回歸分析曲線擬合

關(guān)于回歸分析曲線擬合什么是回歸分析？1、重點(diǎn)考察一個特定的變量(因變量)，而把其他變量(自變量)看作是影響這一變量的因素，并通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型將變量間的關(guān)系表達(dá)出來2、利用樣本數(shù)據(jù)建立模型的估計(jì)方程3、對模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)4、進(jìn)而通過一個或幾個自變量的取值來估計(jì)或預(yù)測因變量的取值回歸分析

第2頁,共73頁，2024年2月25日，星期天回歸分析的模型

一、分類按是否線性分：線性回歸模型和非線性回歸模型按自變量個數(shù)分：簡單的一元回歸和多元回歸二、基本的步驟利用SPSS得到模型關(guān)系式，是否是我們所要的？要看回歸方程的顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）

回歸系數(shù)b的顯著性檢驗(yàn)(T檢驗(yàn))

擬合程度R2

(注：相關(guān)系數(shù)的平方，一元回歸用RSquare，多元回歸用AdjustedRSquare)第3頁,共73頁，2024年2月25日，星期天回歸分析的過程

在回歸過程中包括：Liner：線性回歸CurveEstimation：曲線估計(jì)

BinaryLogistic：二分變量邏輯回歸

MultinomialLogistic：多分變量邏輯回歸；

Ordinal序回歸；Probit：概率單位回歸；

Nonlinear：非線性回歸；

WeightEstimation：加權(quán)估計(jì)；

2-StageLeastsquares：二段最小平方法；

OptimalScaling最優(yōu)編碼回歸我們只講前面2個簡單的（一般教科書的講法）第4頁,共73頁，2024年2月25日，星期天線性回歸

線性回歸分為一元線性回歸和多元線性回歸。一、一元線性回歸：1、涉及一個自變量的回歸2、因變量y與自變量x之間為線性關(guān)系被預(yù)測或被解釋的變量稱為因變量(dependentvariable)，用y表示用來預(yù)測或用來解釋因變量的一個或多個變量稱為自變量(independentvariable)，用x表示3、因變量與自變量之間的關(guān)系用一個線性方程來表示第5頁,共73頁，2024年2月25日，星期天線性回歸的過程

一元線性回歸模型確定過程一、做散點(diǎn)圖(Graphs->Scatter->Simple)

目的是為了以便進(jìn)行簡單地觀測（如：

Salary與Salbegin的關(guān)系)。二、建立方程若散點(diǎn)圖的趨勢大概呈線性關(guān)系，可以建立線性方程，若不呈線性分布，可建立其它方程模型，并比較R2(-->1)來確定一種最佳方程式（曲線估計(jì)）。多元線性回歸一般采用逐步回歸方法-Stepwise。第6頁,共73頁，2024年2月25日，星期天(一)一元線性回歸模型

(linearregressionmodel)1、描述因變量y如何依賴于自變量x和誤差項(xiàng)

的方程稱為回歸模型2、一元線性回歸模型可表示為

y=b0+b1x+e注：線性部分反映了由于x的變化而引起的y的變化；誤差項(xiàng)

反映了除x和y之間的線性關(guān)系之外的隨機(jī)因素對y的影響，它是不能由x和y之間的線性關(guān)系所解釋的變異性。Y是x的線性函數(shù)(部分)加上誤差項(xiàng)

0和

1稱為模型的參數(shù)誤差項(xiàng)

是隨機(jī)變量第7頁,共73頁，2024年2月25日，星期天一元線性回歸模型（基本假定）1、因變量x與自變量y之間具有線性關(guān)系2、在重復(fù)抽樣中，自變量x的取值是固定的，即假定x是非隨機(jī)的3、誤差項(xiàng)滿足條件第8頁,共73頁，2024年2月25日，星期天誤差項(xiàng)

