機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)習(xí)題參考答案-孫靖民-第四版機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)structuraloptimaldesign(optimumstructuraldesign)參考書：1.孫靖民：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)，機(jī)械工業(yè)出版社，20032.孫德敏：工程最優(yōu)化方法和應(yīng)用，中國科大出版社，19973.施光燕：最優(yōu)化方法，高教出版社，1999緒論內(nèi)容根本概念：結(jié)構(gòu)(structure)廣義—系統(tǒng)組成；窄義—承受載荷、維持系統(tǒng)幾何形狀不變的局部，如梁桿板殼及其組合。結(jié)構(gòu)是用來支承有效載荷的。設(shè)計(jì)(design)完成一項(xiàng)新產(chǎn)品、新工程前的方案構(gòu)思〔如大小、尺寸、形狀、材料、工藝過程等〕。數(shù)據(jù)—數(shù)字化--CAE優(yōu)化(optimization)從幾種方案中選出最好的—優(yōu)選；從設(shè)計(jì)空間中的無數(shù)種方案中用計(jì)算機(jī)選出最好的—優(yōu)化。工程中的優(yōu)化問題橋梁等強(qiáng)度梁，鐵塔飛機(jī)、航天器其他領(lǐng)域〔控制、化工〕開展史:牛頓，計(jì)算機(jī)，錢令希；MATLAB—優(yōu)化工具箱；遺傳算法MATLAB—面向工程的高級(jí)語言O(shè)ptimizationToolbox主要功能：1〕線性規(guī)劃——2〕二次規(guī)劃——概述〔入門實(shí)例〕一、舉例人字架優(yōu)化：2B=152cm,T=0.25cm,E=2.1×105Mpa,ρ=7.8×103kg/m3,2F=3×105N求：min[m(D,h)]滿足強(qiáng)度和穩(wěn)定要求解：變量D,h載荷--單桿內(nèi)力應(yīng)力臨界應(yīng)力強(qiáng)度條件穩(wěn)定條件目標(biāo)函數(shù)：解析法：不考慮穩(wěn)定條件，由強(qiáng)度條件建立D,h關(guān)系極限情況校核穩(wěn)定條件，沒問題。圖解法p6汽車減振設(shè)計(jì)變量目標(biāo)函數(shù)管理p94甲9公斤，3工時(shí)，4千瓦，600元乙41051200360公斤/天，300工時(shí)/天，200千瓦/天求解非線性方程組例方程組：二．?dāng)?shù)學(xué)模型〔mathematicalmodel〕1〕設(shè)計(jì)變量(designvariables)目標(biāo)函數(shù)(objectivefunction)約束(constrains)s.t.〔〕例：標(biāo)準(zhǔn)模型管理例s.t.(subjectto)作業(yè)：二.數(shù)學(xué)根底矢量代數(shù)，數(shù)學(xué)規(guī)劃〔一〕方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)〔directionderivative〕偏導(dǎo)數(shù)方向?qū)?shù)定義：梯度〔gradient〕單位向量結(jié)論：方向?qū)?shù)等于梯度與該方向的單位向量的點(diǎn)積。推廣：n維向量.梯度的性質(zhì)梯度是向量；函數(shù)沿梯度方向變化最大；等值線〔面〕沿等值線〔面〕的切線方向函數(shù)變化率最小〔=0〕；沿等值線〔面〕的法線函數(shù)變化率最大?！捕砊aylor級(jí)數(shù)—Taylorseries一元函數(shù)二元函數(shù)多元函數(shù)--Hess矩陣〔三〕極〔小〕值條件一元函數(shù)駐點(diǎn)，極小，極大二元函數(shù)；多元函數(shù)梯度為零；Hess矩陣正定的〔各階主子式的行列式大于零〕?！