二次函數(shù)中的符號問題與求解析式

關(guān)于二次函數(shù)中的符號問題與求解析式2回味知識點：1、拋物線y=ax2+bx+c的開口方向與什么有關(guān)？2、拋物線y=ax2+bx+c與y軸的交點是

.3、拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是

.a＞0時，開口向上；a＜0時，開口向下。（0、c）X=-第2頁,共54頁，2024年2月25日，星期天3歸納知識點：拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：（1）a的符號：由拋物線的開口方向確定開口向上a>0開口向下a<0（2）C的符號：由拋物線與y軸的交點位置確定:交點在x軸上方c>0交點在x軸下方c<0經(jīng)過坐標(biāo)原點c=0第3頁,共54頁，2024年2月25日，星期天4（3）b的符號：由對稱軸的位置確定：對稱軸在y軸左側(cè)a、b同號對稱軸在y軸右側(cè)a、b異號對稱軸是y軸b=0（4）b2-4ac的符號：由拋物線與x軸的交點個數(shù)確定:與x軸有兩個交點b2-4ac>0與x軸有一個交點b2-4ac=0與x軸無交點b2-4ac<0歸納知識點：簡記為：左同右異第4頁,共54頁，2024年2月25日，星期天5歸納知識點：拋物線y=ax2+bx+c的符號問題：（5）a+b+c的符號：由x=1時拋物線上的點的位置確定（6）a-b+c的符號：由x=-1時拋物線上的點的位置確定第5頁,共54頁，2024年2月25日，星期天二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的系數(shù)a，b，c，△與拋物線的關(guān)系aa,bc△a決定開口方向：a＞０時開口向上，

a＜０時開口向下︳a︱越大開口越小。a、b同時決定對稱軸位置：a、b同號時對稱軸在y軸左側(cè)

a、b異號時對稱軸在y軸右側(cè)

b＝０時對稱軸是y軸c決定拋物線與y軸的交點：c＞０時拋物線交于y軸的正半軸

c＝０時拋物線過原點

c＜０時拋物線交于y軸的負(fù)半軸△決定拋物線與x軸的交點：△＞０時拋物線與x軸有兩個交點

△＝０時拋物線與x軸有一個交點

△＜０時拋物線于x軸沒有交點第6頁,共54頁，2024年2月25日，星期天2、判斷y=ax2+bx+c符號

a、b、c、

2a+b、2a-b、

b2-4ac、

a+b+c、a-b+c、

1-1第7頁,共54頁，2024年2月25日，星期天abc2a+b2a-bb2-4ac

a+b+c

a-b+c4a+2b+c4a-2b+c開口方向大小向上a>0向下a<o對稱軸與y軸比較左側(cè)ab同號右側(cè)ab異號與y軸交點交于上半軸c>o下半軸c<0-與1比較-與-1比較與x軸交點個數(shù)令x=1，看縱坐標(biāo)令x=-1，看縱坐標(biāo)令x=2，看縱坐標(biāo)令x=-2，看縱坐標(biāo)第8頁,共54頁，2024年2月25日，星期天3、判斷y=ax2+bx+c符號a、b、c2a+b,2a-b,b2-4aca+b+ca-b+c4a+2b+c、4a-2b+c1-1第9頁,共54頁，2024年2月25日，星期天10快速回答：拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xoy根據(jù)圖像可得：1、a＞02、-＞03、△=b2-4ac＞04、C＞0第10頁,共54頁，2024年2月25日，星期天11拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo快速回答：根據(jù)圖像可得：1、a＞02、-＜03、△=b2-4ac＞04、C＝0第11頁,共54頁，2024年2月25日，星期天12拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo快速回答：根據(jù)圖像可得：1、a＞02、-＞03、△=b2-4ac＝04、C＞0第12頁,共54頁，2024年2月25日，星期天13拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo快速回答：根據(jù)圖像可得：1、a＞02、-＝03、△=b2-4ac＝04、C＝0第13頁,共54頁，2024年2月25日，星期天14拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，試確定a、b、c、△的符號：xyo快速回答：根據(jù)圖像可得：1、a＜02、-＞03、△=b2-4ac＜04、C＜0第14頁,共54頁，2024年2月25日，星期天15練一練：1.已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則點M（，a）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限xoyD根據(jù)圖像可得：1、a＜02、-＞03、△=b2-4ac＞04、C＞0第15頁,共54頁，2024年2月25日，星期天16練一練：2、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c＞0；④（a+c)2＜b2，其中正確的個數(shù)是（）A、4個B、3個C、2個D、1個xoyx=1B根據(jù)圖像可得：1、a＜02、-＝13、△=b2-4ac＞04、C＜0第16頁,共54頁，2024年2月25日，星期天17練一練：3、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列結(jié)論中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正確的個數(shù)是（）A、2個B、3個C、4個D、5個xoy-11C根據(jù)圖像可得：1、a＜02、-＝-13、△=b2-4ac＞04、C＞0第17頁,共54頁，2024年2月25日，星期天184.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的一部分如圖，已知它的頂點M在第二象限，且經(jīng)過A(1,0),B(0,1),請判斷實數(shù)a的范圍,并說明理由.1MOBAyx1想一想：根據(jù)圖像可得：1、a＜02、-＜03、a+b+c＝04、C＝1第18頁,共54頁，2024年2月25日，星期天195.(06.蕪湖市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+c（a<0）的圖象過正方形ABOC的三個頂點A、B、C，則ac的值是

