專題05 證圓的切線與求圓中線段、弧長、扇形面積之三大題型2024年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)名校模擬題重要考點分類匯編（江西專用）(解析版)

第第頁專題05證圓的切線與求圓中線段、弧長、扇形面積之三大題型目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一證明圓的切線和求線段半徑長】 1【題型二證明圓的切線和求弧長】 15【題型三證明圓的切線和求扇形的面積】 22【典型例題】【題型一證明圓的切線和求線段半徑長】例題：（2023·江西贛州·二模）如圖，為的弦，交于點，與過點的直線交于點，且．

(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并加以證明；(2)若，求的長．【答案】(1)與相切，證明見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)已知得出,根據(jù)等角對等邊得出，進而的，根據(jù)，即可得證；（2）由（1）知，根據(jù)已知以及余弦的定義，設(shè)，在中，勾股定理求得的值，進而求得在中，設(shè)，由勾股定理，建立方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：與相切；

理由：如圖，連接，

．，．．．，．．即

∴與相切（2）由（1）知，∴設(shè)，在中，，．得（舍去），；在中，設(shè)，由，即得．【點睛】本題考查了切線的判定，勾股定理，余弦的定義，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西九江·一模）在中，，平分交于點，以為半徑作．

(1)求證：直線是的切線．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過作于，得到，根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，于是得到與相切；（2）設(shè)則根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：過作于，

，平分，，，（），，與相切；（2）解：，設(shè)則，，，，，，在中，，即：，解得或（舍去），的半徑為．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，掌握切線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江西新余·一模）是的外接圓，，延長至點．

(1)如圖，若，且B為弧的中點，求證：是的切線；(2)如圖，若是的切線，且，，求圓的半徑及弦的長．【答案】(1)見解析(2)半徑為4；【分析】（1）連接，根據(jù)垂徑定理逆定理得出，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定得出，結(jié)合，即可判定四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及切線的判定定理即可得解；（2）過點作于，過點作于，連接，如圖，設(shè)的半徑為，則，，利用勾股定理得到，解方程得到，，再利用面積法求出，則，接著利用勾股定理計算出，，然后根據(jù)垂徑定理可得到的長度．【詳解】（1）證明：如圖，連接，

為弧的中點，，，，∵，，∴，，∵，四邊形為平行四邊形，∴，，是的半徑，是的切線；（2）解：過點作于，過點作于，連接，如圖，

設(shè)的半徑為，則，，是的切線，∴，，在中，，解得，，，∵∴∵，，，∴，∴，在中，，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，熟記切線的判定與性質(zhì)并添加合理的輔助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西宜春·二模）如圖，在中，，是的角平分線，以為圓心，為半徑作與直線交于、兩點．

(1)求證：是的切線；(2)求證：；(3)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)的半徑為【分析】（1）如圖，過點作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可求解；（2）連接，證明，再利用相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（3）根據(jù)正切函數(shù)的定義和（2）中的相似三角形可得，即可求出，進而可得答案．【詳解】（1）證明：如圖，過點作于，

，是的角平分線，為圓心，為半徑，是的切線.（2）證明：連接，

為的直徑，，，，，，，，．（3）解：在中，，，，，，，，的半徑為．【點睛】本題考查了圓的切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，是的直徑，點是圓上的一點，于點交于點，連接，若平分，過點作于點交于點．

(1)求證：是的切線；(2)延長和交于點，若，求的值；(3)在（2）的條件下，求的值．【答案】(1)見解析；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及等邊對等角得出，證明進而得出，即可得證；（2）根據(jù)題意，設(shè)，則，由，可得，根據(jù)，即可求解．（3）由（2）知：，勾股定理求得，然后證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：如圖1，連接，

，，平分，，，，，是的半徑，是的切線；（2）解：，設(shè)，則，，，，（3）解：由（2）知：，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的判定，求角的余弦，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江西吉安·模擬預(yù)測）如圖，是的內(nèi)接三角形，為的直徑，是直徑下方一點，且，連接交于點．

(1)如圖1，若，則；(2)如圖2，是延長線上一點，連接，且．①求證：與相切；②若的半徑為，，求的長．【答案】(1)；(2)①證明見解析；②．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角等于直角，得到，再利用等弧所對的圓周角相等，得到，然后利用三角形外角的性質(zhì)，即可求出的度數(shù)；（2）①連接，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，得出，再利用，得到，即可證明結(jié)論；②根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)，得出，再利用三角形內(nèi)角和定理，得到，進而證明是等腰直角三角形，得到，，即可求出的長．【詳解】（1）解：是的直徑，，，，，故答案為：；（2）解：①如圖，連接，，，，，，，由（1）知，，，，，，點在上，是的切線；

