝Un^-n=3.

故答案為：3.

16.將函數(shù)f（x）=Wcos（2才1-弓-）-1的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移1

oo

個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）具有性質(zhì)②③④.（填入所有

正確性質(zhì)的序號(hào)）

①最大值為愿，圖象關(guān)于直線x=-J對(duì)稱;

②圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

③最小正周期為h

④圖象關(guān)于點(diǎn)（不―，0）對(duì)稱；

4

TT

⑤在（o,W）上單調(diào)遞減.

O

【分析】利用函數(shù)y=4sin（3x+?）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用

余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

解：將函數(shù)/"（X）=V3cos（2x+g）-1的圖象向左平移;個(gè)單位長度,

OO

得至Uy=Vscos[2-1=-Vlcos2x-1的圖象;

再向上平移1個(gè)單位長度，得到函數(shù)g（x）=-J5cos2x的圖象.

對(duì)于函數(shù)g（X）：

它的最大值為F，由于當(dāng)x=-?時(shí)，g（x）=4,不是最值，故g（X）的圖象不關(guān)

TF

于直線x=-二『對(duì)稱，故排除①；

由于該函數(shù)為偶函數(shù)，故它的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故②正確;

2九

它的最小正周期為JI故③正確;

2

TTJT

當(dāng)矛=丁時(shí)，g(x)=0,故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(―,0)對(duì)稱，故④正確；

44

JTOTT

在(0,-)上，2XG(0,^―),gIX)不是單調(diào)函數(shù)，故排除⑤，

Oo

故答案為：②③④.

三、解答題

17.已知函數(shù)f(x)=型?.

(I)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上的單調(diào)性，并用定義證明其結(jié)論；

(II)求函數(shù)f(X)在區(qū)間［2,9］上的最大值與最小值.

【分析】(I)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可.

(II)利用函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最值即可.

【解答】(I)解：f(X)在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).

證明如下：

任取荀，x2^［0,+8),且為〈茲，

2x?-32X2~3(2x1-3)(x2+1)(2x2-3)(x?+1)

fix'fix?)*［+1x2+l(xj+1)(x2+l)(xj+1)(x2+l)

5(xj-x2)

(Xj+1)(x2+l),

-X2<0,(JT1+1)(x2+l)>0,

二f(xi)-f(A2)<0,即/1(xi)</1(X2).

..?函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).

(II)由(1)知函數(shù)/'(X)在區(qū)間［2,9］上是增函數(shù)，

故函數(shù)f(x)在區(qū)間［2,9］上的最大值為f(9)=2：9T卷,

9+12

日?/土幺c/c、2乂2-31

取小值為f(2)—

18.命題P：函數(shù)y=/g(-*+4ax-3a2)(a>0)有意義，命題0：實(shí)數(shù)x滿足'g<0.

x-2

(1)當(dāng)a=l且為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

(2)若10是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【分析】(1)若a=l,分別求出p,。成立的等價(jià)條件，利用且pAg為真，求實(shí)數(shù)x

的取值范圍；

(2)利用「。是「°的充分不必要條件，即。是o的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

解：（1）由-*+4ax-3步>0得*-4ax+33VO,

即（彳-a）（工-3a）<0,其中a>0,

得a〈x<3a,<3>0,貝|p：aVxV3a,a>0.

若3=1,則夕：1<JT<3,

由球<0解得2cx<3.

x-2

即q-.2Vx<3.

若p/\°為真，則p,。同時(shí)為真，

l<x<3

即解得2Vx<3,

2<x<3

二實(shí)數(shù)x的取值范圍(2,3).

(2)若「0是的充分不必要條件，即。是"的充分不必要條件,

.??即(2,3)是(a,3a)的真子集.

所以13巳J解得lWaW2.實(shí)數(shù)a的取值范圍為[1,2].

la<2

19.已知函數(shù)f(x)=Asin(3x+Q)(A>0,3>0,|。|<^-)的部分圖象如圖所示.

