2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)同步練習(xí)-1橢圓

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)

第二章圓錐曲線

§1橢圓

1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一橢圓的定義及其應(yīng)用

22

1.（2020河南南陽六校聯(lián)考）已知橢圓予+5=1上一點(diǎn)P（x,y）到該橢圓的一個(gè)焦

43

點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）

A.2B.3C.1D.V10

2.（2022重慶第八中學(xué)校月考）已知點(diǎn)P（x,y）滿足方程

J（%-2）2+y2+J（%++y2=6,則點(diǎn)P的軌跡為（）

A.圓B.橢圓

C.直線D.線段

3.（2022福建三明月考）已知4ABC的頂點(diǎn)B,C在橢圓1~+y2=l上,頂點(diǎn)A是橢圓

的一個(gè)焦點(diǎn),且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上,則4ABC的周長是（）

A.2V3B.6C.4V3D.4

4.（2021江西南昌第二中學(xué)月考）已知橢圓9+y2=i的左、右焦點(diǎn)分別為件,F2,過

E作垂直于x軸的直線與橢圓相交,設(shè)其中一個(gè)交點(diǎn)為P,則|PF21=（）

A.—B.V3C.-D.4

22

5.（2022吉林遼源階段檢測(cè)）若橢圓白+y2=l上一點(diǎn)A到左焦點(diǎn)儲(chǔ)的距離為2,B為

AFi的中點(diǎn),0是坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OB|的值為（）

A.1B.2C.3D.4

題組二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

6.(2021北京首都師范大學(xué)附屬中學(xué)期中)已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為儲(chǔ)(-

1,0),F2(1,0).過點(diǎn)Fi的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若AABF2的周長為8,則橢圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為

A.-+^=1B.-+^=1

161587

化2y2

C.土+匕=1D.-+^=1

4334

7.(2021湖南長沙第九中學(xué)月考)若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F(2,0),F2(2,0),且

該橢圓過點(diǎn)P值,-|，則該橢圓的方程為(

A.-+^=1B.-+^=1

48610

化2y2

C.土+匕=1D.—+^=1

84106

8.以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓過點(diǎn)P(|,-4)和則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

A,竺+x2=l

25

汽2n

B.Q1

c纖y』或**2=1

D.以上都不對(duì)

9.(2021寧夏銀川第二中學(xué)月考)已知圓B:(x+2)2+y2=64,點(diǎn)A(2,0),動(dòng)點(diǎn)C為圓

B上任意一點(diǎn)，則AC的垂直平分線與BC的交點(diǎn)P的軌跡方程是()

A?話刁B.—+^=1

164

C.UD.-+^=1

1612416

22

10.(2020天津一中期末質(zhì)量調(diào)查)已知橢圓？卷=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

azbz

FbF2,以線段FF2為直徑的圓與橢圓交于點(diǎn)P(W「W),則橢圓的方程

為.

11.(2020廣西來賓教學(xué)質(zhì)量診斷性聯(lián)合考試)如圖，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)

0,F(-2V5,0)為C的左焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),滿足|0P|=10F|,且|PF|=4,求橢圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程.

題組三橢圓的方程的應(yīng)用

22

12.(2020遼寧撫順一中三模)已知橢圓靠+臺(tái)1(a>b>0)分別過點(diǎn)A(2,0)和B(0,-

1),則該橢圓的焦距為()

A.V3B.2V3C.V5D.2V5

13.（2021吉林長春第三中學(xué)月考）點(diǎn)P（4cosa,2gsina）（a￡R）與橢圓

22

C：3+5=1的位置關(guān)系是（）

43

A.點(diǎn)P在橢圓C上

B.不能確定,與a的取值有關(guān)

C.點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)

D點(diǎn)P在橢圓C外

22

14.（2021四川樂山十校期中聯(lián)考）已知方程三-表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,

m-1m-2

則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.（-8,2）B.（-8,1）

22

15.（2021吉林長春外國語學(xué)校月考）若橢圓三+匕=1的焦距為2,則實(shí)數(shù)m的值

97n+4

為（）

A.1或4B.4或6

C.1或6D.4或7

16.（2021四川西昌期中）已知橢圓？+y2=l的左、右焦點(diǎn)分別是儲(chǔ),F,P是橢圓C

42

上的一點(diǎn),且NFFF2甘,求△EPF2的面積.