滿足條件正態(tài)性。是一個服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且期望值為0，即

~N(0,

2)。對于一個給定的x值，y的期望值為E(y)=

0+

1x方差齊性。對于所有的x值，

的方差一個特定的值，的方差也都等于2都相同。同樣，一個特定的x值，y的方差也都等于

2獨(dú)立性。獨(dú)立性意味著對于一個特定的x值，它所對應(yīng)的ε與其他x值所對應(yīng)的ε不相關(guān)；對于一個特定的x值，它所對應(yīng)的y值與其他x所對應(yīng)的y值也不相關(guān)第9頁,共73頁，2024年2月25日，星期天估計(jì)的回歸方程

(estimatedregressionequation)總體回歸參數(shù)β0和β1是未知的，必須利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)用樣本統(tǒng)計(jì)量和代替回歸方程中的未知參數(shù)β0和β1

，就得到了估計(jì)的回歸方程一元線性回歸中估計(jì)的回歸方程為其中：是估計(jì)的回歸直線在y軸上的截距，是直線的斜率，它表示對于一個給定的x的值，是y的估計(jì)值，也表示x每變動一個單位時(shí)，y的平均變動值xy??1b0?b+=0?by??1b?1b0?b第10頁,共73頁，2024年2月25日，星期天SPSS線性回歸分析多元線性回歸分析基本結(jié)構(gòu)與一元線性回歸相同。而他們在SPSS下的功能菜單是集成在一起的。下面通過SPSS操作步驟解釋線性回歸分析問題。第11頁,共73頁，2024年2月25日，星期天SPSS過程步驟一：錄入數(shù)據(jù)，選擇分析菜單中的Regression==>liner

打開線性回歸分析對話框；步驟二：選擇被解釋變量和解釋變量。其中因變量列表框中為被解釋變量，自變量為回歸分析解釋變量。注：要對不同的自變量采用不同引入方法時(shí)，選NEXT按鈕把自變量歸入不同自變量塊中。第12頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第三步：選擇個案標(biāo)簽。在變量列表中選擇變量至個案標(biāo)簽中，而被選擇的變量的標(biāo)簽用于在圖形中標(biāo)注點(diǎn)的值。第四步：選擇加權(quán)二乘法（WLS）。在變量列表框中選擇變量至WLS中。但是該選項(xiàng)僅在被選變量為權(quán)變量時(shí)選擇。第五步：如果點(diǎn)擊OK，可以執(zhí)行線性回歸分析操作。第13頁,共73頁，2024年2月25日，星期天Method選項(xiàng)Enter：強(qiáng)迫引入法，默認(rèn)選項(xiàng)。全部被選變量一次性進(jìn)入回歸模型。Stepwise：強(qiáng)迫剔除法。每一次引入變量時(shí)，概率F最小值的變量將引入回歸方程，如果已引入回歸方程的變量的F大于設(shè)定值，將被剔除回歸方程。當(dāng)無變量被引入或剔除，時(shí)終止回歸方程Remove：剔除變量。不進(jìn)入方程模型的被選變量剔除。Backward：向后消去Forward：向前引入第14頁,共73頁，2024年2月25日，星期天Rule選項(xiàng)選擇一個用于指定分析個案的選擇規(guī)則的變量。選擇規(guī)則包括：等于、不等于、大于、小于、大于或等于、小于或等于。Value中輸入相應(yīng)變量的設(shè)定規(guī)則的臨界值。第15頁,共73頁，2024年2月25日，星期天Statistics

選項(xiàng)回歸系數(shù)框估計(jì)值：顯示回歸系數(shù)的估計(jì)值β、回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差、標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)、回歸系數(shù)的β的t估計(jì)值和雙尾顯著性水平。置信區(qū)間協(xié)方差矩陣模型擬合：復(fù)相關(guān)系數(shù)、判定系數(shù)、調(diào)整R2、估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤及方差分析R2改變量：增加或刪除一個自變量產(chǎn)生的改變量描述性統(tǒng)計(jì)量：變量的均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)矩陣、單尾檢驗(yàn)部分及偏相關(guān)系數(shù)：顯示零階相關(guān)、偏相關(guān)、部分相關(guān)系數(shù)共線性診斷：顯示變量容差、方差膨脹因子和共線性的診斷表殘差統(tǒng)計(jì)量D-W檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：顯示殘差相關(guān)的D-W檢驗(yàn)和殘差與預(yù)測值的綜述統(tǒng)計(jì)。個案診斷：1、超過n倍標(biāo)準(zhǔn)差以上的個案為奇異值；2、顯示所有變量的標(biāo)準(zhǔn)化殘差、觀測值和預(yù)測值、殘差第16頁,共73頁，2024年2月25日，星期天Plots選項(xiàng)