菜摹惩挂?guī)劃—convexprogramming全局最優(yōu)和局部最優(yōu)〔極值〕--globaloptimumandlocaloptimum凸集—convexset幾何解釋：圖任選，，，有線段那么A為凸集。凸集的性質(zhì)：A為凸集，α為實(shí)數(shù)，那么αA也是凸集；A、B為凸集,那么也為凸集；A、B為凸集,那么A,B的交集也是凸集。凸函數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)是凸函數(shù)的必要條件是：域內(nèi)任選，有凸性條件函數(shù)在定義域內(nèi)是凸函數(shù)的條件是Hess矩陣正定或半正定。凸規(guī)劃定義：目標(biāo)函數(shù)和約束方程都是凸函數(shù)。性質(zhì)：的區(qū)域?yàn)橥辜?；所圍成的區(qū)域是凸集。凸規(guī)劃有唯一的極小值—全局極小值。例題：--〉作業(yè)1判斷凸性2判斷凸規(guī)劃3建立數(shù)學(xué)模型一維優(yōu)化〔搜索〕方法〔一〕概述1.一維問題：多維問題優(yōu)化問題可分解為很多個(gè)一維優(yōu)化問題—沿某個(gè)方向優(yōu)化問題。非凸規(guī)劃問題的優(yōu)化方法網(wǎng)格法，縮小區(qū)間，繼續(xù)搜索。MonteCarlo方法，，隨機(jī)數(shù)。比擬各次得到的得解遺傳算法(專題)〔二〕區(qū)間消去法〔凸函數(shù)〕搜索區(qū)間確實(shí)定：高—低--高〔〕那么區(qū)間內(nèi)有極值。區(qū)間消去法原理：在區(qū)間[a,b]內(nèi)插兩個(gè)點(diǎn)a1,b1保存有極值點(diǎn)區(qū)間，消去多余區(qū)間。縮短率：〔三〕0.618法Fibonacci法—理想方法，不常用。黃金分割法〔0.618法〕原理：提高搜索效率：1〕每次只插一個(gè)值，利用一個(gè)前次的插值；2〕每次的縮短率λ相同。左右對(duì)稱。程序：p52〔四〕插值方法拋物線法原理：任意插3點(diǎn)：算得：；；要求：設(shè)函數(shù)用經(jīng)過3點(diǎn)的拋物線代替，有解線代數(shù)方程解得：程序框圖p573次曲線插值方法：；；。設(shè)：近似曲線取正號(hào)得極小值方程：解出A,B牛頓法〔導(dǎo)數(shù)〕作業(yè)：推導(dǎo)3次曲線插值法四無約束優(yōu)化方法(unconstrainedoptimizationmethods)引言必要性：存在少量無約束問題；有約束問題可以變?yōu)闊o約束問題。策略：多維問題變?yōu)槎鄠€(gè)一維問題選初始點(diǎn)搜索方向；--優(yōu)化步長〔因子〕〔二〕梯度法(gradientmethod)—最速下降法原理：取那么圖示相鄰兩個(gè)方向相互垂直算例；應(yīng)有解：；,圖p62繼續(xù)，，..，…，…經(jīng)7次迭代可接近極值點(diǎn)〔0，0〕，框圖p634.方法特點(diǎn)遠(yuǎn)離極值點(diǎn)收斂快，近那么慢；方法簡單，編程容易。坐標(biāo)變換—橢圓變圓；坐標(biāo)輪換法〔橢圓主軸與坐標(biāo)軸一致，簡單〕(三)牛頓法〔Newton—Raphson法〕一元函數(shù)極值條件解得圖解〔切線法〕多元函數(shù)極小值解得：牛頓方向：例題p64特點(diǎn)：收斂快，牛頓方向改良了梯度方向a.要求二階導(dǎo)數(shù)，矩陣求逆b.只適宜凸規(guī)劃問題方法改良和梯度法結(jié)合；阻尼牛頓法框圖p65〔四〕共軛方向法(conjugatedirectionmethod)共軛方向二次函數(shù)〔4-1〕--正定對(duì)稱，有極小值。等值線〔面〕是橢圓〔球〕。對(duì)二元二次函數(shù)一維搜索是極值點(diǎn)，其方向?qū)?shù)為0，應(yīng)與等值線相切，與梯度方向垂直。有要求找不沿梯度方向，直指，有由〔4-1〕知極值點(diǎn)上式左乘得-------加權(quán)正交稱為共軛方向。