.再想一想：-2

設(shè)正方形的對角線長為2n，根據(jù)圖像可得：∵A（0、2n）、B（-n、n）、

C（n、n）∴n=a（±n）2+2n、c=2n，∴a=-，∴ac=2n*（-）

=-2

第19頁,共54頁，2024年2月25日，星期天206.（06.浙江省）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點（-1，2）和（1，0），且與y軸相交于負(fù)半軸．(以下有(1)、(2)兩問，每個考生只須選答一問，若兩問都答，則只以第(2)問計分)第(1)問：給出四個結(jié)論：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=0．其中正確結(jié)論的序號是

（答對得3分，少選、錯選均不得分）．第(2)問：給出四個結(jié)論：①abc<0；②2a+b>0；③a+c=1；④a>1．其中正確結(jié)論的序號是

（答對得5分，少選、錯選均不得分）．xyO1-12仔細(xì)想一想：①④②③④第20頁,共54頁，2024年2月25日，星期天212.若關(guān)于x的函數(shù)y=(a-2)x2-(2a-1)x+a的圖象與坐標(biāo)軸有兩個交點，則a可取的值為

；1.如圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c和一次函數(shù)y2=mx+n的圖象，觀察圖象寫出y2≥y1時，x的取值范圍是________;3.(03武漢)已知拋物線y=ax2+bx+c（a＜0)經(jīng)過點（－1，0），且滿足4a＋2b＋c＞0．以下結(jié)論：①a＋b＞0；②a＋c＞0；③－a＋b＋c＞0；④b2-2ac>5a2．其中正確的個數(shù)有（）（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個第21頁,共54頁，2024年2月25日，星期天（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，那abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c，a－b＋c這五個代數(shù)式中，值為正數(shù)的有（）練習(xí)A．4個B．3個C．2個D．1個yx-11第22頁,共54頁，2024年2月25日，星期天1.已知二次函數(shù)ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的圖象如圖所示，則有（）

(Ａ)a＜0,b＜0,c＞0(Ｂ)a＜0,b＜0,c＜0

(C)a＜0,b＞0,c＞0(D)a＞0,b＜0,c＞0第23頁,共54頁，2024年2月25日，星期天（2）根據(jù)下列表格中二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值，判斷方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c為常數(shù)）的一個解的范圍是（）x6.176.186.196.20y＝ax2＋bx＋c-0.03-0.010.020.04A．6.17＜X＜6.18B．6.18＜X＜6.19C．-0.01＜X＜0.02D．6.19＜X＜6.20第24頁,共54頁，2024年2月25日，星期天yx02-3（3）小明從右邊的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象觀察得出下面的五條信息：①a＜0；②c＝0；③函數(shù)的最小值為-3；④當(dāng)x＜0時，y>0；⑤當(dāng)0＜x1＜x2＜2時，y1>y2