(1)求/'(x)的解析式；

(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和對(duì)稱中心坐標(biāo)；

(3)將f(x)的圖象向左平移二個(gè)單位，再講橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變,

最后將圖象向上平移I個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)尸點(diǎn)了)在乂€[0,亨]

6

【分析】(1)由圖象可求4B,T,利用周期公式可得3^^=2，由圖象及五點(diǎn)法作

圖可求小，即可得解/"(￡)的函數(shù)解析式.

7T兀5兀一_兀

(2)令24r————^2kJi12?4￡Z,解得kx12-<x<"+"1^"，keZ,

/o

可得廣(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，令2戶《-=4兀，kRZ,可求廣(x)的對(duì)稱中心的坐標(biāo).

O

(3)由已知的圖象變換過程可得：g(x)=2sin(矛+等)，結(jié)合范圍OWxW?,

36

可求邛匕，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可計(jì)算得解?

330

【解答】(本題滿分為12分)

[A+B=l

解:(1)由圖象可知可得：/=2,B=-l,

l-A+B=-3

又由于?？傻茫篢=JI,所以3=^二=2,???

由圖象及五點(diǎn)法作圖可知：2%a+小=5，所以小

所以F(x)=2sin(2x+?-)-1.,

兀

(2)由(1)知，f(x)=2sin(2JT+--)-1,

o

JT7T7T

令2kx一一—^2JT+-+--,A￡Z,

/J/

57TTT

得A兀一71+~]^"，k^Z,

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kn-箸，An+a］，kj

,7T,pk兀兀

令2?i——k^-,A￡Z,付1x=-----,A￡Z,

32b

所以/1(X)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為(絲——-1),A6Z.?

26

OTT

(3)由已知的圖象變換過程可得：g(x)=2sin(矛+上萬一)，

O

因?yàn)閛wxw?,所以烏<x+^w斗工，…

b33b

所以當(dāng)一丫+等=萼，得或=2時(shí)，g(x)取得最小值g(2)=-2,

3266

當(dāng)了+用二=筆~,即矛=0時(shí)，g(x)取得最大值g(0)=?.…

OO

22

20.已知橢圓芻*+J=l(a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為￡、F2,左頂點(diǎn)為4若|￡"|=2,

bZ

橢圓的離心率為e=*

(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(II)若尸是橢圓上的任意一點(diǎn)，求PF/位的取值范圍.

【分析】(I)利用I￡知=2,橢圓的離心率為e=￡,求出幾何量，即可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程.

(II)利用數(shù)量積公式求出呵?PA，結(jié)合-2WxW2,即可求可?記的取值范圍.

解：(/)由題意，：㈤回=2,橢圓的離心率為6=^

c=l,3=2,

:.b=M,

22

：?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三-+工-=1…

43

(//)設(shè)尸(劉，為),貝I

'：A(-2,0),A(-1,0),

PF??PA=(-1-Xo)(-2-Xo)++3JT+5,

由橢圓方程得-2WxW2,二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸x=-6V-2

當(dāng)x=-2時(shí)，取最小值0,

當(dāng)x=2時(shí)，取最大值12.

???所-五的取值范圍是[0,12]…

x=cosa,

21.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線4的參數(shù)方程為《廠(a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)

y=V3sinO.

為極點(diǎn)，以X軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為

Psin(8-^~)=2V2-

(1)寫出G的普通方程和G的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P在G上，點(diǎn)0在G上，求|20|的最小值及此時(shí)戶的直角坐標(biāo).

【分析】(1)根據(jù)平方關(guān)系式消去a可得G的普通方程；根據(jù)互化公式可得G的直角

坐標(biāo)過程；

(2)根據(jù)G的參數(shù)方程設(shè)R根據(jù)點(diǎn)到直線的距離以及三角函數(shù)的性質(zhì)可得.

解：(1)由曲線G的參數(shù)方程《廠(Q為參數(shù))消去參數(shù)得，

y=V3sinCl

2

2.y_2pr..2c-1

x-cosa+sina-L