人教版八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元強(qiáng)化試卷檢測(cè)

人教版八年級(jí)初二數(shù)學(xué)下學(xué)期平行四邊形單元專題強(qiáng)化試卷檢測(cè)

一、選擇題

1.如圖，菱形A8CD中，ZABC=60°,A8=4,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O,E是線段8。上

一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是射線DC上一動(dòng)點(diǎn)，若/AEF=12O。，則線段EF的長(zhǎng)度的整數(shù)值的個(gè)數(shù)有

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.如圖所示，E為正方形ABCD的邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=AC,AE交CD于點(diǎn)F,那

3.如圖，NMQV=90°邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的頂點(diǎn)A3分別在邊,ONh

當(dāng)5在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，等邊三角形的形狀保持不變，運(yùn)動(dòng)過程

中，點(diǎn)C到點(diǎn)。的最大距離為（）

廠/-5

A.2.4B.V5c.V3+1D.-

4.正方形ABCD,CEFG按如圖放置，點(diǎn)B,C,E在同一條直線上，點(diǎn)P在BC邊上，

PA=PF,且/APF=9（）°，連接AF交CD于點(diǎn)M,有下列結(jié)論：①EC=BP；

22

②/BAP-NGFP；③AB~+CE——AF；④S正方形ABCD+S正方形CEFG=2sAPF.其中

正確的是（)

@@④c.?@@D.①②③④

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分/BAD,交BC于點(diǎn)E且AB=AE,延長(zhǎng)AB與DE

的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,連接AC、CF.下列結(jié)論：①AABC絲AEAD；②4ABE是等邊三角

形；③BF=AD；@SABEF—SAABC:⑤SACEF=SAABE;其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

6.平行四邊形的一邊長(zhǎng)是12,那么這個(gè)平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)可以是（）

A.10和34B.18和20C.14和10D.10和12

7.如圖所示，在四邊形A8C。中，AD^BC,E、尸分別是AB、CO的中點(diǎn)，

AD，的延長(zhǎng)線分別與￡戶的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)〃、G,則（）

A.ZAHE>ZBGEB.ZAHE=NBGE

C.ZAHE<ZBGED.NAHE與ZBGE的大小關(guān)系不確定

8.如圖，在菱形A8CO中，若E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，且CE=CD,連接￡>E,若

DE

AB=5,AC=S,則~=()

AD

4

D.

5

9.如圖，已知一個(gè)矩形紙片OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（10,0）,

點(diǎn)8（0,6）,點(diǎn)P為8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，將AO8P沿0P折疊得至必。PD,連接CD、AD.則

下列結(jié)論中：①當(dāng)/BOP=45。時(shí)，四邊形。8PD為正方形；②當(dāng)NBOP=30。時(shí)，△OAD的

面積為15；③當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過程中，CD的最小值為2取-6；④當(dāng)ODLAD時(shí)，BP=

2.其中結(jié)論正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

10.如圖，在平行四邊形ABC。中，AE平分44。，交于點(diǎn)E且A6=A￡，延長(zhǎng)

A5與OE的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸，連接AC、C尸.下列結(jié)論：①△ABC也△E4D；

②AABE是等邊三角形；?BF^AD-,④S△耐=5。笈；⑤5.“-=5。的；其中正

確的有（）

C.4個(gè)D.5個(gè)

二、填空題

11.如圖，RtAABC中，/C=90。，AC=2,BC=5,點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)且CD=1,點(diǎn)P是線段

DB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,以AP為斜邊在AP的下方作等腰RMAOP.當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)

12.如圖，菱形ABCO的BC邊在X軸上，頂點(diǎn)。坐標(biāo)為（一3,0）,頂點(diǎn)。坐標(biāo)為

（0,4）,點(diǎn)E在y軸上，線段防//x軸，且點(diǎn)尸坐標(biāo)為（8,6）,若菱形ABC0沿x軸左

右運(yùn)動(dòng)，連接4E、DF，則運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形AOFE周長(zhǎng)的最小值是.

13.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中點(diǎn)，作CE_LAB,垂足E在線段

AB±,連接EF、CF,則下列結(jié)論：⑴NDCF+g/D=90°；⑵NAEF+NECF=90°；

⑶SBEC=2ScEF；⑷若NB=80°,則NAEF=50。.其中一定成立的是（把所有正確結(jié)

論的字號(hào)都填在橫線上）.