定義：對(duì)多元函數(shù)；--共軛方向〔向量〕共軛方向的性質(zhì)n維問題最多只有n個(gè)獨(dú)立的共軛向量；共軛向量是線性無關(guān)的；n維問題沿共軛向量方向搜索，最多n次到達(dá)極值點(diǎn)。Gram—Schmidt方法任意選擇一組線性無關(guān)n個(gè)n維向量系；令由得令由；得算例p68特點(diǎn)：求二階導(dǎo)數(shù)，共軛方向法不常用?！参濉彻曹椞荻确?conjugategradientmethod)相鄰兩點(diǎn)的梯度差二次函數(shù)一維搜索相鄰位移相鄰梯度左乘共軛得：結(jié)論：相鄰梯度差與共軛向量正交。共軛梯度法步驟選定，計(jì)算計(jì)算2〕找共軛方向共軛條件：得：遞推公式證明：共軛條件注意相互正交，解得得窮舉下去得遞推公式算例p73框圖p72特點(diǎn)作業(yè)：1.2.〔六〕變尺度法引言坐標(biāo)變換二次函數(shù)令為尺度變換矩陣有因?yàn)檎▽?duì)稱矩陣，存在，使得；--尺度矩陣變尺度矩陣的建立牛頓法--不用求逆得到，在迭代中逐步趨近。正定對(duì)稱；。--校正矩陣；滿足擬牛頓條件迭代公式；框圖p774.DFP(Davidon—Fletcher--Powell)算法--待定代入擬牛頓條件因?yàn)榇?，可取又因是?shù)量，可?。坏?；得例題p78BFGS法p80統(tǒng)一公式6.框圖〔八〕Powell方法共軛方向的生成二次函數(shù)從不同兩點(diǎn)沿同一方向得到兩極小點(diǎn)，那么連線方向?yàn)楣曹椃较?。因，，那么因，那么，根本算?〕二維問題坐標(biāo)輪換法沿新方向沿得沿共軛方向沿共軛方向2〕多維問題〔自做〕改良算法每輪產(chǎn)生的新沿共軛向量代替原向量中最壞的向量?？驁Dp85算例p86〔九〕單形替換法原理單〔純〕形—n+1個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的封閉圖形。二維問題設(shè)中點(diǎn)，反射點(diǎn)擴(kuò)張假設(shè)，假設(shè)，保存。保存。收縮假設(shè)，保存否那么縮邊假設(shè)，多元函數(shù)選初始單純形〔i=0,1,2,…n〕計(jì)算各頂點(diǎn)值比擬得檢查精度計(jì)算重心反射點(diǎn)不動(dòng)：擴(kuò)張假設(shè)收縮假設(shè)外縮否那么內(nèi)縮8〕縮邊框圖算例特點(diǎn)總結(jié)：無約束優(yōu)化方法只算函數(shù)值方法坐標(biāo)輪換法：小規(guī)模，收斂慢〔無耦合問題快〕；單形替換法：中小規(guī)模，收斂較快；格點(diǎn)法：非凸問題；MonteCarlo法：非凸問題。計(jì)算一階導(dǎo)數(shù)方法梯度法：中小規(guī)模，開始快；共軛梯度法：中大規(guī)模，收斂快，程序簡單；變尺度法：中大規(guī)模，收斂快；Powell方法：中大規(guī)模，收斂快。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)方法Newton方法：收斂快，計(jì)算難度大；共軛方向法：收斂快，計(jì)算難度大。五線性規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)形式例如----利潤----材料約束----工時(shí)約束----電力約束----選值約束標(biāo)準(zhǔn)化：最小，等式，選值非負(fù)。線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)模型設(shè)計(jì)變量目標(biāo)函數(shù)約束方程，非標(biāo)準(zhǔn)問題轉(zhuǎn)為標(biāo)準(zhǔn)問題1〕2〕，引入松弛變量，有3〕，引入松弛變量，有4〕非零約束，引入新變量代替它5〕可正可負(fù)，另，。圖解p96根本解—m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)，得不定解?？