2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí) 最值、范圍問題

2025屆新高考數(shù)學(xué)精準(zhǔn)突破復(fù)習(xí)最值、范圍問題圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，范圍、最值問題是常見的熱點(diǎn)題型，常以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大.考情分析思維導(dǎo)圖內(nèi)容索引典型例題熱點(diǎn)突破典例1

(2023·全國甲卷)已知直線x－2y＋1＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝.(1)求p；考點(diǎn)一圓錐曲線的最值問題設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，即2p2－p－6＝0，解得p＝2(負(fù)值舍去).由(1)知y2＝4x，所以焦點(diǎn)F(1,0)，顯然直線MN的斜率不可能為零，設(shè)直線MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，Δ＝16m2＋16n>0?m2＋n>0，所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，將y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，4m2＝n2－6n＋1，所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，設(shè)點(diǎn)F到直線MN的距離為d，所以△MFN的面積跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線l的方程為y＝k(x－1)，整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－b2)＝0，顯然，隨著k的增大，b在增大，典例2

(2023·臨汾模擬)已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：

(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是C右支上一點(diǎn)，△F1F2P的周長為18，I為△F1F2P的內(nèi)心，且滿足

＝2∶3∶4.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；考點(diǎn)二圓錐曲線的范圍問題設(shè)△PF1F2內(nèi)切圓半徑為r，所以

＝|PF2|∶|F1F2|∶|PF1|＝2∶3∶4，因?yàn)椤鱌F1F2的周長為18，所以|PF2|＝4，|PF1|＝8，|F1F2|＝6，所以2a＝|PF1|－|PF2|＝4,2c＝6，所以a2＝4，b2＝c2－a2＝9－4＝5，由題知，直線l斜率存在且不為0，可設(shè)其方程為x＝ty＋3(t≠0)，跟蹤訓(xùn)練2

由題意得，橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，雙曲線漸近線方程為bx±ay＝0，得t2>2k2－1≠0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2化簡得8k2＋t2＝1，得證.(2)若直線l與C1相交于P，Q兩點(diǎn)，求|PQ|的取值范圍.得(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0，所以Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)>0，即t2<2k2＋1，解決圓錐曲線中的最值與范圍問題，一般有兩種方法：一是幾何法，若題目的條件和結(jié)論有明顯的幾何特征，可考慮利用圓錐曲線的定義和圖象的有關(guān)性質(zhì)求解；二是代數(shù)法，先根據(jù)條件列出目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特征選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟪鲎钪祷蛑涤?求解范圍、最值問題的常見方法：(1)利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系.(2)利用已知參數(shù)的范圍，在兩個(gè)參數(shù)之間建立函數(shù)關(guān)系.(3)利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式.(4)利用基本不等式.總結(jié)提升123123依題意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)，所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，123(2)M，N是C右支上的兩動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，若k1k2＝－2，求點(diǎn)A到直線MN的距離d的取值范圍.123顯然直線MN不可能與x軸平行，故可設(shè)直線MN的方程為x＝my＋n，消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，123由k1k2＝－2，得y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，則3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，化簡可得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)，又M，N都在雙曲線的右支上，所以y1y2<0，1231232.(2023·溫州模擬)如圖，斜率為k的直線交拋物線x2＝4y于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)比點(diǎn)A的橫坐標(biāo)大4，直線y＝－kx＋1交線段AB于點(diǎn)R，交拋物線于點(diǎn)P，Q.(1)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0，求|PQ|的值；123∵A(0,0)，∴B(4,4),∴k＝1.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，123(2)求|PR|·|QR|的最大值.123設(shè)AB的方程為y＝kx＋b(k≠0)，代入x2＝4y，得x2－4kx－4b＝0，Δ＝16k2＋16b>0，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，則xAxB＝－4b，xA＋xB＝4k，設(shè)R(xR，yR)，123∴x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4,則|PR|·|QR|＝－(1＋k2)(x1－xR)(x2－xR)123123故kM′A＝kMB，故M′A∥MB，由橢圓關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，可知A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱.123(2)求直線AB與CD之間的距離的取值范圍.設(shè)直線CD的方程為y＝kx＋m，設(shè)C，