2021屆浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（3月份）附答案詳解

2021屆浙江省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（一）（3月份）

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分）

1.已知全集U={2,3,5,7,11,13,17,19),集合2={2,7,11},集合8={5,11,13},則(CM)。8=()

A.⑸B.{13}C.{5,13]D.[11,13)

。后知4帶繆

2.復(fù)數(shù)-----二=()

A.R-篇B.蠹c.-I一篇D.T-篇

1產(chǎn)？

，之o下當(dāng)3<

3,在約束條件\x+y<s「，33一s45時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z二=3x+2y的最大值的變化范圍是（）

Ly+2x<4

A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]

4,下列說(shuō)法不正確的是（）

A.圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形

B.球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180。所形成的曲面

C.直角梯形繞它的一腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)

D.圓柱、圓錐、圓臺(tái)中，平行于底面的截面都是圓面

5.同一直角坐標(biāo)中，函數(shù)f（x）=產(chǎn)和函數(shù)g（x）=1。g0+》（口>0且a71）的圖象可能是（）

a4

6."9=1”是“曲線y=sin。+"）關(guān)于y軸對(duì)稱”的（）

A.充要條件B.充分且不必要條件

C.必要且不充分條件D.既不充分也不必要條件

7.等差數(shù)列中（公差不為零），的,a2,以恰好成等比數(shù)，則言的值是（）

A.1B.2C.3D.4

29

8.雙曲線器—卷=1的一條漸近線方程是（）

A.3%—4y=0B.4%—3y=0C.9%—16y=0D.

9.函數(shù)，歸的定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間￡琢用，導(dǎo)函數(shù)感在施1，建內(nèi)的圖

象如圖所示，則函數(shù)翼磁在開(kāi)區(qū)間觸讖:內(nèi)有極小值點(diǎn)（）

A.：1個(gè)

B.2個(gè)

C.整個(gè)

D.4個(gè)

10.下列關(guān)系中，正確的有（）

A.0u{0}B.|eQC.Q=ZD.0e{0}

二、單空題（本大題共7小題，共36.0分）

13.如圖，△ABC中，AB=AC2,BC=2g，點(diǎn)。在BC邊上，zADC=45°,則4。的長(zhǎng)度等

于.

A

BDC

14.設(shè)直線ax-y+3=0與圓（久一iy+（y—2）2=4有兩個(gè)不同的交點(diǎn)2,B,且弦4B的長(zhǎng)為2百，

貝必等于.

15.高二（6）班4位同學(xué)從周一到周五值日，其中甲同學(xué)值日兩天，其余人各值日一天.若要求甲值

日的兩天不能相連，且乙同學(xué)不值周五，則不同的值日種數(shù)為.（用數(shù)字作答）

16,已知0<a<2，0<b<|,隨機(jī)變量X的分布列是：

X012

1

Pab

2

7

若E(X)=w，則。=；D(3X-1)=.

17.已知a>1,b>1,且;Ina,Inb成等比數(shù)列，則ab的最小值為.

44

三、解答題(本大題共5小題，共74.0分)

18.已知函數(shù)八。=2sinGXCCiSGT+2#sin2Gx-W0>。)的最小正周期為".

(1)求函數(shù)"])的單調(diào)增區(qū)間；

萬(wàn)

(2)將函數(shù)"X)的圖象向左平移原個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)了=冢用的圖象;若>=冢埴

在0句3>°)上至少含有10個(gè)零點(diǎn)，求b的最小值.

19.如圖所示，已知四棱錐P—/lBCD中，P4，平面4BCD,底面4BCD是直角梯形,4B〃CD,AB_L4D,

AB=2AD=2AP=2CD=2,E是棱PC上一點(diǎn)，且CE=2PE.

(1)求證：4E1平面PBC；

(2)求二面角4-PC-。的大小.

20.已知函數(shù)/'0)=7^,g(x)=a(久一1).

(1)當(dāng)x>1時(shí)，/(x)<g(X)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)求證：歷(2幾+1)《告三+'^+……+T-.

kJk、4xl2-l4x22-14xn2-l

21.已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)尸(2,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是2.

(1)求曲線C的方程；

(2)求曲線C上的點(diǎn)P(x,y)到直線/：x-y+3=0距離的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

22.已知函數(shù)F(%)=§+In(p%)(其中p>0).

⑴當(dāng)］<P<京時(shí)，求F(%)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)k的值；

(2)在(1)的條件下，記這些零點(diǎn)分別為修。=1,2,…,k),求證：+----1-^->2Ve.

xix2xk

參考答案及解析

1.答案：C

解析：解：；u=[2,3,5,7,11,13,17,19},A=[2,7,11],B={5,11,13},

ZUA=[3,5,13,17,19},(CM)CB={5,13].

故選：C.

進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可.