稍O(shè)m-n個(gè)未知數(shù)為0，得到的解稱根本解。個(gè)數(shù)為可行域—約束允許的區(qū)域。根本可行解—滿足非負(fù)要求的根本解。它是可行域的頂點(diǎn)。〔二〕根本可行解的轉(zhuǎn)換根本可行解的形成Gauss消去法轉(zhuǎn)軸運(yùn)算其中第l行，，非l行，例2不是根本可行解〔因系數(shù)是負(fù)的〕；是根本可行解，但不一定是最優(yōu)解。根本可行解的轉(zhuǎn)換已選好一組根本變量〔〕，想轉(zhuǎn)換到另一組，用代換某一個(gè)，有時(shí)才能做轉(zhuǎn)軸元素；將〔入基〕代替〔出基〕后得，〔〕因是出基元素，應(yīng)有得θ法那么—取l行中[]里最小的定為入基元素。初始根本可行解的求法—令松弛變量等于右端項(xiàng)，其余為零?！踩硢渭冃畏◤母究尚薪庾詈筠D(zhuǎn)換到最優(yōu)解對(duì)一組根本可行解，有轉(zhuǎn)換到另一根本可行解后，得對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)為令得--相對(duì)價(jià)值系數(shù)要求下降〔越多越好〕，希望為負(fù)〔越小越好〕，有單純形法兩規(guī)那么規(guī)那么—根本可行解轉(zhuǎn)換規(guī)那么最速下降規(guī)那么框圖矩陣運(yùn)算數(shù)學(xué)模型或?qū)τ诟究尚薪?，有目?biāo)函數(shù)六非線性規(guī)劃〔約束優(yōu)化〕〔一〕引言約束規(guī)劃問題方法直接方法間接方法〔二〕數(shù)學(xué)根底消元法〔降維法〕--等式約束Lagrange乘子法—等式約束新目標(biāo)函數(shù)極值條件，,--l個(gè)約束方程說明：因?yàn)闈M足l個(gè)約束方程，此時(shí)，那么極值相同。例題：p39,148Kuhn—Tucker條件問題Kuhn—Tucker條件說明引入松弛因子求極值(1)(2)(3)(3)—滿足約束方程；(2)--極值點(diǎn)在邊界上；極值點(diǎn)不在邊界上，在可行域內(nèi)，可作為無約束問題處理。可寫為--表示各梯度向量和“平衡”。或可以證明，Kuhn—Tucker條件定義：J—起作用的約束的集合?；蜃C明：圖例題p45(三)懲罰函數(shù)法(penaltyfunctionmethod)內(nèi)點(diǎn)法問題懲罰函數(shù)或r—懲罰因子，有懲罰項(xiàng)—函數(shù)永遠(yuǎn)在可行域內(nèi)，越靠近邊界，懲罰值越大，保證不能越過邊界。例：解：外點(diǎn)法懲罰函數(shù)懲罰因子例：前例混合法問題懲罰函數(shù)例：求球A和圓柱B的最小距離。AB,數(shù)學(xué)模型用內(nèi)點(diǎn)法或混合法，取，直接方法〔一〕隨機(jī)方向法在可行域產(chǎn)生一個(gè)初始點(diǎn)，因〔約束〕，那么--〔0，1〕的隨機(jī)數(shù)。找k個(gè)隨機(jī)方向，每個(gè)方向有n個(gè)方向余弦，要產(chǎn)生kn個(gè)隨機(jī)數(shù)，，，隨機(jī)方向的單位向量為取一試驗(yàn)步長，計(jì)算每個(gè)方向的最優(yōu)點(diǎn)找出可行域中的最好點(diǎn)得搜索方向。以為起點(diǎn)，為搜索方向得。最優(yōu)點(diǎn)必須在可行域內(nèi)或邊界上，為此要逐步增加步長。方法框圖p126〔二〕復(fù)合形法復(fù)合形--個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的封閉圖形，它是由假設(shè)干個(gè)單純形組成的。初始復(fù)合形的產(chǎn)生在可行域內(nèi)產(chǎn)生k個(gè)隨機(jī)點(diǎn)假設(shè)可行域?yàn)橥辜?，那么k個(gè)頂點(diǎn)在可行域內(nèi)。否那么內(nèi)縮p128。