云南省德宏傣族景頗族自治州2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省德宏傣族景頗族自治州2024屆高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知，得，又，所以.故選：A.2.已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，方程的兩根為2和3，則，則為，其解集為.故選：D.3.已知為的邊的中點(diǎn).若，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，所以.故選：B4.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩條對(duì)稱(chēng)軸，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間恰有兩條對(duì)稱(chēng)軸，所以，解得.故選：A.5.在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，可知三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，則，可得，則外接球的半徑，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.6.甲乙兩人玩紙牌游戲，已知甲手中有兩張10與三張5，乙手中有三張9與兩張4.現(xiàn)從兩人手中各隨機(jī)抽取兩張牌并交換給對(duì)方，則交換之后甲手中牌的點(diǎn)數(shù)之和大于乙手中牌的點(diǎn)數(shù)之和的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗一開(kāi)始兩人手中牌的點(diǎn)數(shù)之和是相等的，要想交換之后甲手中的牌點(diǎn)數(shù)之和更大，則甲被抽取的兩張牌的點(diǎn)數(shù)之和應(yīng)比乙被抽取的小，若甲被抽取的兩張牌點(diǎn)數(shù)都為10，不合題意；若甲被抽取的兩張牌一張點(diǎn)數(shù)為10一張點(diǎn)數(shù)為5，則乙被抽取的兩張牌點(diǎn)數(shù)都為9；若甲被抽取的兩張牌點(diǎn)數(shù)都為5，乙被抽取的兩張牌點(diǎn)數(shù)都為9或一張點(diǎn)數(shù)為9一張點(diǎn)數(shù)為4.則所求概率為.故選：D7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，成等差數(shù)列.若數(shù)列中存在兩項(xiàng)，使得為它們的等比中項(xiàng)，則的最小值為（）A.3 B.4 C.6 D.9〖答案〗A〖解析〗設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，有，即，得，由，解得，若數(shù)列中存在兩項(xiàng)，，使得為它們的等比中項(xiàng)，則，即，得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為3.故選：A8.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.4 B.5 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗當(dāng)時(shí)，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，則存在，使得，畫(huà)出的圖象，如下：令，則，當(dāng)時(shí)，令，解得或，若，則，結(jié)合圖象可知，此時(shí)存在兩個(gè)根，，若，則，結(jié)合圖象可知，此時(shí)存在和滿足要求，當(dāng)時(shí)，令得，此時(shí)，結(jié)合圖象可知，此時(shí)存在兩個(gè)根，綜上，共6個(gè)零點(diǎn).故選：C二、多項(xiàng)選擇題9.已知是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.若，則C. D.若，則的最小值為1〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)，則，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，滿足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則所以，則，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，即，表示以為圓心，半徑為1的圓，表示圓上的點(diǎn)到的距離，故的最小值為，故D正確.故選：CD.10.已知雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn).若四邊形為矩形，且，則下列正確的是（）A. B.雙曲線的離心率為C.矩形的面積為 D.雙曲線的漸近線方程為〖答案〗AB〖解析〗如下圖所示：設(shè)，所以，由雙曲線的定義可知，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，因此，所以選項(xiàng)A正確；由，所以選項(xiàng)B正確；矩形的面積為，所以選項(xiàng)C不正確；因?yàn)?，所以雙曲線的漸近線方程為，因此選項(xiàng)D不正確，故選：AB11.已知曲線、與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗由，得，即是與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得，即是與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫(huà)出，，，的圖象，如下圖所示，與它們的交點(diǎn)依次為，與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，，由，解得，，所以，故A正確；對(duì)于B，由，且，則，，所以，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，故B正確；對(duì)于C，由，，所以，故C正確；對(duì)于D，由，，則，若，則，當(dāng)時(shí)與矛盾，又顯然不成立，故D錯(cuò)誤故選：ABC.12.在正方體中，，點(diǎn)在底面正方形內(nèi)及邊界上運(yùn)動(dòng)，則（）A.存在點(diǎn)，使得平面B.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為C.若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D.