2018年高考理數(shù)真題試題（全國Ⅰ卷）(+答案+解析)

2018年高考理數(shù)真題試卷(全國工卷)

一、選擇題：

1.設(shè)z=g+2i，則\z\=()

A.0B.-C.1D.V2

2

2.已知集合A={x\x2-x-2>0],則CRA=()

A.{x|-1<%<2}B.{x|-1<%<2]

C.{x\x<-1}U{x\x>2}D.{x\x<-1}U{x\x>2]

3.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番。為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟

收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例。得到如下餅圖：

建設(shè)前經(jīng)濟收入構(gòu)成比例建設(shè)后經(jīng)濟收入構(gòu)成比例

則下面結(jié)論中不正確的是()

A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少

B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上

C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍

D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半

4.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若3s3=S?+54,%=2,則a5=()

A.-12B.-10C.10D.12

5.設(shè)函數(shù)/(x)=x3+(a-l)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為

()

A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x

6.在AABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則說=()

^-AB--AC3.-AB--ACC.-AB+-ACD,-AB+-AC

44444444

7.某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如右圖。圓柱表面上的點M在正視圖上的對應(yīng)點為A,圓柱

表面上的點N在左視圖上的對應(yīng)點為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()

A

B

A.2Vo17B.2V5C.3D.2

8.設(shè)拋物線C-.y2=4x的焦點為F,過點(-2,0)且斜率為|的直線與C交于M,N兩點，則前?麗=()

A.5B.6C,7D.8

9.已知函數(shù)/(x)=，5(x)=/(x)+X+a.若g(x)存在2個零點，則a的取值范圍是()

A.[-1,0)B.[0,+河c.[―1,+叼D.[1,+叼

10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角

三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.AABC的三邊所圍成的區(qū)域記為工,黑色部分記為口,其余部分記為

田，在整個圖形中隨機取一點，此點取自工、口、□!的概率分別記為PI，P2，P3，則()

A.Pi—P2B.pi=p3C.p2=P3D.Pi=P2+P3

11.已知雙曲線C:次-y2=i,0為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分

別為M,N.若A0MN為直角三角形，貝!J\MN\=()

A.1B.3C.2V3D.4

12.己知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截此正方體所得截面面積

的最大值為()

A.逋B.2C.這D.在

4342

二、填空題

x—2y—240,

13.若x,y滿足約束條件｛x-y+120,貝[Jz=3久+2y的最大值為.

y<0,

14.記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項的和，若S“=2an+1,則$6=.

15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有

種.(用數(shù)字填寫答案)

16.已知函數(shù)/(X)=2sinx+sin2K,則f(x)的最小值是.

17.在平面四邊形ABCD中，NADC=90°,ZA=45。，AB=2,BD=5.

(1)求cos^ADB;

(2)若DC=2V2,求BC.

18.如圖，四邊形ABCD為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以DF為折痕把ADFC折起，使點

C到達(dá)點P的位置，且PF1BF.

(1)證明：平面PEF1平面ABFD;

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

19.設(shè)橢圓C：y+y2=1的右焦點為尸，過F得直線1與。交于A,B兩點，點M的坐標(biāo)為

(2,0).

(1)當(dāng)［與無軸垂直時，求直線AM的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，證明：/DMA=/OMB.

20.某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不

合格品，則更換為合格品，檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下

的所有產(chǎn)品作檢驗。設(shè)每件產(chǎn)品為不合格的概率為品P(0<p<l)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨

立。

(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為/(p),求f(p)的最大值點po

(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的po作為p的值。已知每件

產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用

(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX；

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？

21.已知函數(shù)/(%)=--x+alnx

(1)討論/(%)的單調(diào)性；

(2)若/(%)存在兩個極值點均,乂2，證明：黑慧)<a_2

三、選考題［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的方程為y^k\x\+2,以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建

立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為p2+2pcos0-3=0

(1)求G的直角坐標(biāo)方程

(2)若Q與有且僅有三個公共點，求G的方程

四、選考題［選修4-5：不等式選講］

23.已知/(%)=|x+1|—\ax-1|

(1)當(dāng)a=1時，求不等式/(%)>1的解集

(2)若%e(0,1)時，不等式f(%)>%成立，求a的取值范圍

答案解析部分

一、選擇題：

I.【答案】C

【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【解析】【解答】解：z=號+2i=+2i=9+2i=i|z|=l,

l+l211

故答案為：C。

【分析】先由復(fù)數(shù)的乘除運算求出復(fù)數(shù)Z,再由幾何意義求模.