該對話框可以分析資料的正態(tài)性、線性和方差齊性，還可以檢測奇異值或異常值等。1、因變量2、標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值3、標(biāo)準(zhǔn)化殘差4、刪除殘差5、調(diào)整預(yù)測值6、Student殘差7、Student刪除殘差Histogram：標(biāo)準(zhǔn)化殘差的直方圖，并給出正態(tài)曲線。Normalprobalityplot：標(biāo)準(zhǔn)化殘差的正態(tài)概率圖Produceallpartialplots：產(chǎn)生所有偏殘差圖，生成每個自變量殘差與因變量殘差的散點(diǎn)圖。第17頁,共73頁，2024年2月25日，星期天Save對話框預(yù)測值包括非標(biāo)準(zhǔn)化的預(yù)測值、標(biāo)準(zhǔn)化的預(yù)測值、調(diào)整預(yù)測值、預(yù)測值均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤距離包括自變量個案值與所有個案平均值距離、一個個案參與計(jì)算回歸線系數(shù)時(shí)，所有個案殘差變化的大小。杠桿值殘差非標(biāo)準(zhǔn)化殘差標(biāo)準(zhǔn)化殘差Student殘差刪除殘差Student刪除殘差影響統(tǒng)計(jì)量DFBeta值，刪除一個個案后回歸系數(shù)改變的大小。標(biāo)準(zhǔn)化DfBetaDfFit值，擬合值之差標(biāo)準(zhǔn)化DfFit協(xié)方差矩陣的比率預(yù)測區(qū)間平均預(yù)測區(qū)間個體預(yù)測區(qū)間第18頁,共73頁，2024年2月25日，星期天Options選項(xiàng)逐步回歸方法準(zhǔn)則使用F顯著水平值Entry：當(dāng)候選變量中最大F值概率小于等于引入值時(shí)，引入相應(yīng)變量。Removal:剔除相應(yīng)變量第19頁,共73頁，2024年2月25日，星期天實(shí)例分析例：某單位對8名女工進(jìn)行體檢，體檢項(xiàng)目包括體重和肺活量，數(shù)據(jù)如下：利用回歸分析描述其關(guān)系。體重4242464646505050肺活量2.552.22.752.42.82.813.413.1第20頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第21頁,共73頁，2024年2月25日，星期天結(jié)果分析描述性統(tǒng)計(jì)量第22頁,共73頁，2024年2月25日，星期天相關(guān)系數(shù)表中Pearson相關(guān)系數(shù)為0.613，單尾顯著性檢驗(yàn)的概率p值為0.000，小于0.05.所以體重和肺活量之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性第23頁,共73頁，2024年2月25日，星期天引入或剔除變量表表中顯示回歸分析的方法以及變量被剔除或引入的信息。Method項(xiàng)為Enter，表明顯示回歸方法用得是強(qiáng)迫引入法引入變量。這里自變量只有一個，所以此表意義不大。第24頁,共73頁，2024年2月25日，星期天模型摘要兩變量相關(guān)系數(shù)為0.613，判定系數(shù)為0.375，調(diào)整判定系數(shù)為0.352，估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為360.997第25頁,共73頁，2024年2月25日，星期天方差分析表該表為回歸分析的方差分析表?？梢钥闯龌貧w的均方為2115016.203，剩余的均方為130318.685，F(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為16.230，p值為0.000小于0.05，可以認(rèn)為體重和肺活量之間存在線性關(guān)系。第26頁,共73頁，2024年2月25日，星期天回歸系數(shù)下表給出了回歸方程中的參數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的估計(jì)值。其中常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為405.819，回歸系數(shù)為47.835，，線性回歸參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為11.874，標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)為0.613，回歸系數(shù)t檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量觀察值為4.029，t檢驗(yàn)的p值為0.00，小于0.05可以認(rèn)為回歸系數(shù)有顯著意義第27頁,共73頁，2024年2月25日，星期天回歸診斷下表對全部的觀察單位進(jìn)行回歸診斷，結(jié)果表明，每一例的標(biāo)準(zhǔn)化殘差、因變量觀測值和預(yù)測值以及殘差第28頁,共73頁，2024年2月25日，星期天殘差統(tǒng)計(jì)量表中顯示了預(yù)測值、標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值、殘差、標(biāo)準(zhǔn)化殘差等統(tǒng)計(jì)量的最小值、最大值、均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差第29頁,共73頁，2024年2月25日，星期天回歸標(biāo)準(zhǔn)化殘差的直方圖在回歸標(biāo)準(zhǔn)化殘差的直方圖中，正態(tài)曲線也被顯示，用來判斷標(biāo)準(zhǔn)化殘差是否呈正態(tài)分布第30頁,共73頁，2024年2月25日，星期天回歸標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)P-P圖圖中給出了觀察值的殘差分布與假設(shè)的正態(tài)分布比較，如果標(biāo)準(zhǔn)化殘差呈正態(tài)分布，則標(biāo)準(zhǔn)化殘差點(diǎn)應(yīng)該分布在直線上或靠近直線第31頁,共73頁，2024年2月25日，星期天因變量與回歸標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值的散點(diǎn)圖其中橫坐標(biāo)變量為標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值第32頁,共73頁，2024年2月25日，星期天數(shù)據(jù)編輯窗口新增變量從表中可以看到非標(biāo)準(zhǔn)化預(yù)測值，非標(biāo)準(zhǔn)化殘差，預(yù)測值均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，均值的預(yù)測區(qū)間、個體預(yù)測區(qū)間。第33頁,共73頁，2024年2月25日，星期天在十九世紀(jì)四、五十年代，蘇格蘭物理學(xué)家JamesD.Forbes，試圖通過水的沸點(diǎn)來估計(jì)海拔高度。由于可以通過氣壓來估計(jì)海拔，他在阿爾卑斯山以及蘇格蘭收集了沸點(diǎn)及海拔的數(shù)據(jù)如表所示?，F(xiàn)在通過線形回歸擬合氣壓與沸點(diǎn)的關(guān)系。

