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文檔簡介
第第頁大學(xué)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
第二講導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用
一、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分的定義
對于一元函數(shù)yf*
dyd*
f
y
f*lih0
*h
h
f*
對于多元函數(shù)zf*,y
z*
f*h,yf*,y
h
對于函數(shù)微分
f**,ylim
h0
yf***
z
z**
zyy
dy*
dz
2
注:留意左、右導(dǎo)數(shù)的定義和記號。
二、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分的計算:
1〕能嫻熟運用求導(dǎo)公式、運算法那么計算導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)和微分;2〕隱函數(shù)、參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)
3〕高階導(dǎo)數(shù):特別要留意萊布尼茨公式uv
n
n
C
k0
kn
u
knk
v的運用。
例1:求函數(shù)yarcsin*在*0處的n
階導(dǎo)數(shù)。
解:y
,y
,所以有2
*y1*
〔1〕y
利用萊布尼茨公式對〔1〕兩邊求n2階導(dǎo)數(shù)得*y
n1
Cn2y
1
n2
1*
2
y
n
n
Cn22*y
1
n1
Cn22y
2
n2
當(dāng)*0時,n2y
n2
0
n
y
0n2n3y
2
n2
0
y由此可得y
2n
0n2
2
y
n2
0
02n22n4
2
2y00
2
高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
y
2n1
02n12n3
11*
2
22
1y02n1
2
2
2n3
1
2
2
例2:求f*解:f*
n
的n階導(dǎo)數(shù)。
i
n
n1
11*12i
2
111
2i*i*
n1
f
*
1
n
n!*i1n!*i
1nn!
2i1*
2
n1
*i
n1
*i
n1
設(shè)*ircosisin,*ircosisin其中,rf
n
*
2
,arccot*,那么有
*
1nn!
2i1*
2
n1
*
2
n1
2isinn1arccot*
1nn!
*2
n1
sinn1arccot*
注:計算時留意一階微分不變性的應(yīng)用。4〕方向?qū)?shù)與梯度
三、導(dǎo)數(shù)、偏導(dǎo)數(shù)及微分的應(yīng)用
1〕達布定理:設(shè)f*在a,b上可導(dǎo),假設(shè)fafb那么對介于fa,fb的一切值c,必有a,b,使得fc。
證明:f*在a,b上可導(dǎo),那么f*在a,b上肯定有最大值和最小值。1、假如fa,fb異號,無妨設(shè)fa0,fb0,由于falim
h0
fahfa
h
,fblim
h0
fbhfb
h
,由極
限的保號性,當(dāng)*充分接近a時有f*fa;當(dāng)*充分接近b時有f
*fb,這就說明fa,fb不可能是f*在a,b上的最大值,
所以肯定存在a,b,使得f是f*在a,b上的最大值,由費馬定理可得f0。
2、對于一般的fafb的情形,設(shè)c是介于fa,fb的值,考慮函
高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
數(shù)F*f*c*,那么有Fafac,Fbfbc異號,由前面的證明可得,存在a,b有Ffc0,即fc。
2〕羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理
f*f*0f*0**0
n1
f*02!*0
**0
2
f
n
*0
n!
**0nRn*
其中Rn*
f
*
n1!
n1
,這里在*與*0之間的某個值。
3〕一元函數(shù)的單調(diào)性及極值、最值4〕一元函數(shù)的凹凸性:
f*在區(qū)間I上凹:*1,*2I和1,2R,假設(shè)121,那么f1*12*21f
*1
2
f;*
2
f*在區(qū)間I上凸:*1,*2I和1,2R,假設(shè)121,那么f1*12*21f
*1
2
f;*
2
性質(zhì):1、假如f*在區(qū)間I上是凹的,那么*1,*2,,*nI和1,2,,nR,假設(shè)12n1,肯定有*f1*12*2nn
1f
*1
2f
*2
nfn;*
2、假如f*在區(qū)間I上是凸的,那么*1,*2,,*nI和1,2,,nR,假設(shè)12n1,肯定有*f1*12*2nn
1f
*1
2f
*2
nfn*
*n11
證明:由于1*12*2n*n1*111
2
11
211
*2
n
其中
n
11
1,所以用數(shù)學(xué)歸納法可證明以上結(jié)論。
例3:證明:假設(shè)a1,a2,,an0,那么有
高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
證明:考慮函數(shù)f*ln*f*
1*
a1a2an
n
*0,由于
,
f*
1*
2
0,*0
所以*0時,f*是凹函數(shù)。因此對于a1,a2,,an0由性質(zhì)有l(wèi)n
a1a2an
n
1n
lna1lna2lnan
ln
ln
a1a2an
nn
a1a2an
5〕多元函數(shù)幾何應(yīng)用
6〕多元函數(shù)的極值:拉格朗日乘數(shù)法。
例4:設(shè)f*在a,b上連續(xù),在a,b上可導(dǎo),fafb0。又g*在
a,b上連續(xù),證明:至少存在一點a,b使得fgf。
證明:由于g*在a,b上連續(xù),所以g*在a,b上存在原函數(shù)G*,即有G*g*。
考慮函數(shù)F*e
G*
f*,*a,b,那么有FaFb0,由羅爾中值定
理可得至少存在一點a,b使得Fe
G
fge
G
f0
因此至少存在一點a,b使得fgf。例5:設(shè)函數(shù)f*在[a,)上連續(xù),在a,上可導(dǎo),
〔1〕假如falimf*,證明:至少存在一點a,,使得f0。