14.如圖，中，/8=90°,43=35，將248￡繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到

過。作OC_L8E交砥的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C,連接8"并延長(zhǎng)交OC于點(diǎn)F，連接

DE交BF于點(diǎn)、0.下列結(jié)論：①。七平分NHOC；②。O=QE；③CD=HF；

@BC-CF=2CE；⑤”是8F的中點(diǎn)，其中正確的是

15.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M,下列結(jié)論：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是4AEG的中線；④/EAM=/ABC.其中正確的是.

16.在ABC1中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC邊上的高.將ABC按如圖所示的方

式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則。所的周長(zhǎng)為.

17.如圖，在矩形ABCD中，NACB=30。，BC=21J,點(diǎn)E是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B,

C重合），連接AE,AE的中垂線FG分別交AE于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)G,連接DG,GE.設(shè)

AG=a,則點(diǎn)G到BC邊的距離為（用含a的代數(shù)式表示），ADG的面積的最小值為

18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=gx+l與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)，以AB為

邊在第二象限內(nèi)作正方形ABCD,則D點(diǎn)坐標(biāo)是；在y軸上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M,當(dāng)

△MDC的周長(zhǎng)值最小時(shí)，則這個(gè)最小值是.

19.如圖，點(diǎn)￡、F分別在平行四邊形A8CD邊BC和4?上（E、F都不與兩端點(diǎn)重合），

連結(jié)AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于點(diǎn)G,DE和CF交于點(diǎn)H.令——=〃，

BC

EC

一=加.若用=〃，則圖中有個(gè)平行四邊形（不添加別的輔助線）；若

BC

rn+n=\,且四邊形ABCD的面積為28,則四邊形FGE”的面積為.

D

20.如圖，在RtZVlBC中，ZACB=90°,AC=8,8c=6,點(diǎn)。為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AD

=4,連接BD,取BD的中點(diǎn)￡,連接CE,則CE的最大值為.

三、解答題

21.在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與B,C重合），以AD為邊

在AD的上方作菱形ADEF,且/DAF=60。，連接CF.

（1）（觀察猜想）如圖（1）,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，

①NBCF=

②BC,CD,CF之間數(shù)量關(guān)系為.

（2）（數(shù)學(xué)思考）：如圖（2）,當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中兩個(gè)結(jié)論是否

仍然成立？請(qǐng)說明理由.

（3）（拓展應(yīng)用）：如圖（3）,當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AB=6,

CD=；BC,請(qǐng)直接寫出C尸的長(zhǎng)及菱形ADEF的面積.

圖（2）圖（3）

圖（1）

22.如圖，平行四邊形A8CO的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)0,分別過點(diǎn)C、。作

CF//BD,DF//AC,連接3F交AC于點(diǎn)E.

⑴求證：FCE^BOE；

（2）當(dāng)NADC等于多少度時(shí)，四邊形OCRD為菱形?請(qǐng)說明理由.

23.如圖1,在正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別在邊BC、CD上，AM、AN分別交BD于點(diǎn)

P、Q，連接CQ、MQ.且CQ=MQ.

（1）求證：/.QAB=Z.QMC

（2）求證：NAQM=90°

圖1圖2

24.正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)。，點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線BD上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B,0,D重合），連接CP并延長(zhǎng)，分別過點(diǎn)D,B向射線作垂線，垂

足分別為點(diǎn)M,N.

（備用圖）

（1）補(bǔ)全圖形，并求證：DM=CN；

（2）連接OM,ON,判斷OMN的形狀并證明.

25.如圖，在矩形A8CO中，E是AD的中點(diǎn)，將AABE沿破折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

（1）填空：如圖1,當(dāng)點(diǎn)G恰好在邊上時(shí)，四邊形A8G￡的形狀是；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在矩形A88內(nèi)部時(shí)，延長(zhǎng)BG交。。邊于點(diǎn)

①求證：BF=AB+DF.

②若A。=GAB,試探索線段與尸c的數(shù)量關(guān)系.

26.如圖平行四邊形A8CD,E,F分別是AD,8c上的點(diǎn)，且4E=CF,EF與AC交于點(diǎn)0.

（1）如圖①.求證：OE=OF；

（2）如圖②，將平行四邊形ABCD（紙片沿直線EF折疊，點(diǎn)4落在4處，點(diǎn)8落在點(diǎn)防

處，設(shè)FB交CD于點(diǎn)G.4B分別交CD,DE于點(diǎn)H,P.請(qǐng)?jiān)谡郫B后的圖形中找一條線

段，使它與EP相等，并加以證明；

（3）如圖③，若AAB。是等邊三角形，AB=4,點(diǎn)F在BC邊上，且8F=4.則——

OF

（直接填結(jié)果）.