本題考查了列舉法的定義，補(bǔ)集、交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.答案：B

解析：試題分析：根據(jù)題意，由于-----=------冰——=------=,1普富，故答案為8。

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。

3.答案：D

fx>0

解析：解：由約束條件作可行域如圖,

Ix?y、o

Vy+2%<4

聯(lián)立解得：B(l，2).

當(dāng)s=3時(shí)，可行域?yàn)樗倪呅巍?BC及內(nèi)部區(qū)域，

當(dāng)直線z=3久+2y過(guò)3()時(shí),z有最大值,等于3xl+2x2=7；

當(dāng)s=5時(shí)，可行域?yàn)槿切?。及?nèi)部區(qū)域，

當(dāng)直線z=3x+2y過(guò)D(0,4)時(shí)，z有最大值，等于3x0+2x4=8.

???當(dāng)3WsW5時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y的最大值的變化范圍是[7,8].

故選：D.

由線性約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y為直線方程斜截式，得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解

的點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題.

4.答案:C

解析：解：對(duì)于4圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，正確；

對(duì)于B,球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180。所形成的曲面，正確;

對(duì)于C,直角梯形繞它的直角腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)，

繞它的非直角腰所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體不是圓臺(tái)，C錯(cuò)誤；

對(duì)于圓柱、圓錐、圓臺(tái)中，平行于底面的截面都是圓面，正確.

故選：C.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義與性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中的命題分析、判斷正誤即可.

本題考查了旋轉(zhuǎn)體的定義與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

5.答案：D

111

解析：解：由％+刁>0得］>—5,即g(%)的定義域?yàn)?一萬(wàn),+8),排除A,B,C,

故選：D.

求出函數(shù)的定義域，結(jié)合9(%)的定義域，進(jìn)行排除即可.

本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，結(jié)合函數(shù)的定義域，利用排除法是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)

題.

6.答案：B

解析：解：若丫=sin(%+R)關(guān)于y軸對(duì)稱，

則9巧+k冗,fcGZ,

故"0=鏟是“曲線y=sin。+9)關(guān)于y軸對(duì)稱”的充分不必要條件，

故選：B.

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

7.答案：D

解析：解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為dr0,

???,g，@4恰好成等比數(shù)，

(2,2=。49

???(。1+d)?=。式的+3d),

化達(dá)—d.

嘴嘴=電

故選：D.

設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為dW0,由于由，a2,。屋恰好成等比數(shù)，可得匿=即(%+d)2=。式的+

3d),解出的=d.即可得出.

本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

8.答案：A

解析:解：由雙曲線的方程可得=16,b2=9,焦點(diǎn)在x軸上,所以漸近線的方程為:y=±/=%,

CL4

即3x±4y=0,

故選：A.

直接由雙曲線的漸近線的定義可得漸近線的方程.

本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

9.答案：A

解析：試題分析：在“駐點(diǎn)”左右兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)值由正變負(fù)，此為極大值點(diǎn)，由負(fù)變正，此為極小值

點(diǎn)。觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，最左邊一個(gè)是極大值點(diǎn)，接下來(lái)是極小值點(diǎn)，非極值點(diǎn)，極大值點(diǎn)。

即函數(shù)翼礴在開(kāi)區(qū)間獺讖:內(nèi)有極小值點(diǎn)只有一個(gè)，選A。

考點(diǎn)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單題，求函數(shù)的極值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點(diǎn)，確定單調(diào)性，明確極大(極小)值”。在“駐

點(diǎn)”左右兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)值由正變負(fù)，此為極大值點(diǎn)，由負(fù)變正，此為極小值點(diǎn)。

10.答案:B

解析：解：元素與集合的關(guān)系是屬于與不屬于的關(guān)系，集合與集合的關(guān)系是子集、真子集和相等的

關(guān)系進(jìn)行判斷.

a選項(xiàng)是集合的計(jì)算，c選項(xiàng)ZUQ,。選項(xiàng)。呈｛0｝,

故選：B.

根據(jù)元素與集合，集合與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查元素與集合、集合與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

1L答案：2+上更允

2

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.

三視圖復(fù)原可知幾何體是圓錐的一半，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)，求出幾何體的表面積.

解：由題目所給三視圖可得，該幾何體為圓錐的一半，

那么該幾何體的表面積為該圓錐表面積的一半與軸截面面積的和.

又該半圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為扇形，所以側(cè)面積為工X7TX1X4=在兀，底面積為：?兀，

222

觀察三視圖可知，軸截面是腰為遮，底為為2的等腰三角形，

所以軸截面面積為稱x2x2=2,

則該幾何體的表面積為：2+二匹兀.

2

故答案為：2+上更兀.