2.【答案】B

【考點】補集及其運算

【解析】【解答】解：A=(x\x2—x—2>0]—{x\x>2或x<—1}，

CRA={X|-1<X<2},

故答案為：B.

【分析】先解二次不等式求出集合A,再進(jìn)行補集運算.

3.【答案】A

【考點】概率的應(yīng)用

【解析】【解答]解:經(jīng)濟增長一倍，A中種植收入應(yīng)為2aX37%>aX60%,

二種植收入增加，則A錯。

故答案為：A

【分析】設(shè)建設(shè)前的經(jīng)濟收入為1,則建設(shè)后的經(jīng)濟收入為2,由建設(shè)前后的經(jīng)濟收入餅圖對比,對各選項分析

得到正確答案.

4.【答案】B

【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)

【解析】【解答】解：3s3=S2+S46+3a3=a3+a4qa2=5az+a3=4a2=a3，又ai=2,

d=-3.

則的=%+4d=2—12=-10,

故答案為：Bo

【分析】由等差數(shù)列的的前n項和公式將條件列出關(guān)于公差d的方程，求出d,得到通項公式，再求值.

5.【答案】D

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

【解析】【解答】解：</(%)=%3+(a-I)%2+ax,且f(x)是奇函數(shù)，

a-l=00a=l,/(%)=/+%=//(%)=3x2+1.

:廣(0)=1.

:y-0=x-00y=x.

故答案為：D.

【分析】由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，求出a=l得到函數(shù)的解析式，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在點(0,0)處的切線方

程。

6.【答案】A

【考點】平面向量的基本定理及其意義

【解析［［解答］解：eB=AB-AE=AB-^AD^^AB-^AC,

故答案為：Ao

【分析】以向量屈和左為基底向量，由點E是AD的中點將向量藐表示為,再由點D是BC

的中點，將其表示為基底向量的線性表示形式.

7.【答案】B

【考點】由三視圖求面積、體積

【解析】【解答】解：畫出圓柱側(cè)面展開圖如圖：

MN=46+4=2V5,

故答案為：Bo

【分析】側(cè)面上MN的最短距離就是圓柱的側(cè)面展開圖MCDE中的MN,其中MC=2,CN=4,在直角三角形MCN

中求出MN.

8.【答案】D

【考點】拋物線的應(yīng)用

2

【解析】【解答】解：設(shè)｛‘MN：y=Kx+2)n/一5%+4=0,

y2=4x

:與=1,%2=4，即月=2,%=4，

?=(xi-l,yj前=(x2-l,y2),

~FM-FN(%1-1)(久2-1)+y，2=8,

故答案為：D?

【分析】將直線方程代入到拋物線方程中，消去y得到關(guān)于x的二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理,由平面向量的數(shù)量

積的坐標(biāo)運算求出值.

9.【答案】C

【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用

【解析】【解答】由g(x)=0得f(x)=-x-a,作出函數(shù)f(x)和丫=?r的圖象如圖:

當(dāng)直線y=-x-a的截距-avi,即a2-l時，兩個函數(shù)的圖象都有2個交點，即函數(shù)g(x)存在2個零點，

故實數(shù)a的取值范圍是+8),

故答案為：C

【分析】作出分段函數(shù)的圖象，函數(shù)g(x)有兩個零點等價于f(x)的圖象與直線y=-x-a有兩個交點，結(jié)合圖形

得到a的范圍.

10.【答案】A

【考點】幾何概型

【解析】【解答】解：記三角形區(qū)域面積為Si，黑色部分面積為S2,AB=a,AC=b,BC=c.則C2=az+b2,

Si=1ab,S2=，喳:+祗—里二砌』.

即S1=S2,

故答案為：A.

【分析】先求出三個部分的面積，再由幾何概型概率公式求出概率，再比較大小.

11.【答案】B

【考點】雙曲線的應(yīng)用

【解析】【解答】解：雙曲線C：9—y2=i的漸近線方程為g二士白羽漸近線夾角為60。，/MON=60。，

不妨設(shè)NOMN=90°,/MNO=30°/FON=30。，即\FN\=2,\MF\=1,

\MN\=|FN|+\MF\=2+1=3,

故答案為：B.

【分析】由于/MON不是直角，則只可能NOMN,-ONM為直角，則由漸近線的方程求出斜率，得到

MN的斜率，求出直線MN的方程，與漸近線方程聯(lián)立求出M,N的坐標(biāo)，再求|MN|.

12.【答案】A

【考點】直線與平面所成的角

【解析】【解答】解：如圖截面，S=6x(￥)2xf=W,

故答案為：A.