圖①

27.已知如圖1,四邊形A8CO是正方形，NE4R=45".

（1）如圖1,若點(diǎn)E,廠分別在邊BC、CD上，延長(zhǎng)線段C8至G,使得若

BE=3,BG=2,求￡尸的長(zhǎng);

圖I

（2）如圖2,若點(diǎn)瓦F分別在邊CB、。。延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：EF=DF—BE.

（3）如圖3,如果四邊形4BCD不是正方形，但滿足

46=4。,/54。=/88=90°,/胡尸=45°,且8。=7,OC=13,CF=5,請(qǐng)你直接

寫出班的長(zhǎng).

28.在平面直角坐標(biāo)中，四邊形OCNM為矩形，如圖1,M點(diǎn)坐標(biāo)為（m,0）,C點(diǎn)坐標(biāo)

為（0,n）,已知m,n滿足A—5+|5-同=。.

（2）①如圖1，P,Q分別為OM,MN上一點(diǎn)，若NPCQ=45。，求證：PQ=OP+NQ；

②如圖2,S,G,R,H分別為OC,OM,MN,NC上一點(diǎn)，SR,HG交于點(diǎn)D.若NSDG=

135°,HG=W^，則RS=:

2

(3)如圖3,在矩形OABC中，0A=5,0C=3,點(diǎn)F在邊BC上且OF=OA,連接AF,動(dòng)

點(diǎn)P在線段OF是(動(dòng)點(diǎn)P與。，F(xiàn)不重合)，動(dòng)點(diǎn)Q在線段0A的延長(zhǎng)線上，且AQ=

FP,連接PQ交AF于點(diǎn)N,作PMLAF于M.試問：當(dāng)P,Q在移動(dòng)過程中，線段MN的

長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若不變求出線段MN的長(zhǎng)度；若變化，請(qǐng)說明理由.

29.閱讀下列材料，并解決問題：

如圖1,在RtMBC中，NC=90°,AC=8，8C=6,點(diǎn)。為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)(不與

4n

A、C重合)，以A。，3。為邊構(gòu)造ADBE，求對(duì)角線OE的最小值及此時(shí)的值

AC

是多少.

圖1

在解決這個(gè)問題時(shí)，小紅畫出了一個(gè)以A。，BO為邊的ADBE(如圖2),設(shè)平行四

邊形對(duì)角線的交點(diǎn)為0,則有AO=BO.于是得出當(dāng)ODJ_4c時(shí)，OD最短，此時(shí)

￡)￡取最小值，得出DE的最小值為6.

圖2

參考小紅的做法，解決以下問題：

(1)繼續(xù)完成閱讀材料中的問題：當(dāng)。E的長(zhǎng)度最小時(shí)，-=；

AC

(2)如圖3,延長(zhǎng)到點(diǎn)尸，使AF=1cM.以O(shè)R,為邊作FDBE，求對(duì)角線

An

OE的最小值及此時(shí)——的值.

AC

30.已知：如圖，在A6C中，直線PQ垂直平分AC,與邊A3交于點(diǎn)E,連接CE,

過點(diǎn)。作。///84交P。于點(diǎn)F，連接

⑴求證：四邊形AEC尸是菱形；

(2)若AC=8,AE=5,則求菱形AECF的面積.

B

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.c

解析：c

【解析】

【分析】

連結(jié)CE,根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定可得AA8用ACBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

可得AE=CE,igzOCE^a,ZOAE^a,ZAEO=90°-a,可得NECF=NEFC,根據(jù)等角對(duì)

等邊可得CE=EF,從而得到AE=EF,在R3A8。中，根據(jù)含30。的直角三角形的性質(zhì)得到

40=2,可得2aE",從而得到EF的長(zhǎng)的整數(shù)值可能是2,3,4.

【詳解】

解：如圖，連結(jié)CE

C

..,在菱形A8CD中，AB=BC,ZABE=NCBE=30°,BE=BE,

△ABE^△CBE,

AE=CE,

0CE=a,Z0AE=a,ZAEO=90°-a,

：.ZDEF^120°-(90°-a)=30°+a,

/.ZEFC=ZCDE+NDEF=30°+30°+a=60°+a,

ZECF=NDCO+ZOCE=60°+a,

：.ZECF=NEFC,

：.CE=EF,

：.AE=EF,

■■■AB=4,ZABE=30°,

在RtAABO中,40=2,

OA<AE<AB,

：.2<AE<4,

.??A￡的長(zhǎng)的整數(shù)值可能是2,3,4,即EF的長(zhǎng)的整數(shù)值可能是2,3,4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，根據(jù)含30。的直角三角形的

性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，證明448艮△CBE.