②，，，，，，，，由①知，，，是等腰直角三角形，，，．【點睛】本題是圓和三角形綜合題，考查了圓的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，圓的切線的判定定理，勾股定理等知識，靈活掌握相關(guān)知識點解決問題是解題關(guān)鍵．6．（2023·江西宜春·二模）如圖1，在四邊形ABCD中，，，AB是的直徑，CO平分．(1)求證：直線CD與相切；(2)如圖2，記（1）中的切點為E，P為優(yōu)弧上一點，．①求的直徑AB；②求的值．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）作于，根據(jù)證，得出，即可得出結(jié)論；（2）①作于，連接，則四邊形是矩形，得，，則，證、是的切線，由切線長定理得，，則，由勾股定理得，即；②則，證，由圓周角定理得，則，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：作于，如圖所示：則，，，，平分，，在和中，，，又，直線與相切．（2）作于，連接，如圖所示：，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，是的切線，由得是的切線，，，，

，；②，平分，，，，，

，，．【點睛】本題主要考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)、勾股定理、圓周角定理等知識，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)和圓周角定理，是解題的關(guān)鍵．【題型二證明圓的切線和求弧長】例題：（2023·江西·中考真題）如圖，在中，，以為直徑的與相交于點D，E為上一點，且．

(1)求的長；(2)若，求證：為的切線．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）如圖所示，連接，先求出，再由圓周角定理得到，進而求出，再根據(jù)弧長公式進行求解即可；（2）如圖所示，連接，先由三角形內(nèi)角和定理得到，則由圓周角定理可得，再由是的直徑，得到，進而求出，進一步推出，由此即可證明是的切線．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，∵是的直徑，且，∴，∵E為上一點，且，∴，∴，∴的長；

（2）證明：如圖所示，連接，∵，，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，即，∵是的半徑，∴是的切線．

【點睛】本題主要考查了切線的判定，求弧長，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西萍鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）如圖（1）是的直徑，且，點是半圓的中點，點是上一動點，將沿直線折疊交于點，連接，．(1)求證：；(2)當(dāng)點與點重合時，如圖（2），求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，根據(jù)圓周角定理可知，，可得，繼而得到，即；（2）證明是等邊三角形，可知所對圓心角為，利用弧長公式可求的長．【詳解】（1）證明：如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，又∵，，∴，∴，∴．（2）解：由（1）知，又∵，∴是等邊三角形，∴，∴所對圓心角為，∴的長為．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)、圓周角定理和弧長公式，根據(jù)題意及軸對稱的性質(zhì)作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023·江西吉安·三模）如圖，在中，，，是上的動點，以為圓心，的長為半徑作圓交于點，分別是上的點，將沿折疊，點與點恰好重合．

(1)如圖1，若，證明與直線相切；(2)如圖2，若經(jīng)過點，連接．①的長是；②判斷四邊形的形狀，并證明．【答案】(1)見解析(2)①；②四邊形為菱形，證明見解析【分析】（1）過點作的延長線于點，由等邊對等角得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求得，易求得，即可得證；（2）①易得，由，可得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，再由弧長公式計算即可求解；②由折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)平角的定義求得，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到，由，可得四邊形為平行四邊形，再由即可得證．【詳解】（1）證明：過點作的延長線于點，

則，，，，，，在中，，，，，與直線相切；（2）解：①若經(jīng)過點，則，，，，的長是；故答案為：；②四邊形為菱形，證明如下：由折疊可知，，，，，，，四邊形為平行四邊形，又，四邊形為菱形．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、三角形外角的性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、弧長公式、折疊的性質(zhì)、菱形的判定等知識點，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西上饒·二模）如圖，在邊長為6的等邊中，是上的點，以為圓心，的長為半徑作圓交于點，交于點．