*
〔2〕假如fa1,且對一切*a有f*ea*,證明:至少存在一點a,,使得fe
a
。
證明:〔1〕假如函數(shù)f*在[a,)上是常數(shù),那么對于任意的a,都有f0。下面設(shè)f*不是常數(shù),此種情形下存在ca,使得fafc,
高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
無妨設(shè)f
afc,取
f
cfa
2
,由于f
a
*
limf*,所以存在
*0,當(dāng)**時有
f*fa
fcfa
2
f*
fafc
2
fc
因此我們有f*fc,由此我們可得f*在a,*上的最大值不在端點取得,由最大值和最小值定理和費馬定理至少存在一點a,*a,使得f0(2)由于lime
*
a*
0,0f*ea*,由夾逼準那么得
0
lifm*
limf*
*
*
考慮函數(shù)F*f*e
a*
,那么有F*在[a,)上連續(xù),在a,上可導(dǎo),
并且FalimF*0,由〔1〕的結(jié)論可得至少存在一點a,,使得
*
Ffe
a
a
0fe。
例6:設(shè)函數(shù)f*在區(qū)間0,1上可微,f00,f11,1,2,n是n個正數(shù),且12n1,證明:存在*1,*2,,*n0,1使得
1f*1
2f*2
nf*n
1
證明:利用介值定理,存在c1,c2,,cn0,1使得fc11,fc212fc3123,,fcn112n1,無妨我們設(shè)c00,cn1,
對函數(shù)f*分別在以ci,ci1,i0,1,,n1為端點區(qū)間上運用拉格朗日中值定理可得,至少存在*i1在ci,ci1,i0,1,,n1之間使得f*i1
fci1fcici1ci
i1ci1ci
i1f*i1
ci1ci
i0,1,,n1
因此我們有
1f*1
2f*2
nf*n
c1c0c2c1cncn1cnc01
高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
例7:設(shè)f*在,上可導(dǎo),f00,f*f*,證明:f*0。證明:1〕設(shè)f*在0,內(nèi)的最大值為f*0,那么有
2f*0f*0f0*0f
這就得到在0,
1
上有f2
1
12
f
*0
f
*0
0
*0,特別是f
1
0;2
2〕設(shè)f*在
k1k
上有f,22
*0,設(shè)設(shè)f*
在
k1k2
內(nèi)的
2,2
最大值為f*1,那么有f*1f*1f
kk1
*f1
22
f
*
f
*10
這就得到在
k1k2
上有f
2,2
*0,
由數(shù)學(xué)歸納法可得在[0,)上有f*0。同理可得在(,0]上有f*0。
例8:設(shè)f*在a,b上有二階導(dǎo)數(shù),證明:存在a,b,使得
ba
abf*d*baf
2
ba
f
24
ab2
3
證明:設(shè)F*
*a
ftdt,將F*在點
處展成三階泰勒公式
23Fabab
**
262
ab
F
ababab2F*FF*2222
當(dāng)*a時,
abF
ababab20FF
2222
abf
abab2
ftdtf
222
23F1abab
262
23f1abab
〔1〕
622
ab
0
2a
高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
當(dāng)*b時,
abF
ababba2FbFF
2222
23F2baba
622
ba
ab
ftdt
2a
ab
f23fbaba2abba2
ftdtf(2)
222262
21得
ba
13f1f2ab
ftdtfbaba
2422
由于f*在1,2可導(dǎo),且
f1f2
2
在f1,f2之間,由達布定f1f2
2
3
理可得,存在1,2a,b使得f
,此時即有
ba
ab
f*d*baf
2
ba
f
24
例9:設(shè)f*在a,b上二階可導(dǎo),證明:對于*a,b,存在a,b使得
f
ba2
*fa
*
t*ab
a
2222
1111
bf*f
b
f
*
ft
t*ab
證明:構(gòu)造函數(shù)Ft
fff
*ab
,那么有FaF*Fb0,利用羅
爾中值定理,存在1a,*,2*,b有F1F20,再利用一次羅爾中值定,存在1,2a,b使得F0,又由于
ft
Ft
fff
2t*ab
222
1*ab
0111
,Ft
ftfff
2*ab
222
0*ab
0111
*ab*ab
fta*b*ba2b*faf*2a*fbf*
由此可得
高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
fa*b*ba2b*faf*2a*fbf*0
f即有
fba2
fba2
af*
a
*
bf*f
b
*
*fa
*
a
bf*f
b
f
*
1
1。2
例10:設(shè)函數(shù)f*在0,1連續(xù),在0,1內(nèi)可微,且f0f10,f
1
證明:〔1〕存在
,1使得f;2
〔2〕存在0,使得ff1。證明:〔1〕考慮函數(shù)F*f**,由于F
1
,1使得f;2
*
11
0,F110,由零22
點定理,存在
〔2〕考慮函數(shù)G*f**e存在0,使得Ge
,由于G00,G0,由羅爾中值定理,
f1ef0,即有
ff1。
四、練習(xí)題
1〕求函數(shù)y
112*4*
2
的n階導(dǎo)數(shù)。
k
2〕設(shè)f*在a,b上有n1階導(dǎo)數(shù),且f證明:存在a,b,使得f
n1
a
f
k
b0
,k0,1,2,,n,
f。
3〕設(shè)f*在a,b上有二階導(dǎo)數(shù),fafb0且存在ca,b使得fc0證明:存在a,b,使得f0。
4〕設(shè)f*在區(qū)間1,1上三次可微,證明:存在1,1,使得
高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
f6
f1f1
2
f0
5〕設(shè)函數(shù)f*在,上是導(dǎo)數(shù)連續(xù)的有界函數(shù),f*f*1,證明:f*1
高校數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)
第二講導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用
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