2.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得NE=NCAE,然后根據(jù)正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)角以及三角

形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出/E=22.5。，再根據(jù)三角形的一個(gè)

外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

【詳解】

解：VCE=AC,

.,.ZE=ZCAE,

VAC是正方形ABCD的對(duì)角線，

.".ZACB=45°,

.?.ZE+ZCAE=45°,

AZE--X450=22.5。，

2

在ACEF中，/AFC=/E+NECF=22.5°+90°=112.5°.

故答案為：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，主要利用了正方形的對(duì)角線平分一組對(duì)

角，等邊對(duì)等角，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

3.C

解析：C

【解析】

【分析】

如圖，取AB的中點(diǎn)D.連接CD.根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得到OC小于等于OD+DC,只

有當(dāng)0、D及C共線時(shí)，OC取得最大值，最大值為OD+CD,由等邊三角形的邊長(zhǎng)為2,

根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到BD為1,根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB,在直角三角形BCD

中，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據(jù)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長(zhǎng)求出OD的

長(zhǎng)，進(jìn)而求出DC+OD,即為OC的最大值.

【詳解】

解：如圖，取AB的中點(diǎn)D,連接CD.

ABC是等邊三角形，且邊長(zhǎng)是2,；.BC=AB=2,

:點(diǎn)D是AB邊中點(diǎn)，

.?.BD=-AB=1,

2

CD=ylBC2-BD2=產(chǎn)了=6即CD=也；

連接OD,OC,有OCWOD+DC,

當(dāng)0、D、C共線時(shí)，0C有最大值，最大值是OD+CD,

由（1）得，CD=G，

又「△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，

AOD=-AB=1,

2

.?.OD+CD=1+百，即OC的最大值為1+6.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定

理，其中找出0C最大時(shí)的長(zhǎng)為CD+OD是解本題的關(guān)鍵.

4.D

解析:D

【分析】

①由同角的余角相等可證出RF=84P,由此即可得出所=BP，再根據(jù)正方形的性

質(zhì)即可得出①成立；②根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出NGEP=NE尸尸，再由=即

可得出②成立；③在RtAABP中，利用勾股定理即可得出③成立；④結(jié)合③即可得出④成

【詳解】

解：①ZEPF+ZAPH=90°,ZAPB+ZBAP=90°,

：.ZEPF=ZBAP,

在和A班P中，

'/EPF=NBAP

<NFEP=NPBA,

PA=PF

:.AEPF^^BAP(AAS),

:.EF=BP,

四邊形C￡FG為正方形，

：.EC=EF=BP,即①成立；

②FG//EC,

:.Z.GFP=Z.EPF,

又ZEPF=ZBAP,

:.ZBAP=ZGFP,即②成立；

③由①可知￡C=8P,

在RtAABP中，AB2+BP2=AP2>

B4=PF-S.NAPE=9O°,

.?.△APb為等腰直角三角形，

AF2=AP2+FP1=2AP2,

AB'+BP2AB1+CE1AP-AF1,即③成立；

2

222

④由③可知：AB+CE^AP^

..5正方形48CO+S正方mcGFE=2S,MPF，即④成立.

故成立的結(jié)論有①②③④.

故選：D.

D,A

ECpB

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及勾股定理，解題

的關(guān)鍵是逐條分析五條結(jié)論是否正確.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，

通過證明三角形全等以及利用勾股定理等來驗(yàn)證題中各結(jié)論是否成立是關(guān)鍵.

5.B

解析：B

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃BC,AD=BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NBEA=NEAD,根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)可得ZABE=NBEA,即可證明/EAD=NABE,利用SAS可證明

△ABC^AEAD；可得①正確；由角平分線的定義可得NBAE=NEAD,即可證明

ZABE=ZBEA=ZBAE,可得AB=BE=AE,得出②正確；由SAAEC=SMEC,SAABE=SACEF得出

⑤正確；題中③和④不正確.綜上即可得答案.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,AD=BC,