(1)如圖1，點與點重合，⊙O與邊交于點．①連接，則的形狀是；②求的長；(2)如圖2，當(dāng)時，求證：與相切．【答案】(1)①等邊三角形；②(2)見解析【分析】（1）①連接、，由圓周角定理可得，，由等邊三角形的性質(zhì)可得分別為邊的中點，，從而得到，即可得證；②連接，證明為等邊三角形，得到，利用弧長公式計算即可；（2）過點作，垂足為，證明即可．【詳解】（1）解：①如圖，連接、，，是直徑，，，，是等邊三角形，分別為邊的中點，，，為等邊三角形，故答案為：等邊三角形；②如圖，連接，，由（1）可得：為等邊三角形，分別為邊的中點，，，，，，為等邊三角形，，為等邊三角形，，的邊長為6，，；（2）證明：過點作，垂足為，，的邊長為6，且是等邊三角形，，，，，，，，與相切．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長公式、圓周角定理、切線的判定定理、解直角三角形，熟練掌握以上知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．【題型三證明圓的切線和求扇形的面積】例題：（2023·江西撫州·三模）如圖，是的直徑，是弦，直線經(jīng)過點C，于點D，．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為6，，求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)得出，推出，得出，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）證明是等邊三角形，得出，，求出梯形的面積和扇形的面積，再根據(jù)．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；

（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，，在中，，∴，∴．【點睛】本題考查切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、扇形面積公式、勾股定理及平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江西鷹潭·二模）如圖，A為外一點，線段交于點B，，，的半徑為5，點P在上．

(1)當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的長；(2)當(dāng)與相切時，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由，得到，點P在上，則當(dāng)時，點P到的距離最大，此時的面積最大，設(shè)于點D，連接，則，在中，，得到，由勾股定理即可得到答案；（2）當(dāng)與相切時，如圖，連接，過點O作于點D，由切線性質(zhì)定理得到，由垂徑定理得到，則，利用勾股定理求得，，在中，由勾股定理即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵點P在上，∴當(dāng)時，點P到的距離最大，此時的面積最大，如圖，設(shè)于點D，連接，則，

在中，，∴，∴，在中，由勾股定理得，，即當(dāng)?shù)拿娣e最大時，的長為；（2）當(dāng)與相切時，如圖，連接，過點O作于點D，

則，，∴，在中，，在中，，在中，，即的長為．【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理等知識，準(zhǔn)確畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江西九江·三模）如圖，已知是的直徑，點是弧上的一點，于，點是弧的中點，交于點，交于點．

(1)判斷的形狀，并證明；(2)若，．①求的長．②求陰影部分的面積．【答案】(1)是等腰三角形，詳見解析(2)①；②【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得，從而可得，根據(jù)垂直定義可得，從而可得，然后根據(jù)已知可得，從而可得，進而可得，最后根據(jù)對頂角相等可得，從而可得，進而根據(jù)等角對等邊即可解答；（2）①由（1）得故可得所以再證明通過解直角，求出；②連接，可得是等邊三角形，故有根據(jù)可得結(jié)論．【詳解】（1）是等腰三角形，理由如下：∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∵D為弧的中點，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）①∵∴∵即∴∵∴∴∴在直角中，∵，∴∵∴；②連接如圖，

∵∴是等邊三角形，∴又∴．【點睛】本題考查了圓周角定理，扇形的面積等知識，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江西南昌·一模）如圖1，在中，，點在斜邊上，滿足，點在邊上，以點為圓心，為半徑畫圓，交邊于點，若剛好過點．(1)求證：是的切線；(2)如圖2，若是邊的三等分點，且，．①求兩點間的距離；②求圖中陰影部分的面積．【答案】(1)見解析(2)①4cm；②【分析】（1）連接，根據(jù)等邊對等角得到，，求出，得到，即可證明是的切線；（2）①連接，，得到，根據(jù)，求出，得到，利用勾股定理求出；②在中，求出，利用扇形的面積求出陰影的面積．【詳解】（1）證明：連接，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴∴，∴是的切線；（2）①連接，．∵是邊的三等分點，且，∴∵，∴，∵，∴，又，∴，∴∴．∵，∴，在中，；②在中，，∴，∴．【點睛】此題考查了證明直線是圓的切線，銳角三角函數(shù)，扇形的面積公式，勾股定理，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江西南昌·二模）如圖，點B為半外一點，AC為直徑，，，，AB與半交于點E，點P是AE上一動點，過點P作交于點D．(1)DP的最大值________；(2)如圖1，當(dāng)時，求證：BD是的切線；(3)如圖2，當(dāng)點D在的中點時，求圖中陰影部分的周長．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）過O點作OG⊥AB于F點，交于點G，理由勾股定理先