若平面，則三棱錐的體積為定值〖答案〗BCD〖解析〗以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，，，設(shè)點(diǎn)，其中，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，得，，若平面，則，則，解得，，與已知矛盾，A錯(cuò)誤；由，得，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓的，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，B正確；若平面，則，即，因此點(diǎn)在底面的軌跡為線段，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，C正確；由于平面平面，平面，則點(diǎn)的軌跡為線段，顯然，，因此平面，而平面，即平面，點(diǎn)到平面的距離為定值，又的面積為定值，從而為定值，D正確.故選：BCD.三、填空題13.已知樣本數(shù)據(jù)為1，a，b，7，9，且a、b是方程的兩根，則這組樣本數(shù)據(jù)的方差是_________.〖答案〗8〖解析〗由可得或，因?yàn)閍、b是方程的兩根，不妨設(shè)，，所以樣本平均數(shù)為，故樣本方差為：.故〖答案〗為：814.已知，則的值為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所?故〖答案〗為：.15.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)分別為A、B，則的最小值為_(kāi)________.〖答案〗〖解析〗令，題設(shè)圓的圓心，半徑，又，且，所以，，，則，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，綜上，的最小值為.故〖答案〗為：16.設(shè)函數(shù)，.若在恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是_________.〖答案〗〖解析〗在恒成立等價(jià)于，所以，即對(duì)任意恒成立，

設(shè)，則所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，若，則，若，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以，綜上可知，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.設(shè)，，則，所以在單調(diào)遞增，所以，即a的取值范圍為．故〖答案〗為：四、解答題17.在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，已知，，且，.（1）求數(shù)列，通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意，令公差為，公比為.由，即，有；，，；由，即，有.，.（2）由（1）有.則有.18.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）銳角中，，且，求的取值范圍.解：（1）由題意有，由，，有；由，得.故函數(shù)的最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）有，即，又，所以，所以，即，由，所以，則，.因?yàn)槭卿J角三角形，所以即，所以，所以.則有.所以，即故的取值范圍為.19.如圖，在四棱錐中，已知底面，，，，，，異面直線與所成角為.（1）證明：與平面；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)M，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)M在棱上的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（1）證明：由題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.令，，由，有，，，，，，，.由，有由，有.有，，，，，即，，又，平面，平面.故與平面.（2）解：假設(shè)棱上是存在一點(diǎn)M，令，由，，設(shè)平面的法向量為，易知，由，.設(shè)平面的法向量為，則有，令，則，則，則由，解得：.故存在為的中點(diǎn)，使得平面與平面的夾角的余弦值為.20.已知橢圓的離心率為，A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N；當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，四邊形的面積為2.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l的斜率為，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.（1）解：依題意，有，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，，所以，解得，.故橢圓的方程為.（2）證明：由（1）易得，設(shè)直線的方程為，且，.由，得，易得，則，，所以，記的中點(diǎn)為，則直線的垂直平分線的方程為，令，得，則，則有，又，則有為定值.21.設(shè)有甲、乙、丙三個(gè)不透明的箱子，每個(gè)箱中裝有除顏色外都相同的4個(gè)球，其中甲箱有2個(gè)藍(lán)球和2個(gè)黑球，乙箱有3個(gè)紅球和1個(gè)白球，丙箱有2個(gè)紅球和2個(gè)白球.摸球規(guī)則如下：先從甲箱中一次摸出2個(gè)球，若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色相同，則從乙箱中摸出1個(gè)球放入丙箱，再?gòu)谋渲幸淮蚊?個(gè)球；若從甲箱中摸出的2個(gè)球顏色不同，則從丙箱中摸出1個(gè)球放入乙箱，再?gòu)囊蚁渲幸淮蚊?個(gè)球.（1）若最后摸出的2個(gè)球顏色不同，求這2個(gè)球是從丙箱中摸出的概率；（2）若摸出每個(gè)紅球記2分，每個(gè)白球記1分，用隨機(jī)變量表示最后摸出的2個(gè)球的分?jǐn)?shù)之和，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.解：（1）記事件A為最后摸出的2個(gè)球顏色不同，事件為這2個(gè)球是從丙箱中摸出的，又，有；（2）由條件知，3，4，且，，，的分布列為：X234P故.22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若方程在上有兩個(gè)不