/.ZBEA=ZEAD,

：AB=AE,

.,.ZABE=ZBEA,

；./EAD=/ABE,

AB=AE

在4ABC和AEAD中，<ZABE=ZEAD,

BC=AD

/.△ABC^AEAD（SAS）；故①正確；

VAE平分/BAD,

/BAE=NDAE,

NABE=NBEA=NBAE,

.,.ZBAE=ZBEA,

，AB=BE=AE,

...△ABE是等邊三角形；②正確；

AZABE=ZEAD=60°,

:△FCD與^ABC等底（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等），

SAFCD=SAABC>

VAAEC與4DEC同底等高，

?,?SAAEC=SADECJ

**?SAABE=SACEF:⑤正確.

若AD二BF,則BF=BC,題中未限定這一條件，

，③不一定正確；

如圖，過點(diǎn)E作EH_LAB于H,過點(diǎn)A作AGJ_BC于G,

VAABE是等邊三角形，

AAG=EH,

若SMEF=SMBC,則BF二BC,題中未限定這一條件,

，④不一定正確；

綜上所述：正確的有①②⑤.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練

掌握等底、等高的三角形面積相等的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

6.B

解析：B

【分析】

作CE〃BD,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到4ACE中，

AE=2AB=24,再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到答案.

【詳解】

解：如圖，作CE〃BD,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

VAB=CD,DC/7AB

...四邊形BECD是平行四邊形，

；.CE=BD,BE=CD=AB,

.?.在4ACE中，AE=2AB=24<AC+CE,

四個(gè)選項(xiàng)中只有A,B符合條件，但是10,34,24不符合三邊關(guān)系,

故選:B.

【點(diǎn)睛】

此題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，利用平行線將對(duì)角線及邊轉(zhuǎn)化為三角形

是解題的關(guān)鍵.

7.B

解析：B

【分析】

連接BD,取中點(diǎn)I,連接IE,IF,根據(jù)三角形中位線定理得IE=^2AD,且平行AD,IF=

2

^BC且平行BC,再利用AD>BC和IE〃AD,求證NAHE=NIEF,同理可證/BGE=

2

ZIFE,再利用IE>IF和NAHE=NIEF,/BGE=NIFE即可得出結(jié)論.

【詳解】

連接BD,取中點(diǎn)I,連接IE,IF

VE,F分別是AB,CD的中點(diǎn)，

.'IE,IF分另lj是AABD,ABDC的中位線,

—2AD,且平行AD,IF=，BC且平行BC,

22

VAD>BC,

VIE/7AD,

/AHE=NIEF,

同理NBGE=NIFE,

;在AIEF中,IE>IF,

.".ZIFE>ZIEF,

VZAHE=ZIEF,ZBGE=ZIFE,

AZBGE>ZAHE.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查學(xué)生對(duì)三角形中位線定理和三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，有一定

的拔高難度，屬于難題.

8.B

解析：B

【分析】

連接BD,與AC相交于點(diǎn)0,則ACLBD,A0=-AC=4,由A￡)=AB=5,根據(jù)勾股

2

定理求出D0,求出E0,由勾股定理求出DE,即可得到答案.

【詳解】

解：連接BD,與AC相交于點(diǎn)。，則ACLBD,

在菱形A8CD中，A0=-AC=4,

2

'：AD=AB=CD=5,

在RtAAOD中，由勾股定理，得：

DOfj?=3,

;CE=CD=5,4c=8,

AE=8—5=3,

.??O￡=4—3=1,

在RtAODE中，由勾股定理，得

DE=S+f=715,

.DEVio

??---=----.

AD5

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，以及線段的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助

線，利用勾股定理求出DE的長(zhǎng)度.

9.D

解析：D

【分析】

①由矩形的性質(zhì)得到NO3C=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到0B=0D,

1PDO?OBP90?,/BOP=/DOP,推出四邊形是矩形，根據(jù)正方形的判定

定理即可得到四邊形08叨為正方形；故①正確；

②過。作于H,得到。4=10,08=6,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

!。。=3,根據(jù)三角形的面積公式得到△Q4Z)的面積為g映10=15,

故②正確；

③連接0C,于是得到8+CD.OC,即當(dāng)OD+CD=OC時(shí)，8取最小值，根據(jù)勾

股定理得到CO的最小值為2后-6；故③正確；

④根據(jù)已知條件推出P,D，A三點(diǎn)共線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到？。尸82P0A,等量

代換得到？OR41POA,求得公=3=10,根據(jù)勾股定理得到

BP=BC-CP=10-8=2,故④正確.

