四川省雅安市雅安中學(xué)等校聯(lián)考高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題（原卷版）

2024屆高三數(shù)學(xué)試題（理科）考生注意：1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2．請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上.3．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則（）A B.0 C.1 D.23.已知非零向量，滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.4.已知是三條不重合的直線，是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則且C.若，則D.若，則5.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為，，，則輸出的值為（）A. B. C. D.7.已知集合，非空集合，且中所有元素之和為奇數(shù)，則滿足條件的集合共有（）A.12個(gè) B.14個(gè) C.16個(gè) D.18個(gè)8.已知函數(shù)，若存在，使得，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C.在內(nèi)有零點(diǎn) D.若在內(nèi)有零點(diǎn)，則9.當(dāng)兩個(gè)變量呈非線性相關(guān)時(shí)，有些可以通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換進(jìn)行線性相關(guān)化，比如反比例關(guān)系，可以設(shè)一個(gè)新的變量，這樣與之間就是線性關(guān)系．下列表格中的數(shù)據(jù)可以用非線性方程進(jìn)行擬合，1234562.53.64.45.46.67.5用線性回歸的相關(guān)知識(shí)，可求得的值約為（）A2.98 B.2.88 C.2.78 D.2.6810.若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.11.我們把形如和的兩個(gè)雙曲線叫做共軛雙曲線．設(shè)共軛雙曲線，的離心率分別為，，則當(dāng)取得最大值時(shí)，（）A. B. C. D.12.當(dāng)時(shí)，恒成立，則取值范圍為（）A B.C. D.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則其表示的封閉區(qū)域的面積為_(kāi)_____．14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，且，則______．15.一個(gè)封閉的玻璃圓錐容器內(nèi)裝有部分水（如圖1），此時(shí)水面與線段交于點(diǎn)，將其倒置后（如圖2），水面與線段還是交于點(diǎn)，則______．16.在中，，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)，使得，若，則的取值范圍為_(kāi)_____．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17.已知數(shù)列滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．18.為了防止注冊(cè)賬號(hào)被他人非法登錄，某系統(tǒng)在賬號(hào)登錄前，要先輸入一個(gè)驗(yàn)證碼.當(dāng)連續(xù)3次輸入錯(cuò)誤驗(yàn)證碼時(shí)，該用戶賬號(hào)將被凍結(jié)，需本人持有效證件進(jìn)行解凍.已知該系統(tǒng)登入設(shè)置的每個(gè)驗(yàn)證碼由有序數(shù)字串a(chǎn)bcd組成，其中，某人非法登錄一個(gè)賬號(hào)，任選一組驗(yàn)證碼輸入，直到輸入正確的驗(yàn)證碼或賬號(hào)被凍結(jié)．（1）求這個(gè)人第一次輸入的驗(yàn)證碼怡有兩位正確的概率；（2）設(shè)這個(gè)人輸入驗(yàn)證碼的次數(shù)為X，求X的分布列和期望．19.如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方形.（1）證明：.（2）若，求二面角的余弦值.20.已知橢圓的離心率為，且橢圓的短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)是橢圓上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，是橢圓的左頂點(diǎn)，是橢圓的上頂點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)．記的面積為，的面積為．證明：為定值．21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若方程有兩個(gè)不相等的根，且的導(dǎo)函數(shù)為，證明：．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．［選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為