【分析】由正方體的每條棱所在直線與平面a所成的角相等，得到平面a與其中一條對角線垂直,此時截

面與相應(yīng)側(cè)面構(gòu)成正三棱錐，再求出截面面積的最大值.

二、填空題

13.【答案】6

【考點】簡單線性規(guī)劃

【解析】【解答】解：z=3x+2y,過點A(2,0)時，Zmax=3X2+2X0=6.

【分析】作出平面區(qū)域，平移目標(biāo)直線，得到最優(yōu)解，求出最大值.

14.【答案】-63

【考點】數(shù)列的求和，數(shù)列遞推式

【解析】【解答】解：:Sn=2an+1,令n=1,%=—1.

^^n-i=2a九一1+1，作差，

??—2a九2a九一1—。九=2a八_］，

n-1

「.an=-2,

一26-l_

??Sf.=-1-----=-63o

b2-1

【分析】將n換成n；得到另一個式子，兩式相減得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，得到數(shù)列｛%J為等比數(shù)列，求出

通項公式求再求Sn.

15.【答案】16

【考點】排列、組合及簡單計數(shù)問題

【解析】【解答】，沒有女生入選有盤=4種選法，

從6名學(xué)生中任意選3人有俏=20種選法，

故至少有1位女生入選，則不同的選法共有20-4=16種，

故答案為：16.

【分析】由至少有女生不入選，分成1女2男和3男兩類，由組合數(shù)公式求選法種數(shù).

16.【答案】-逋

2

【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，三角函數(shù)的最值

【解析】【解答】解：由題意得：T=2n是/(%)=2sin%+sin2%的一個周期。

只需要考慮函數(shù)在［0,2兀)上的值域，

先求該函數(shù)在［0,2凡)上的極值點

/(%)=2sinx+sin2x=f/(%)=2(2cos2%+cosx—1)=2(cosx+l)(2cosx—1)，

令//(%)=0可得：cos%=1或cosx=-1

此時x=g或早

y=2sinx+sin2%的最小值只能在點x=三，?；蛱柡瓦吔琰cx=0中取到，計算可得/(；)=

手，"兀)=0/(爭=一子,f(0)=0

函數(shù)的最小值為：

2

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最值.

pn

17.【答案】(1)解：在AABD中，由正弦定理得一-=

sin""

由題設(shè)知，>OB，所以sin4DB=??

sin45sin-MBsin5

由題設(shè)知，/ADB<90°,所以COS^ADB=I1--=-

(2)解：由題設(shè)及(1)知，^ZBDC=^ZADB=—.

crossin5

在ABCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2-BD?DC?CGS/BDC

lV2

—25+8-2x5x2A/2X—

——25.

所以BC=5.

【考點】三角形中的幾何計算

【解析】【分析】：(1)在三角形ABD中，由正弦定理求出sin^ADB，再由同角關(guān)系式求出cos/ADB；(2)

由/4。。=90。，求出cosBDC，再在/BDC中由余弦定理求出BC.

18.【答案】(1)解：由已知可得，BF±PF,BF±EF,又PFCEF=F,

：.BF_L平面PEF.

又BFu平面ABFD,

平面PEF_L平面ABFD.

(2)解：作PH_LEF,垂足為H.由(1)得，PH_L平面ABFD.

以H為坐標(biāo)原點，ffF的方向為y軸正方向，|即|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-xyz.

由(1)可得，DE_LPE.又DP=2,DE=1,所以PE=V3.又PF=LEF=2,故PEJ_PF.

可得PH=—,EH=--

22

則H(0,0,0),P(0,0,y),0(-l,-|,0),?P=游=(0Q凈為平面ABFD的法向量?

3r-

設(shè)DP與平面ABFD所成角為3,則8=|q％|=與=宜.

Sin1\HP\-\DP\1V34

,DP與平面ABFD所成角的正弦值為—.

4

【考點】平面與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面所成的角

【解析】【分析】⑴在翻折過程中，作PHLEF于H,由PF1BF得到PH1面ABCD，從而得到面面垂

直;(2)DP與平面所成的角就是/PDH，在三角形中求其正弦值.

19.【答案】(1)解：由已知得F(l,0),I的方程為x=l.

由己知可得，點A的坐標(biāo)為(1凈或(1,一當(dāng).

所以AM的方程為y=-y%+/或y=yx-V2.

(2)解：當(dāng)I與x軸重合時，ZOMA=NOMB=0。.

當(dāng)I與x軸垂直時，0M為AB的垂直平分線，所以^OMA=NOMB.