【詳解】

解：①四邊形。ACB是矩形，

.?.NOBC=90。，

將bOBP沿OP折疊得到AOPO,

：.OB=OD,1PDO?OBP90?,/BOP=/DOP,

Q?BOP45?,

\?DOP?BOP45?,

:.ZBOD=90°,

\?BOD?OBP?ODP90?,

.??四邊形O3PD是矩形，

OB=OD,

二四邊形OBPD為正方形；故①正確；

②過。作于

點(diǎn)4(10,0),點(diǎn)6(0,6),

.?.OA=10,OB=6,

\OD=OB=6,?BOP?DOP30?,

\?DOA30?,

\DH=-OD=3,

2

.?.△Q4O的面積為:OAgD4=拗10=15,故②正確：

③連接OC,

則O￡>+CD..OC,

即當(dāng)OO+8=OC時(shí)，CD取最小值，

QAC=OB=6,04=10,

\OC=-JOA2+AC2=V102+62=2A/34，

\CD=OC-OD=2>/34-6,

即CO的最小值為2后-6;故③正確；

④OD1AD,

ZADO=90°,

Q?ODP?OBP90?,

\?ADP180?,

:.P,D，A三點(diǎn)共線，

QOA//CB,

\?OPB?POA,

Q?OPB?OPD,

\?OPA?POA,

\AP=OA=10,

AC=6,

\CP=V102-62=8-

\BP=BC-CP=10-8=2,故④正確;

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形的

面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

10.B

解析：B

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義得出得出AB=8E=AE,得出②正確；

由AABE是等邊三角形得出NA8E=/EAD=60。，由5As證明△ABCg/XEAD,得出①正確；由

SAA￡C=SAO￡C,5A48￡=5AC￡F得出⑤正確；③和④不正確.

【詳解】

解：...四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ZEAD=ZAEB,

又■平分NBA。，

：.ZBAE=ZDAE,

：.ZBAE=ZBEA,

：.AB=BE,

"：AB=AE,

...△ABE是等邊三角形；②正確；

ZABE=ZEAD^60°,

在和小。中，

AB=AE

<NABE=ZEAD,

BC=AD

：./\ABC^/\EAD（S4S）；①正確；

?.?△/<。與2^8（7等底（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等），

?'?S^FCD=S^ABC9

又?:△AEC與△￡＞或同底等高,

S/\4EC=SAD￡C,

S/^BE=S^CEF；⑤正確.

若A。與BF相等，則BF=BC,

題中未限定這一條件，

...③不一定正確；

若S^BEF-S^ACD;貝!JSABEF=S.ABC.

則AB=BF,

:.BF=BE,題中未限定這一條件，

...④不一定正確；

正確的有①②⑤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三

角形的面積關(guān)系；此題比較復(fù)雜，注意將每個(gè)問題仔細(xì)分析.

二、填空題

11.272

【解析】

分析：過。點(diǎn)作OELCA于E,OFLBC于F,連接C。，如圖，易得四邊形OECF為矩形，

由ZiAOP為等腰直角三角形得至ljOA=OP,NAOP=90°,則可證明AOAE絲△OPF,所以

AE=PF,OE=OF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理得到CO平分NACP,從而可判斷當(dāng)P

從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線段，接著證明

CE=g(AC+CP),然后分別計(jì)算P點(diǎn)在D點(diǎn)和B點(diǎn)時(shí)0C的長(zhǎng)，從而計(jì)算它們的差即可得

到P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng).

詳解：過。點(diǎn)作OE_LCA于E,OFJ_BC于F,連接C。，如圖，

'??△AOP為等腰直角三角形,

AOA=OP,ZAOP=90°,

易得四邊形OECF為矩形,

ZEOF=90",CE=CF,

/.ZAOE=ZPOF,

.?.△OAE^AOPF,

，AE=PF,OE=OF,

ACO平分NACP,

當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)0的運(yùn)動(dòng)路徑為一條線段，

VAE=PF,

即AC-CE=CF-CP,

而CE=CF,

1,、

CE=—(AC+CP),

2

/y

.\0C=J2CE=—(AC+CP),

2

當(dāng)AC=2,CP=CD=1時(shí)，0C=—x(2+1),

22

當(dāng)AC=2,CP=CB=5時(shí)，0C=—x(2+5)=￡1,

22

...當(dāng)P從點(diǎn)D出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B停止時(shí)，點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=述-￡1=20.

22

故答案為2后.

點(diǎn)睛：本題考查了軌跡：靈活運(yùn)用幾何性質(zhì)確定圖形運(yùn)動(dòng)過程中不變的幾何量，從而判定

軌跡的幾何特征，然后進(jìn)行幾何計(jì)算.也考查了全等三角形的判定與性質(zhì).