能力提升練

題組一橢圓的定義的應(yīng)用

22

1.（2020北京豐臺(tái)期末）已知點(diǎn)P是橢圓C:高+5=1上一點(diǎn),M,N分別是圓（x-

10064

6）2+y2=l和圓（x+6）2+y2=4上的點(diǎn),那么IPM+1PN|的最小值為（）

A.15B.16C.17D.18

22

2.（2021湖北襄陽宜城第三中學(xué)月考）已知P為橢圓予+3=1上一點(diǎn),件,F2為該橢

43

圓的兩個(gè)焦點(diǎn),若NFFF2=60。，則巨瓦?布=（）

A.-B.3C.6D.2

2

3.（2022四川成都樹德中學(xué)階段性測(cè)試）已知點(diǎn)A（l,1）,Fi是橢圓5x2+9y2=45的

左焦點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則IPA+1PF」的最大值和最小值分別為（）

A.6+V2,6-V2B.4+V2,4-夜

C.6+2V2,6-2V2D.4+2近,4-2式

22

4.（2020陜西西安八校高考模擬）已知橢圓？+一=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是儲(chǔ),F,M是

942

橢圓上一點(diǎn),且MFj-MF21=2,則AFF2M的面積是.

題組二橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用

5.（2020安徽六安一中開學(xué)考試）對(duì)于常數(shù)m,n,“方程mx2+ny2=l表示的曲線是

橢圓”是“mn>0”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

22

6.（2020湖北恩施利川第五中學(xué)期中）已知FbF2是橢圓三+之=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是

2449

橢圓上一點(diǎn)，且iPFj：|PF21=4：3,則△PFE的面積等于（）

A.24B.26C.22V2D.24應(yīng)

22

7.（2021黑龍江哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)月考）一個(gè)動(dòng)圓與圓C1：x+（y+3）=l外

22

切，與圓C2:x+（y-3）=81內(nèi)切,則這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程為（）

A,^+―=1B.—+^=1

25162516

丫2支2汽2y2

C.^+—=1D.—+^=1

169169

22

8.（多選）（2021江蘇南通中學(xué)期中）設(shè)橢圓白+看=1的右焦點(diǎn)為F,直線

y=m（0〈m〈V^）與橢圓交于A,B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.|AF|+|BF|為定值

B.AABF的周長的取值范圍是[6,12]

C.當(dāng)m二加時(shí)，AABF為直角三角形

D.當(dāng)m=l時(shí),AABF的面積為注

22

9.（2021河北保定第三中學(xué)期中）已知橢圓C:?$l（a〉b>0）的左、右焦點(diǎn)分別

azbz

為FI,F2,P為橢圓C上一點(diǎn)，NFFF2=120°,|PF1|=2+VX|PF21二2-遮.

⑴求橢圓C的方程；

（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo).

答案與分層梯度式解析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.C根據(jù)題意知a=2,由橢圓的定義知點(diǎn)P到該橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2a-

3=1,故選C

2.B設(shè)點(diǎn)A⑵0),B(-2,0),則J(%-2)2+y2表示|PA|,J(%+2)2+y2表示|PB|,

所以|PA|+1PB|=6,又IAB=4<6,所以點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓.故選B.

3.C由橢圓的方程得a=V3.設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F,則由橢圓的定義得

BA|+|BF|=1CA|+|CF|=2a,所以4ABC的周長為

BA+1BC+|CA=(BA+1BF|)+(CF+1CA)=2a+2a=4a=4V3.故選C.

4.C易得C=A/4-1;所以當(dāng)x=-遮時(shí),|PF」=|y|三，又|PF」+|PF2|=4,所以

5二4-|PFi故選C.

5.B由已知得a=3,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,則|AF2|=2a-2=6-2=4,易知OB是

△AFF2的中位線，所以10B|=號(hào)1=2.故選B.

6.C根據(jù)橢圓的定義，可得|AF2|+|BF2|+|AB|=|AF/+|AF2|+|BFi|+|BF2|=4a=8,解

得a=2,

又c=l,所以b2=a2-c2=3.

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+5=1.故選C.

43

2222

7.D|PFj+1PF2"(I+2)+(-|)+J(|-2)+(-|)=2Vw=2a,故a=V10,又

22

c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6,故該橢圓的方程為^+號(hào)」.故選D.

106

m+16n=1,m=1,

解得Im-1

||m+9n=1,1n=

???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為言+x2=l.故選A.

9.C由題意得|PA|=|PC|,

則|PB|+1PA|=|PB|+1PC|=〕BC|=8>[AB|=4,

故點(diǎn)P的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓,其中a=4,c=2,，b2=a2-c?=16-4=12,

22

..?點(diǎn)p的軌跡方程是±+9=1,故選c.

1612

9?

10.答案上+匕=1

94

解析根據(jù)題意知IP0=J|+Y=V5=C,

故Fi(-迷,0),F2(V5,0).