搜索計(jì)算各頂點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)，得計(jì)算重心反射點(diǎn)假設(shè)--不動(dòng)假設(shè)--擴(kuò)張假設(shè)--收縮〔內(nèi)縮、外縮〕縮邊〔三〕可行方向法可行方向—約束允許的、函數(shù)減小的方向?！矆D〕約束邊界的切線與函數(shù)等高線的切線方向形成的區(qū)域。搜索策略：初始點(diǎn)沿負(fù)梯度方向；好點(diǎn)在可行域內(nèi)，選之；好點(diǎn)在可行域外，縮至邊界；在邊界沿可行方向。多目標(biāo)優(yōu)化方法引言汽車設(shè)計(jì)：速度快，耗油少，本錢低，結(jié)構(gòu)輕，舒適性好〔振動(dòng)、噪聲〕。主目標(biāo)法，統(tǒng)一目標(biāo)法。主目標(biāo)法選第k個(gè)為主目標(biāo)，有統(tǒng)一目標(biāo)法線性加權(quán)法理想點(diǎn)法設(shè)為的單目標(biāo)優(yōu)化點(diǎn)，那么有或加權(quán)分目標(biāo)乘除法得專題：動(dòng)態(tài)規(guī)劃引言多階段決策問題，1951年R.Bellman提出最優(yōu)性原理；重點(diǎn)：離散確定性問題。目標(biāo)：在每個(gè)階段采取適宜的策略，使整個(gè)過程最優(yōu)。例最優(yōu)路線問題例：圖11.1由A到B有20條路線，走那條最?。棵杜e法：計(jì)算100次加法，19次比擬。動(dòng)態(tài)規(guī)劃舉例--表示從K到B的最優(yōu)路線〔最小費(fèi)用〕。末一級(jí)：末二級(jí)：；；末三級(jí)：；；末四級(jí)：；末五級(jí)：；末六級(jí)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃：24次加法，9次比擬。最優(yōu)原理從A到C的最優(yōu)軌線是ABC〔Ⅰ+Ⅱ〕,那么從該軌線上任一點(diǎn)B到C的最優(yōu)軌線Ⅱ是原軌線BC。證明：如果存在最優(yōu)軌線Ⅱ，，那么Ⅰ+Ⅱ，是A到C的最優(yōu)軌線，與前提矛盾。動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞推公式時(shí)間離散系統(tǒng)的系統(tǒng)方程其中--n維狀態(tài)向量；--m維控制向量；--時(shí)間變量或階段變量。性能指標(biāo)(目標(biāo)函數(shù))：--第k階段的性能指標(biāo)〔泛函〕，或代價(jià)函數(shù)。定義：--由k級(jí)到達(dá)末級(jí)〔N〕的最小性能指標(biāo)〔泛函〕。分解得動(dòng)態(tài)規(guī)劃遞推公式通常從末級(jí)開始，有那么遺傳算法簡介近年來，開展了一種模擬生物進(jìn)化的優(yōu)化方法，稱為“遺傳算法〔Geneticalgorithm--GA〕”。它是在1975年由美國教授J.Holland提出的一種人工智能方法，是在計(jì)算機(jī)上按生物進(jìn)化過程進(jìn)行模擬的一種搜索尋優(yōu)算法。我們?cè)诮榻B隨機(jī)方向法時(shí)，提到了可以通過計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的一個(gè)隨機(jī)數(shù)列做為一個(gè)可行的初始方向〔一個(gè)向量〕，然后按一定條件在搜索空間內(nèi)對(duì)函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)。類似地，按照遺傳算法的思路，它是把函數(shù)的搜索空間看成是一個(gè)映射的遺傳空間，而在此空間進(jìn)行尋優(yōu)搜索的可行解看成是由一個(gè)向量染色體〔個(gè)體〕組成的集合〔群體〕。染色體〔chromosome〕是由基因(gene)〔元素〕組成的向量。