12.18

【分析】

由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形ADFE周長(zhǎng)的最小，AE+DF的和應(yīng)是最小的，運(yùn)

用"將軍飲馬"模型作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Ei,同時(shí)作DF〃AFi,此時(shí)AE+DF的和即為

EiFi,再求四邊形A0EE周長(zhǎng)的最小值.

【詳解】

在RtZ\COD中，0C=3,0D=4,

CD-7OC2+OD2=5-

A8CO是菱形，

.".AD=CD=5,

?.?尸坐標(biāo)為(8,6),點(diǎn)E在軸上，

；.EF=8,

圖1

作點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)Ei,同時(shí)作DF〃AFi,

則Ei(0,2),Fi(3,6),

則EiFi即為所求線段和的最小值，

在RtAAEiFi中，E1F1=JEEJ+E甲=J(6-2)2+(8-5)2=5，

四邊形ADEE■周長(zhǎng)的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EiFi=5+8+5=18.

本題考查菱形的性質(zhì)、"將軍飲馬”作對(duì)稱點(diǎn)求線段和的最小值，比較綜合，難度較大.

13.⑴⑵⑷

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出⑴正確；

由ASA證明4AEF絲△DMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得

出CF='EM=EF,由等腰三角形的性質(zhì)得出NFEC=NECF,得出⑵正確；

2

證出SAEFC=SACFM,由MC>BE,得出SABECV2sAEFC,得出⑶錯(cuò)誤；

由平行線的性質(zhì)和互余兩角的關(guān)系得出⑷正確；即可得出結(jié)論.

【詳解】

⑴；F是AD的中點(diǎn),

；.AF=FD,

?.,在。ABCD中，AD=2AB,

.?.AF=FD=CD=AB,

AZDFC=ZDCF,

：AD〃BC,

.".ZDFC=ZFCB,ZBCD+ZD=180°,

ZDCF=ZBCF,

I

AZDCF=—ZBCD,

2

AZDCF+-ZD=90°,故⑴正確；

2

(2)延長(zhǎng)EF,交CD延長(zhǎng)線于M,如圖所示：

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AB〃CD,

ZA=ZMDF,

為AD中點(diǎn)，

；.AF=FD,

在4AEF和△DMF中，

NA=NFDM

<AF=DF,

ZAFE=NDFM

.?.△AEF名△DMF(ASA),

；.EF=MF,ZAEF=ZM,

VCE1AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

1

r.CF=-EM=EF,

2

AZFEC=ZECF,

ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90°,故⑵正確；

(3)VEF=FM,

SAEFC=SACFM,

VMOBE,

SABEC<2S&EFC,故⑶錯(cuò)誤；

⑷：NB=80。，

/BCE=90°-80°=10°,

VAB/7CD,

AZBCD=180<,-80°=100°,

1

：.ZBCF=-ZBCD=50°,

2

，/FEC=NECF=50°-10°=40°,

/.ZAEF=90°-40o=50",故⑷正確.

故答案為：⑴⑵⑷.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性

質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明

△AEF絲△DMF是解題關(guān)鍵.

14.①②④⑤

【分析】

根據(jù)/B=90。，AB=BE,AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，得到AAHD,可得AABEWAAHD,并且

△ABE和ZiAHD都是等腰直角三角形，可證AD〃BC,根據(jù)DCLBC,可得NHDE=NCDE,根

據(jù)三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,即DE平分/HDC,所以①正確；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四邊形ABCD是矩形，有NADC=90。,ZHDC=45°,由

①有DE平分NHDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,/DHO=22.5°,可證OD=OH,

利用AE=AD易證NOHE=NHEO=67.5°,則有OE=OH,OD=OE,所以②正確;

利用AAS證明ADHE三ADCE,則有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5°,易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,則ADHF不是直角三角形，并DHHHF,即有：CDMHF,所以③錯(cuò)誤；

根據(jù)AABE是等腰直角三角形，川J_JE,：J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，得到2M=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易證BC-CF=2CE,所以④正確；

過H作HJ_LBC于J,并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I,得IUAD,I是AD的中點(diǎn)，J是BC的中點(diǎn)，