當(dāng)I與x軸不重合也不垂直時，設(shè)I的方程為y=旗久一l)(k40),401，乃),3(久2，%)，

則刀1<魚,久2</，直線MA,MB的斜率之和為即14+k“B=[]+潦^.由V1=或1一/￡,丫2=

kx-k得1+k=士+：：)+..將y=k(_1)代入式+2=1得(21+l)x2-4k2X+

2MB[?X]—Z八%2—勾x2

2k2—2=0.所以，+%2=2：；+J%久2—,則2kxig—3k(%i+x2)+4k=

4fc3-4fc-12fc3+8fc3+4fc八

------^71------=0'

從而kMA+kMB=0,故MA,MB的傾斜角互補，所以^OMA=/OMB.

綜上，ZOMA=/OMB.

【考點】橢圓的應(yīng)用

【解析】【分析】(1)由橢圓方程得F的坐標(biāo)，得到直線1的方程，代入橢圓方程中求出點A,B的坐標(biāo)，再求出

直線AM的方程;(2)^OMA=NOMB等價于直線MA,MB的斜率互為相反數(shù)，設(shè)出直線I的方程代入到橢

圓的方程中，消去x得到關(guān)于y的二次方程,由韋達(dá)定理計算直線MA,MB的斜率的和為0,得證.

2

20.【答案】(1)解：20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=c^0p(l-p)】8.因此

f'(P)=c機2P(1-p)18-18P2(1_p)17]=2自p(l-p)17(l=lOp).

令/''(p)=0,得p=0.1.當(dāng)pe(0,0.1)時，/(p)>0;當(dāng)pe(0.1,1)時，,(p)<0.

所以f(P)的最大值點為p0=0.1.

(2)解：由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知丫?8(180,0.1),X=20x2+25Y,

即X=40+25y.

所以EX=￡(40+25Y)=40+25￡Y=490.

(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.

由于EX>400,故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗.

【考點】離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差

【解析】【分析】⑴由20件產(chǎn)品恰有2件不合格的產(chǎn)品,則其余18件產(chǎn)品合格，得到f(p)的表達(dá)式,由導(dǎo)數(shù)

研究函數(shù)的單調(diào)性求出最值乂2)由題意得到X的可能取值為2,27,求出X=2和X=27時對應(yīng)的概率，得到分布

列,再求期望值;(3)由于對每一箱產(chǎn)品都檢驗時費用為400元，由(2)中期望值為依據(jù)，則費用為900元,由此作

出決定.

21.【答案】(1)解：/(X)的定義域為(0,+河，/'(%)=—9—1+?=—三箸1.

若aW2,貝U,<0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2,久=1時廣(切=0，所以f(x)在(0,+叼單調(diào)

遞減.

若a>2,令f'(x)=o得，％=匕尹或尢=51三.

z

iiz,一/八a—Va"—4、,,a+va—4,、n-4-「),、?

=1XG(0,---)U(z---,+°°)時，f(x)<0;

當(dāng)(匕苧三,小歲)時，,(切>0.所以/(%)在(0,匕宇),(=三,+8)單調(diào)遞減，在

上亞m”也三單調(diào)遞增.

'2'2'

2

(2)解：由(1)知，/(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)a>2.由于/(x)的兩個極值點xlfx2滿足%-

ax+1=0,所以的％2=1，不妨設(shè)%i<x,則x>1.由于=一_二_1+加心廠靜=

4242%1一%2%1%2%1—％2

-2+。符1-帚2=-2+a2^1

%1一%2-x2-%2，

所以"X1)-"X2)<a—2等價于5一冷+21n比2<。.

%1-％2X2

1

設(shè)函數(shù)9(%)=--%+2lnx,由(1)知，g(%)在(0,+8)單調(diào)遞減，又g(l)=0,從而當(dāng)％G(1,+

―)時,g(x)<0.

所以工一叼+21nx2<0,即"%)一"加<a-2.

%2%1-％2

【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

【解析】【分析】⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對a分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性;(2)當(dāng)函數(shù)f(x)存在兩個極值點時，則

函數(shù)有導(dǎo)數(shù)有兩個異號零點即導(dǎo)方程有兩個相異實根，求出a的范圍，不等式左邊即相當(dāng)于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而

證明不等式.

三、選考題［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.【答案】(1)解:由x=pcos0,y=Psin。得心的直角坐標(biāo)方程為

(x+I)2+y2=4.

(2)解：由(1)知C2是圓心為4(—1,0),半徑為2的圓.

由題設(shè)知，6是過點5(0,2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線.

記y軸右邊的射線為h,y軸左邊的射線為12.

由于B在圓C2的外面，

故G與。2有且僅有三個公共點等價于Z