第34頁,共73頁，2024年2月25日，星期天散點(diǎn)圖第35頁,共73頁，2024年2月25日，星期天執(zhí)行【Analyze】/【Regression】/【Linear】命令,彈出【Linear】對話框第36頁,共73頁，2024年2月25日，星期天程序第37頁,共73頁，2024年2月25日，星期天結(jié)果解讀模型擬合度檢驗(yàn)第38頁,共73頁，2024年2月25日，星期天方差分析表第39頁,共73頁，2024年2月25日，星期天回歸分析結(jié)果第40頁,共73頁，2024年2月25日，星期天對殘差統(tǒng)計(jì)量的分析數(shù)據(jù)中無離群值，且數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差比較小，可以認(rèn)為模型是健康的。第41頁,共73頁，2024年2月25日，星期天殘差統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)第42頁,共73頁，2024年2月25日，星期天多元線性回歸的例子某大型金融機(jī)構(gòu)中做了一項(xiàng)關(guān)于雇員對其主管滿意度的調(diào)查，其中一個問題設(shè)計(jì)為對主管的工作業(yè)績的綜合評價(jià)，另外若干個問題涉及主管與其雇員間相互關(guān)系的具體方面。該研究試圖解釋主管性格與雇員對其整體滿意度之間的關(guān)系。第43頁,共73頁，2024年2月25日，星期天雇員對其主管滿意度的調(diào)查第44頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第45頁,共73頁，2024年2月25日，星期天模型擬合度檢驗(yàn)第46頁,共73頁，2024年2月25日，星期天方差分析第47頁,共73頁，2024年2月25日，星期天回歸分析結(jié)果擬合結(jié)果為：Y=A*X1+B*X2+C**X3+D?第48頁,共73頁，2024年2月25日，星期天結(jié)果解讀剔除變量列表第49頁,共73頁，2024年2月25日，星期天共線性檢驗(yàn)指標(biāo)第50頁,共73頁，2024年2月25日，星期天共線性檢驗(yàn)結(jié)果第51頁,共73頁，2024年2月25日，星期天曲線估計(jì)基本原理兩變量之間的關(guān)系并不總是以線性形式表現(xiàn)出來的，更多的時(shí)候呈現(xiàn)出非線性關(guān)系，利用圖形可表示為曲線。對非線性關(guān)系無法直接通過建立線性回歸模型解決。雖然如此。但仍然存在一些非線性關(guān)系可以通過變量變換化成線性關(guān)系，并最終形成變換后的線性模型。第52頁,共73頁，2024年2月25日，星期天SPSS過程第一步：錄入數(shù)據(jù)，選擇分析菜單中的Regression==>liner