???1PF/+|PF2

=4+2=6=2a,.,.a=3,.*.b=2,

22

???橢圓的方程為3+?=L

94

11.解析由題意可得,該橢圓的半焦距c=2V5,設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

22

J+2(a>b>。),右焦點(diǎn)為Fi,則Fi(2V5,0),連接PK,如圖.

azbz

因?yàn)閨0P|=|0F|,所以|0P|=|0Fj,

所以PF_LPFi.

又|PF|=4,IFF11=4V5,

所以|PF/力|FFI|2"PF|2=8,

所以2a=|PF|+|PFil=12,即a=6,

所以b2=a2-c2=16,

22

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+5=1.

3616

12.B由題意可得a=2,b=l,所以c=Va2-b2=V4—1=V3,所以2c=243.故選B.

13.D把(4cosa,2gsina)(a￡R)代入橢圓方程的左邊，得

如辿+(2修ina)2=4(c°s2+sin2a)=4>1,因此點(diǎn)P在橢圓C外.故選D.

43a

14.C三-馬=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則2-m>m-l>0,解得Km<|.所以實(shí)數(shù)

m-1m-22

m的取值范圍是(1,1).故選C.

15.B若焦點(diǎn)在x軸上,則c=V9-m-4=l,解得m=4;若焦點(diǎn)在y軸上,則

c=Vm+4-9=1,解得m=6.故選B.

易錯(cuò)警示在解決與橢圓方程有關(guān)的問題叱一定要注意橢圓焦點(diǎn)的位置，即焦

點(diǎn)是在x軸上還是在y軸上,如果不確定，則需要分情況討論.

16.解析因?yàn)閨PFJ+1PF2|=2a=4,且

所以|PFL「+|PF2|2=4C2=4義(4-1)=12,

所以iPFj-|PF2|

_(PFI|+|PF2|)2-(|PFI|2+|PF2|2)_2

2，

所以S&pF二出嚴(yán)，

△卜1尸卜22

能力提升練

22

1.C橢圓C:1中，a=10,b=8,所以c=6.

10064

圓(x-6)2+y2=l和圓(x+6/+y2=4的圓心為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，

則當(dāng)M,N在如圖所示的位置時(shí)，|PM"|PN|的值最小,最小值為|PFJ+1PF2HFiN|-

F2M|=2a-2-l=17.故選C.

2.D根據(jù)橢圓方程可知a=2,c-V4^3=l.

設(shè)旗1書旗5由橢圓的定義和余弦定理得也享二金+皿皿…刎，

可得mn-4,故Pa?PF2=mncos60°=4X-=2.故選D.

22

3.A設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為氤+七=1,

由已知得|PF』+|PF21二2a=6=PF1|=6-|PF2|,A|PA|+1PFi|=6-(IPF21-1PA|).

①當(dāng)|PA|NlPFzl時(shí)，有IPAHPF2IW|AFz1,等號(hào)成立時(shí)|PA|+1PFj最大，此時(shí)P是

射線AF2與橢圓的交點(diǎn)，則|PA+1PF11的最大值是6+V2.

②當(dāng)|PA|W|PFz|時(shí)，有|PFZHPA|W|AFz1,等號(hào)成立時(shí)|PA|+1PFj最小，此時(shí)P是

射線F2A與橢圓的交點(diǎn),則IPA|+1PF」的最小值是6-V2.故選A.

4.答案4

解析由橢圓的定義可知，1MFI|+|MF21=6,

又IMF1HMF21=2,所以IMF11=4,|MF2|=2.

又IF1F2H2/，所以|MF1|2+|MF2/=|F1F2H

所以AFF2M是以MFbMF2為直角邊的直角三角形,所以AFF2M的面積為

jlMFil|MF2|=|x4X2=4.

m>0,

5.A若方程mx2+ny2=l表示的曲線是橢圓，則卜>0,所以“方程mx2+ny2=l表示

、mHn,

的曲線是橢圓”是“mn>0”的充分不必要條件.故選A.

6.A由題意得a?=49,所以a=7,所以|PF」+|PF2|=2a=14,又|PF』：山|=4：3,所

2

以|PFf]=8,|PF1=6,因?yàn)閨FF』=2V49-24=10,所以|PFi『+1PF2|=|所以

PF」PFz,故△PFE的面積S=：PFj*"|[><8><6=24.故選人.

7.A設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,圓心為M,

根據(jù)題意可知,Ci(0,-3),C2(0,3),

iMGhl+r,|MC2|=9-r,|GG|=3-(-3)=6,

MCJ+IMC2=l+r+9-r=10>6,故動(dòng)圓圓心的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,且焦點(diǎn)為

C2(0,3)和Ci(0,-3),其中2a=10,a=5,2c=|CiC21=6,c=3,

所以b2=a2-c=25-9=16,