2

12.答案:15

解析：解：令x=l可得，其展開(kāi)式中中所有項(xiàng)的系數(shù)之和2",

根據(jù)題意，有2n=64,解可得律=6,

可得其二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為圖+1=墨?（全廠，

分析可得，r=2時(shí)，有方=Cl.（專產(chǎn)=15^

故答案為15.

令x=l可得，其展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和2”,根據(jù)題意計(jì)算可得n=6,進(jìn)而可得其二項(xiàng)展開(kāi)式

的通項(xiàng)為「+1=/?《）『，分析可得，令r=2,計(jì)算可得答案.

本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，要牢記展開(kāi)式中中各項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)系數(shù)和的不同意義與各自的求

法.

13.答案：72

Ar*2iJ4+12—4E

解析:在小ABC中，由余弦定理得：cosC=+配一也=---------,==叱，NC=30。.

2AC-BC2x2x2的2

AD_2

在△ADC中由正弦定理，得：二一上=―——，.:丁=耳,故4D=.啦.

sinCsin乙42cT—

14.答案：0

解析：解：圓(%—1)2+(y-2)2=4的圓心C(l,2),半徑丁=2B

弦的中點(diǎn)為。，則|4。|=B，由圓的性質(zhì)得圓心到直線的距離d=l,

■.C到直線的距離為與署=1\/

Va2+1、/

即|a+1|=Va2+1>

平方得a?+2a+1=a2+1,

即2a=0,

解得：a=0,

故答案為：0.

先確定圓心和半徑，然后利用圓中的垂徑定理求得圓心到直線的距離，從而建立關(guān)于a的方程，即可

求得a的值.

本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，注意圓中的直角三角形的應(yīng)用，避免聯(lián)立直線與圓的方程，利用

半徑，半弦，圓心距之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

15.答案:30

解析：解：甲同學(xué)值日兩天，分其中的一天在周五時(shí)，和兩天都不在周五時(shí)兩類，

第一類，其中的一天在周五時(shí)，另一天，則需要在周一、周二、周三中任選一天，有3種，剩下的三

天任意派給其它三位同學(xué)，共有3a=18種，

第二類，兩天都不在周五時(shí)，則甲只能在周一、周三，周二、周四，周一、周四，也有3種，乙同學(xué)

不值周五，只能從周一到周四中剩下的兩天去選擇，最后排另外兩個(gè)人，共有3心?彩=12,

根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得，不同的值日種數(shù)為18+12=30.

故答案為：30.

先根據(jù)甲進(jìn)行分類，然后再分布計(jì)算，注意特殊的元素的要求.進(jìn)而由分步和分類計(jì)數(shù)原理，計(jì)算

可得答案

本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意分步討論時(shí)，優(yōu)先分析受到限制的元素，本題先分析甲，再

分析乙.

16.答案：|5

-1-1O

解析：解：0<b<l，E(X)=I，

???由隨機(jī)變量X的分布列知:

往+a+b=1

2

2

<E(X)=a+2h=|,

0<a<1

VO<<1

解得a=i,b=：,

36

???D(3X-1)=9D(X)=9x|=5.

故答案為：I，5.

利用隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望列出方程組，求出a,b,從而求出方差，進(jìn)而能求出結(jié)果.

本題考查概率、方差的求法，考查隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解

能力，是中檔題.

17.答案：e

解析：

本題考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)、變形

能力.

由題意和等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，由條件和基本不等式列出不等式，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)后求ab

的最小值.

解：???仇b成等比數(shù)列，

44

(令2=i/na-Inb,則》a-Inb=%

va>1,b>1,Ina>0,Inb>0,

??.Ina+Inb>2y1Ina-Inb=1,

當(dāng)且僅當(dāng)"a=Mb時(shí)取等號(hào)，

則ln(ab)>1=Ine,即ab>e,

???ab的最小值是e,

故答案為：e.

,萬(wàn)~,5萬(wàn),「411牙59萬(wàn)

18.答案：(i)^--<X<kir+—,keZ(2*+五=77

解析：試題分析：本題考查三角函數(shù)的倍角公式，輔助角公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，以及圖像的平

移，函數(shù)的零點(diǎn)(1)首先利用倍角公式，輔助角公式，把函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，再根據(jù)周期為萬(wàn)得。=1；

寫(xiě)出函數(shù)的增區(qū)間;(2)通過(guò)圖像的平移得出函數(shù)解析式g(*)=2sin2x+l,再令g(x)=°得出零點(diǎn)的個(gè)

數(shù)，從而求出b的最小值.