在遺傳算法中，目標(biāo)函數(shù)被轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度〔fitness〕，適應(yīng)度是根據(jù)預(yù)定的目標(biāo)函數(shù)對(duì)每個(gè)個(gè)體〔染色體〕進(jìn)行評(píng)價(jià)的一個(gè)表述，可用F表示，它反映個(gè)體對(duì)目標(biāo)適應(yīng)的概率。相應(yīng)的第i個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度用Fi表示，它可用來表示各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)性能，并據(jù)此指導(dǎo)尋優(yōu)搜索。Fi值越大，說明其性能越好。計(jì)算開始時(shí)，就是要從隨機(jī)產(chǎn)生的一系列染色體〔個(gè)體〕中選擇那些適應(yīng)度高〔性能好〕的染色體〔個(gè)體〕組成初始的尋優(yōu)群體〔初始可行解〕，稱為“種群”〔reproduction〕。遺傳算法先把優(yōu)化問題的一組根本可行解(染色體)用二進(jìn)制〔或十進(jìn)制〕的字符串進(jìn)行編碼，例如二進(jìn)制的字符串001101和100111就可分別表示兩個(gè)染色體。其中的一位或幾位字符的組合稱為一個(gè)基因〔元素〕。這兩個(gè)染色體就可表示二維遺傳空間的兩個(gè)可行解，可作為二維遺傳空間中的一個(gè)尋優(yōu)的初始點(diǎn)〔種群〕。當(dāng)然，維數(shù)越高，要求遺傳空間內(nèi)染色體的群體個(gè)數(shù)越多，即和它的維數(shù)相對(duì)應(yīng)。而且，遺傳空間內(nèi)的可行解會(huì)有多種組合，它們組成了可行解的空間。改變?nèi)旧w中某個(gè)基因所處的位置，例如，把001101和100111中的后三位字符〔基因組〕進(jìn)行交換，即得001111和100101的另外兩個(gè)染色體〔可行解〕，它可以作為遺傳空間中的一組新的尋優(yōu)試探點(diǎn)。這種基因交換稱為“雜交”或“交叉”〔crossover〕，它表達(dá)了自然界信息交換的思想。通過這樣不斷雜交和不斷選擇適應(yīng)度好的染色體的過程，可以實(shí)現(xiàn)從一個(gè)染色體種群〔可行解〕向另一個(gè)更優(yōu)的種群的轉(zhuǎn)換。或者說，通過雜交可以使一個(gè)染色體種群向另一個(gè)比上一代更優(yōu)秀的種群〔可行解〕進(jìn)化。從而可以實(shí)現(xiàn)在遺傳空間內(nèi)進(jìn)行大范圍的尋優(yōu)，直到滿意終止為止。當(dāng)然，我們這里所列的兩個(gè)字符串001101和100111所代表的染色體，需要從計(jì)算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)列進(jìn)行選擇，擇其優(yōu)秀者組成尋優(yōu)的初始點(diǎn)。這一步稱為“選擇”〔selection〕?！瓰榱颂岣哌z傳算法搜索全局最優(yōu)解的能力，還須擴(kuò)大基因組合，這就是“變異”〔mutation〕。變異過程是對(duì)某一染色體字符串的某個(gè)基因在繁殖過程中實(shí)現(xiàn)1→0或0→1的轉(zhuǎn)變，以確保染色體群體中遺傳基因的多樣性，保證搜索能在盡可能大的空間中進(jìn)行，防止喪失搜索中有用的遺傳信息而導(dǎo)致“過早收斂”，陷入局部解，從而提高優(yōu)化解的質(zhì)量。通過上面的簡單介紹，可知遺傳算法是由：選擇、雜交和變異三個(gè)過程組成的。還可以看出，遺傳算法和前述多種優(yōu)化方法的區(qū)別在于：遺傳算法是多點(diǎn)搜索，而不是單點(diǎn)尋優(yōu)；遺傳算法直接利用從目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成的適應(yīng)函數(shù)，而不采用導(dǎo)數(shù)等信息；遺傳算法采用編碼方法而不是參數(shù)本身；遺傳算法