你認(rèn)為其中正確的個數(shù)有（）

A．2B．3C．4D．5第25頁,共54頁，2024年2月25日，星期天（4）請你寫出一個二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，使它同時具有如下性質(zhì)：①圖象關(guān)于直線x＝1對稱；②當(dāng)x＝2時，y>0；③當(dāng)x＝－2時，y<0。答：____________第26頁,共54頁，2024年2月25日，星期天二次函數(shù)解析式的求法第27頁,共54頁，2024年2月25日，星期天二次函數(shù)解析式常見的三種表示形式：(1)一般式(2)頂點式(3)交點式第28頁,共54頁，2024年2月25日，星期天1、已知：拋物線y=ax2+bx+c過直線與x軸、y軸的交點，且過（1，1），求拋物線的解析式；分析：∵直線與x軸、y軸的交點為（2，0），（0，3）則：第29頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

2、公園在點A處安裝水龍頭OA，已知AO=2米，在水平距離OD=0.5米時達(dá)到最高CD=3米，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系中，A點的坐標(biāo)是（

，

）、D點的坐標(biāo)是（

，

）、C點的坐標(biāo)是（

，

）。頂點是

，此拋物線的解析式為

。CAByxOD第30頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

3、把拋物線y=ax2+bx+c向下平移1個單位，再向左平移5個單位時的頂點坐標(biāo)為（-2，0），且a+b+c=0，求a、b、c的值。設(shè)原拋物線的解析式為y=a（x+m）2+n則平移后拋物線的解析式為y=a（x+m+5）2+n-1根據(jù)題意得：∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1∴a-6a+9a+1=0……第31頁,共54頁，2024年2月25日，星期天4、已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)x取何值時，y>0？（3）將拋物線作怎樣的一次平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個交點,并寫出此時拋物線的解析式。xyoABDC-15-2.5第32頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

4、已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)x取何值時，y>0？（3）將拋物線作怎樣的一次平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個交點,并寫出此時拋物線的解析式。xyoABDC-15-2.5第33頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

4、已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)x取何值時，y>0？（3）將拋物線作怎樣的一次平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個交點,并寫出此時拋物線的解析式。xyoABDC-15-2.5第34頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

4、已知：拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)x取何值時，y>0？（3）將拋物線作怎樣的一次平移,才能使它與坐標(biāo)軸僅有兩個交點,并寫出此時拋物線的解析式。xyoABDC-15-2.5第35頁,共54頁，2024年2月25日，星期天5、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）兩點，與x軸交于原點及C點，（1）求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點D，使S△OCD=S△OCB，若存在，求出點D；若不存在，請說明理由。xyoABC（1）y=x+4A（1，5）∴y=-x2+6x第36頁,共54頁，2024年2月25日，星期天5、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）兩點，與x軸交于原點及C點，（1）求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點D，使S△OCD=S△OCB，若存在，求出點D；若不存在，請說明理由。xyoABC（1）y=x+4y=-x2+6x（4，8）（6，0）第37頁,共54頁，2024年2月25日，星期天5、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=kx+4相交于A（1，m），B（4，8）兩點，與x軸交于原點及C點，（1）求直線和拋物線的解析式；（2）在拋物線上是否存在點D，使S△OCD=S△OCB，若存在，求出點D；若不存在，請說明理由。xyoABCy=-x2+6x（4，8）（6，0）（2）S△OCB=24設(shè)點D坐標(biāo)為（x，y）∴y=±12……第38頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

1、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的頂點為P（-2，9），且與x軸有兩個交點A、B（A左B右），S△ABC=27，求：（1）二次函數(shù)的解析式；（2）A、B兩點的坐標(biāo)；（3）畫出草圖；（4）若拋物線與y軸交于C點，求四邊形ABCP的面積。試一試：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S=30第39頁,共54頁，2024年2月25日，星期天2、已知：一次函數(shù)的圖象交y軸于點（0，-1），交拋物線y=x2+bx+c于頂點和另一點（2，5），試求這個一次函數(shù)的解析式和b、c的值。點拔：∴y=3x-1∵拋物線y=x2+bx+c的頂點坐標(biāo)為第40頁,共54頁，2024年2月25日，星期天