(1)由題意得：“垃=2sintuxCOSOJX+2忑sin?cox--j3

=sin2iUK-忑cos2tux=2si?2(yx-y)

由周期為萬(wàn)，得0=1,得"x)=2s以2x-*,

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：2上"->〃-了2碗+9,

整理得k”-24x4氏"+茬，氏eZ,

所以函數(shù)fO)的單調(diào)增區(qū)間是由"_.，無(wú)彳+含內(nèi)eZ

(2)將函數(shù)f⑶的圖象向左平移?個(gè)單位，再向上平移單位，得到了=2sin2x+l的圖象,

所以81)=2sin2x+l,

7萬(wàn)［［牙

令g(x)=°,得1=兀"+看或》=無(wú)"+皆(兀｛2)

所以在［°團(tuán)上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，

若，=g。)在［。,句上有I。個(gè)零點(diǎn)，則b不小于第10個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，即b的最小值為

11"59萬(wàn)

4萬(wàn)H--------------

1212

考點(diǎn)：三角函數(shù)公式，三角函數(shù)的單調(diào)性，圖像的平移，函數(shù)的零點(diǎn)

19.答案：證明：(1)???PA1平面4BCD,BCu平面4BCD,二BC1

PA,

?.?底面4BCD是直角梯形,皿/。。,48LAD,AB=2AD=2AP=

2CD=2,

???AC=BC=Vl2+l2=V2,

：.AC2+BC2=AB2,.-.ACIBC,

■.ACCiPA=A,BC1平面PAC,.-.AE1BC,

PC=vm=vs.

??,E是棱PC上一點(diǎn)，且CE=2PE,

p,V32-\/3

?n??PE=—,CE--，

33

???PA2-PE2=AC2-CE2,：.AE1PC,

BCCPC=C,AE_L平面PBC.(4分)

解：(2)設(shè)AC中點(diǎn)為0,CE中點(diǎn)為M,連D。，0M,DM,

則。M//4E,。。_L平面PAC,由(1)知AE_LPC,0M1PC,

由三垂線逆定理知DM1PC,NOMD為二面角2-PC-。的平面角,

DO=—,OM=-AE=—tan^OMD=絲=百，

226OM

.-.乙OMD=60°,

???二面角A-PC-D的大小60。,(12分)

解析：⑴先證8cl平面P2C,可得4E18C,再用勾股定理的逆定理證4E，PC,由此能證明AE，

平面PBC.

(2)設(shè)AC中點(diǎn)為。，CE中點(diǎn)為M,連D。，OM,DM,由三垂線逆定理知DM，PC,NOMD為二面角

A-PC-。的平面角，由此能求出二面角a-PC-D的大小.

本題考查線面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思

維能力的培養(yǎng).

20.答案：解：(1)???當(dāng)x>1時(shí)，/(%)<g(x)恒成立，普WaQ—1),

Inx<a(x—i),設(shè)h(X)=a(x—：)—21),則"(x)=a(l+*)—§,

??,h(l)=0,h(x)>0對(duì)%>1恒成立，???h'(l)>0,???a>-,

1__,、、

令a——%+a=0,又a>.??△=1—4a2<0,ax2—%+a>0恒成立，

???九'(%)20,???九(%)在[1,+8)上單調(diào)遞增,X^(l)=0,A/i(x)>0,

a>I；

(2)證明：由(1)可知，ln(2九+l)—ln(2/i—1)

2n+112n+12n—1

=ln(---------)<-(----------------------)

v2n-l7-2v2n-12n+V

_4n

4n2-l?

ln(2n+1)=[ln(2n+1)—ln(2n—1)]+[ln(2n—1)—ln(2n—3)]+—F(Zn3—Znl)+Ini

4n4(n—1)4

<------------1---------------------1------1----------------p0

-4n2-14(n-l)2-14-l2-1

4X1,4X2,,4n，

=-4-X-1-2;---1--1--4--X-2-;2---1--r........H---4-X--7;1—2-1

??.得證.

-1

解析：(1)/0)<0(%)等價(jià)于九(%)=-Inx>0,求導(dǎo)判斷單調(diào)性求解；(2)利用ln(2n+1)-

ln(2n—1)W1("—")，累加法即可證明.

ZZ71—1Z71+1

本題考查了導(dǎo)數(shù)中恒成立和數(shù)列放縮的內(nèi)容，難度一般，需要學(xué)生擅于觀察題目的條件，屬于中檔

題.

21.答案：解：(1)設(shè)：曲線C(x,y),C上每一點(diǎn)到點(diǎn)尸(2,0)的距離減去它至如軸距離的差都是2.

可得J(久-2尸+產(chǎn)—x=2,

化簡(jiǎn)整理可得：y2=8x.

y2

(八a=|x-y+3|=『y+3|=I(y-4)2+8|.

1J-V2-V2-8V2

??.y=4,即P(2,4)時(shí)，dmin^.

解析：Q)利用已知條件轉(zhuǎn)化求解軌跡方程即可.

(2)利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出表達(dá)式，然后求解最小值即可.

本題考查拋物線方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離的求法，考查計(jì)算能力，是中檔題.

22.答案：解：(1