打開線性曲線估計(jì)對話框。第二步：選擇被解釋變量和解釋變量第53頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第三步：選擇曲線估計(jì)模型Linear：擬合直線方程，實(shí)際上與Linear過程的二元直線回歸相同；Quadratic：擬合二次方程Y=b0+b1t+b2t2；Compound：擬合復(fù)合曲線模型Y=b0X（

b1）t

；Growth：擬合等比級數(shù)曲線模型Y=exp(b0+b1t)；Logarithmic：擬合對數(shù)方程Y=b0+b1lnt；第54頁,共73頁，2024年2月25日，星期天Cubic：擬合三次方程Y=b0+b1t+b2t2+b3t3；S：擬合S形曲線Y=exp(b0+b1/t)；Exponential：擬合指數(shù)方程Y=b0exp(b1t)；Inverse：數(shù)據(jù)按Y=b0+b1/t進(jìn)行變換；Power：擬合乘冪曲線模型Y=b0Xb1；Logistic：擬合Logistic曲線模型Y=1/（

1/u+b0（b1）t），如選擇該線型則要求輸入上界。第55頁,共73頁，2024年2月25日，星期天Save選項(xiàng)預(yù)測個案，用于設(shè)定值變量為時(shí)間序列時(shí)的預(yù)測值保存變量第56頁,共73頁，2024年2月25日，星期天實(shí)例在不同溫度下，對金屬強(qiáng)度進(jìn)行了8次測試，數(shù)據(jù)如下利用曲線參數(shù)估計(jì)方法分析溫度和強(qiáng)度的關(guān)系溫度50100150200250300400500強(qiáng)度0.9770.5660.2840.1720.1280.0720.0290.014第57頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第58頁,共73頁，2024年2月25日，星期天結(jié)果分析線性模型的主要結(jié)果模型摘要該表顯示模型的擬合情況。其中判定系數(shù)為0.67375，調(diào)整系數(shù)為0.61938，估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤差為93.909第59頁,共73頁，2024年2月25日，星期天方差分析表從表中可以看出，回歸的均方為109273.91，剩余的均方為8818.93，F(xiàn)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀察值為12.391，p值為0.125第60頁,共73頁，2024年2月25日，星期天回歸系數(shù)常數(shù)項(xiàng)系數(shù)為348.69，回歸系數(shù)為-374.43，線性回歸參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為106.37，標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)為-0.821第61頁,共73頁，2024年2月25日，星期天三次函數(shù)模型的主要結(jié)果模型摘要判定系數(shù)是多少？校正系數(shù)是多少？標(biāo)準(zhǔn)誤差？第62頁,共73