2025屆新高考數(shù)學精準突破復習 解析幾何證明性、探究性問題

2025屆新高考數(shù)學精準突破復習解析幾何證明性、探究性問題圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點內(nèi)容，證明性、探索性問題是常見的熱點題型，常以解答題的形式壓軸出現(xiàn)，難度較大.考情分析思維導圖內(nèi)容索引典型例題熱點突破典例1

(2023·新高考全國Ⅰ)在直角坐標系Oxy中，點P到x軸的距離等于點P到點

的距離，記動點P的軌跡為W.(1)求W的方程；考點一圓錐曲線的證明性問題設P(x，y)，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，則kAB·kBC＝－1，a＋b<b＋c，同理令kBC＝b＋c＝n>0，且mn＝－1，設矩形周長為C，由對稱性不妨設|m|≥|n|，方法二不妨設A，B，D在W上，且BA⊥DA，易知直線BA，DA的斜率均存在且不為0，得x2－kx＋ka－a2＝0，Δ＝k2－4(ka－a2)＝(k－2a)2>0，則k≠2a，令k2＝m，則m∈(0,1]，矩形ABCD變換為矩形A′B′C′D′，則kA′B′＝t1＋t0，kB′C′＝t2＋t0，由于A′B′⊥B′C′，則(t1＋t0)(t2＋t0)＝－1.令t2＋t0＝tanθ，則t2＝tanθ－t0，t1＝－cotθ－t0，從而由于t1<t0<t2，從而－cotθ－t0<t0<tanθ－t0，又t0≥0，跟蹤訓練1

所以雙曲線C的方程為x2－y2＝a2，因為l1與雙曲線C僅有一個公共點，所以Δ＝162－4(a2＋48)＝0，解得a2＝16，(2)設雙曲線C的左頂點為A，直線l2平行于l1，且交雙曲線C于M，N兩點，求證：△AMN的垂心在雙曲線C上.消去y得3x2＋4mx＋m2＋16＝0，如圖所示，過A引MN的垂線交C于另一點H，即AH⊥MN，連接MH，所以MH⊥AN，故H為△AMN的垂心，得證.典例2

考點二圓錐曲線的探究性問題由橢圓的定義可得△ABF2的周長為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝8，存在.由題意可知，直線n的斜率不為0，其方程可設為x＝my＋1，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則P(4，y1)，Q(4，y2)，可得(m2＋4)y2＋2my－3＝0，Δ＝4m2＋12(m2＋4)＝16(m2＋3)>0，跟蹤訓練2

(2023·日照模擬)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，E為C上的動點，EQ垂直于動直線y＝t(t<0)，垂足為Q，當△EQF為等邊三角形時，其面積為.(1)求C的方程；∴C的方程為x2＝4y.(2)設O為原點，過點E的直線l與C相切，且與橢圓

交于A，B兩點，直線OQ與AB交于點M，試問是否存在t，使得|AM|＝|BM|？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由.假設存在t，使得|AM|＝|BM|，則M為線段AB的中點，綜上，存在t，使得|AM|＝|BM|，此時t的值為－1.證明性問題主要根據(jù)直線與圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關性質(zhì)的應用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進行證明.存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定的問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在并設出，列出關于待定系數(shù)的方程(組)，若方程(組)有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.注意：當結論或條件不唯一時，要分類討論.總結提升1231.(2023·湖南師大附中模擬)如圖，橢圓C：

(a>2)，圓O：x2＋y2＝a2＋4，橢圓C的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.(1)過橢圓上一點P和原點O作直線l交圓O于M，N兩點，若|PF1|·|PF2|＝6，求|PM|·|PN|的值；123設P(x0，y0)，由于|PF1|＋|PF2|＝2a?|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，而|PF1|·|PF2|＝6，＝a2＋4－(a2－2)＝6.123(2)過圓O上任意點R引橢圓C的兩條切線，求證：兩條切線互相垂直.123設R(m，n)，則m2＋n2＝a2＋4，即n2－4＝a2－m2，設過點R的圓O的切線斜率都存在時的方程為y＝k(x－m)＋n(m2≠a2)，代入橢圓方程得整理得(4＋a2k2)x2－2ka2(km－n)x＋a2(km－n)2－4a2＝0，即(km－n)2－a2k2－4＝0?(m2－a2)k2－2mnk＋n2－4＝0，123即兩條切線的斜率都存在時，有兩條切線互相垂直；而當過R的切線斜率不存在時，易知R點的坐標為(±a，±2)，此時顯然兩條切線互相垂直，綜上，過圓O上任意點R引橢圓C的兩條切線，則兩條切線互相垂直.123123123(2)設點O(0,0)，M(0,2)，動直線l：y＝kx＋m與C的右支相交于不同兩點A，B，且∠AFM＝∠BFM，過點O作OH⊥l，H為垂足，證明：動點H在定圓上，并求該圓的方程.123由∠AFM＝∠BFM，得cos∠AFM＝cos∠BFM，123整理得(2m＋k＋3)(x1－x2)＝0，因為x1≠x2，所以2m＋k＋3＝0，123又因為OH⊥l，垂足為H，所以動點H在以ON為直徑的圓上，123123123(2)設MN與x軸交于點T，是否存在點P使得xP＝4xT(其中xP，xT分別為點P，T的橫坐標)？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.123方法一

設P(x0，t)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(－2,0)，B(2,0)，令xT＝n(－2<n<2)，則設lMN：x＝my＋n，123易得Δ>0，123若存在xP＝