3、已知:拋物線y=ax2+bx+c過點（-5，0）、（0，）（1，6）三點，直線L的解析式為y=2x-3，（1）求拋物線的解析式；（2）求證：拋物線與直線無交點；（3）若與直線L平行的直線與拋物線只有一個交點P，求P點的坐標(biāo)。點拔：（1）（2）證拋物線和直線的解析式組成的方程組無解（3）設(shè)與L平行的直線的解析式為y=2x+n則：此直線和拋物線的解析式組成的方程組只有一個解。即△=0第41頁,共54頁，2024年2月25日，星期天4、已知：二次函數(shù)y=ax2+bx+c有最大值，它與直線y=3x-1交于A（m，2）、B（n，5），且其中一個交點為該拋物線的頂點，求（1）此二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而增大。先求出A、B兩點的坐標(biāo)：A（1，2）、B（2，5）①若A（1，2）為頂點：設(shè)解析式為y=a(x-1)2+2∵5=a+2∴a=3又∵函數(shù)有最大值,∴a=3不合,舍去.②若B（2，5）為頂點：設(shè)解析式為y=a(x-2)2+5∵2=a+5∴a=-3則解析式為y=-3(x-2)2+5第42頁,共54頁，2024年2月25日，星期天第43頁,共54頁，2024年2月25日，星期天1、已知二次函數(shù)與軸兩個交點為A（，0），B（，0），且滿足，求此二次函數(shù)解析式。2、已知二次函數(shù)（1）求證：不論k取何值，這個函數(shù)的圖像與軸總有兩個交點。（2）實數(shù)k為何值時，這兩個交點之間的距離最小，并求這個最小距離。第44頁,共54頁，2024年2月25日，星期天（南京市中考題）如果拋物線與軸交于A、B兩點，點A在軸的正半軸上，點B在軸的負(fù)半軸上，0A=a,0B=b,若a:b=3:1，求拋物線的解析式。第45頁,共54頁，2024年2月25日，星期天已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k－1＝0有實數(shù)根，k為正整數(shù).（1）求k的值；（2）當(dāng)此方程有兩個非零的整數(shù)根時，將關(guān)于x的二次函數(shù)y＝2x2+4x+k－1的圖象向下平移8個單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個新的圖象.請你結(jié)合這個新的圖象回答：當(dāng)直線y＝x+b(b＜k)與此圖象有兩個公共點時，b的取值范圍.第46頁,共54頁，2024年2月25日，星期天解（1）由題意，得Δ＝16－8(k－1)≥0，所以k≤3，而k為正整數(shù)，所以k＝1，2，3.（2）當(dāng)k＝1時，方程2x2+4x+k－1＝0有一個根為0；當(dāng)k＝2時，方程2x2+4x+k－1＝0無整數(shù)根；當(dāng)k＝3時，方程2x2+4x+k－1＝0有兩個非0整數(shù)根；綜上所述，k＝1和k＝2時，不合題意，舍去，k＝3符合題意.當(dāng)k＝3時，二次函數(shù)為y＝2x2+4x+2，把它的圖象向下平移8個單位，得到的圖象的解析為y＝2x2+4x－6.（3）設(shè)二次函數(shù)為y＝2x2+4x－6的圖象與x軸交于A，B兩點，則A(－3，0)，B(1，0).依題意，得翻折后的圖象如圖所示，當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過點A時，可求得b＝；當(dāng)直線y＝x+b經(jīng)過點B時，可求得b＝－.由圖象可知，符合題意的b(b＜3)的取值范圍為－＜b＜.第47頁,共54頁，2024年2月25日，星期天如圖1，已知二次函數(shù)y＝x2－2x－1的圖象的頂點為A.二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象與x軸交于原點O及另一點C，它的頂點B在函數(shù)y＝x2－2x－1的圖象的對稱軸上.（1）求點A與點C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)四邊形AOBC為菱形時，求函數(shù)y＝ax2+bx的關(guān)系式.圖1第48頁,共54頁，2024年2月25日，星期天解如圖2.（1）因為y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，所以頂點A的坐標(biāo)為(1，－2).又因為二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象經(jīng)過原點，且它的頂點在二次函數(shù)y＝x2－2x－1圖象的對稱軸l上，所以點C和點O關(guān)于直線l對稱，所以點C的坐標(biāo)為(2，0).（2）因為四邊形AOBC是菱形，所以點B和點A關(guān)于直線OC對稱，因此，點B的坐標(biāo)為(