H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；

【詳解】

「R3ABE中，ZB=90°,AB=BE,

ZBAE=ZBEA=45",

又二將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到MHD,

.".△ABE^AAHD,并且ZkABE和AAHD都是等腰直角三角形，

/.ZEAD=45",AE=AD,/AHD=90°,

.\ZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

/.AD//BC,

，NADE=NDEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

ZDCE=ZDHE=90°

二由三角形的內(nèi)角和可得NHDE=/CDE,

即：DE平分NHDC,所以①正確；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

四邊形ABCD是矩形，

，NADC=90。，

，/HDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

ZHDO=—ZHDC=-x45°=22.5°,

22

VZBAE=45",AB=AH,

ZOHE=ZAHB=(180°-ZBAE)=—x(180°-45°)=67.5,>,

ZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°,

.\OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

，NAED=y(180°-ZEAD)=；x(180°-45°)=67.5°,

.,.ZOHE=ZHEO=67.5°,

.,.OE=OH,

，OD=OE,所以②正確；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

<NHDE=NCDE,

DE=DE

.".△DHE=ADCE(AAS),

，DH=DC,NHDE=NCDE」x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

AZDHF=22.5°,

.".ZDFH=180°-ZHDF-ZDHF=180°-45°-22.5°=112.5°,

...△DHF不是直角三角形，并DHHHF,

即有：CDxHF,所以③不正確；

如圖，過H作HUBC于J,并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I,

「△ABE是等腰直角三角形，JHLE,

.,.JH=JE,

又是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn),

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

；.2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正確；

VAD//BC,

AIJ1AD,

又???△AHD是等腰直角三角形，

是AD的中點(diǎn)，

:四邊形ABCD是矩形,HJ1BC,

：.J是BC的中點(diǎn)，

，H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；

綜上所述，正確的有①②④⑤，

故答案為：①②④⑤.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

15.①②③④

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明aASG絲△AEC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；

設(shè)8G、CE相交于點(diǎn)N,AC、8G相交于點(diǎn)K,如圖1,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得

NACE=NAGB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得/CNG=/CAG=90。，于是可判斷②；

過點(diǎn)E作EPA.HA的延長(zhǎng)線于P,過點(diǎn)G作GQLAM于Q,如圖2,根據(jù)余角的性質(zhì)即可判

斷④；利用AAS即可證明嶺△)「，可得EP=AH,同理可證GQ=AH,從而得到EP

=GQ,再利用AAS可證明絲△GQM,可得EM=GM,從而可判斷③，于是可得答

案.

【詳解】

解：SABDEACFG41，AB=AE,AC=AG,ZBAE^ZCAG=90°,

：.NBAE+NBAC=ZCAG+ZBAC,

即/CAE=NBAG,

A/\ABG^/\AEC(SAS),

：.BG=CE,故①正確；

設(shè)BG、CE相交于點(diǎn)N,AC、8G相交于點(diǎn)K,如圖1,

圖1

ZVI8Gg"EC,

ZACE=ZAGB,

"?NAKG=NNKC,

：.ZCNG=ZCAG=90°,

：.BG±CE,故②正確；

過點(diǎn)E作EPLHA的延長(zhǎng)線于P,過點(diǎn)G作GQJ_A/W于Q,如圖2,

圖2

\'AH1BC,

：.ZABH+ZBAH=90°,

'：ZBAE=90°,

：.ZEAP+ZBAH=90°,

:.NABH=NEAP,即NEAM=NA8C,故④正確；

VZAHB=ZP=90°,AB=AE,

：./\ABH^/\EAP(A4S),

：.EP^AH,

同理可得GQ=AH,

：.EP=GQ,

?.?在和△GQM中，

"NP=NMQG=90。

<NEMP=NGMQ,

EP=GQ

.?.△EPM絲△GQM(AAS),

：.EM=GM,

是AAEG的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確.

故答案為：①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線

構(gòu)造出全等三角形是難點(diǎn)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

16.15.5

【分析】

先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE=0E,NE4￡>=NEZM,再根據(jù)垂直的定義、直角三角形的性

質(zhì)可得NB=NBDE，又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得3E=DE,從而可得

DE=AE=BE=6,同理可得出OF=AF=CF=5,然后根據(jù)三角形中位線定理可得

EF=-BC=4.5,最后根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得.

2

【詳解】

由折疊的性質(zhì)得：AE=DE,ZEAD=ZEDA

AD是BC邊上的高，即

Z5+ZEAD=90°,ZBDE+NEDA=90°

.-.ZB=ZBDE

:.BE=DE

：.DE=AE=BEAB=-x12-6

22

同理可得：=AE=C/=』AC=LX10=5

22

又AE=BE,AF=CF

二點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)

:.EF是ABC的中位線

,-.EF=-BC=-x9=4.5

22

則。所的周長(zhǎng)為。E+O尸+防=6+5+4.5=15.5

故答案為：15.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出8E