人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教案1 2 .2 三角形全等的判定

12.2三角形全等的判定

第2課時(shí)

【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與能力

1.理解和掌握全等三角形判定方法2——“SAS”.理解滿足“SSA”的兩個(gè)

三角形不一定全等.

2.能把證明一對(duì)角或線段相等的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個(gè)三角形

全等.掌握“邊角邊”判定兩個(gè)三角形全等的方法.會(huì)利用“邊角邊”判定

三角形全等.

過(guò)程與方法

經(jīng)歷探究三角形全等的判定方法的過(guò)程,學(xué)會(huì)解決簡(jiǎn)單的推理問(wèn)題.

情感態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)合情推理能力，感悟三角形全等的應(yīng)用價(jià)值.

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：會(huì)用“邊角邊”證明兩個(gè)三角形全等.

難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用“邊角邊”證明兩個(gè)三角形全等.

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

【問(wèn)題】全等三角形具有“對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等”的性質(zhì).那么，怎樣

才能判定兩個(gè)三角形全等呢？也就是說(shuō)，具備什么條件的兩個(gè)三角形能全

等?是否需要已知“三條邊相等和三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等“？現(xiàn)在我們用圖形變換

的方法研究下面的問(wèn)題.

二、探究歸納

活動(dòng)一:探究有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

1.如圖,AC、BD相交于0,AO,BO,CO,DO的長(zhǎng)度如圖所標(biāo),AABO^DACDO是

否能完全重合呢？

不難看出，這兩個(gè)三角形有三對(duì)元素是相等的：

AO=CO,ZA0B=ZCOD,BO=DO.

如果把AOAB繞著0點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，因?yàn)镺A=OC,所以可以使0A與0C

重合;又因?yàn)镹AOB=NCOD,OB=OD,所以點(diǎn)B與點(diǎn)D重合.這樣△ABO與△，□()

就完全重合.

由此,我們得到啟發(fā):判定兩個(gè)三角形全等，不需要三條邊對(duì)應(yīng)相等和三個(gè)

角對(duì)應(yīng)相等.而且,從上面的例子可以引起我們的猜想.

2.猜想：如果兩個(gè)三角形有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角

形全等.

上述猜想是否正確呢?不妨按上述條件畫(huà)圖并做如下的實(shí)驗(yàn)：

⑴讀句畫(huà)圖：

①畫(huà)NDAE=45。，

②在AD、AE上分別取B、C,使AB=3.1cm,AC=2.8cm.

③連接BC,得AABC.

④按上述畫(huà)法再畫(huà)一個(gè)AA'B'C'.

(2)把AA'B'C'剪下來(lái)放到AABC上，觀察AA'B'C與AABC是否能

夠完全重合？

3.尺規(guī)畫(huà)一個(gè)角等于已知角

動(dòng)手用直尺、圓規(guī)畫(huà)圖.

已知：NAOB.

求作：NAQB,使NAQB=NAOB.

【作法】(1)作射線0A;(2)以點(diǎn)0為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交0A于

點(diǎn)C,交0B于點(diǎn)D;(3)以點(diǎn)Oi為圓心,以0C長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交0A于點(diǎn)3;(4)

以點(diǎn)G為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,交前面的弧于點(diǎn)D1：(5)過(guò)點(diǎn)D作射線

OB,NAQBi就是所求的角.

教師敘述:請(qǐng)同學(xué)們連接CD,CD,回憶作圖過(guò)程，分析ACOD和△CQD中

相等的條件.

【學(xué)生活動(dòng)】與同伴交流,發(fā)現(xiàn)下面的相等量：

0D=0D,OC=OiCbZCOD=ZCiOiDb△CODdCQD.

總結(jié):三角形全等的判定方法二:邊角邊(SAS)

(1)邊角邊:有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱“邊角

邊”或“SAS”)

⑵書(shū)寫格式：

如圖，在AABC和4A'B'C中，

,AB=ArB\

因?yàn)閨ZA=ZA\

\AC=A，C\

所以△ABCZ^A'B'C(SAS).

活動(dòng)二:探究?jī)蛇吋捌渲幸贿叺膶?duì)角對(duì)應(yīng)相等兩個(gè)三角形是否全等

我們知道,兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，由“兩邊及其中

一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的條件能判定兩個(gè)三角形全等嗎？為什么？

【教師活動(dòng)】拿出教具進(jìn)行示范,讓學(xué)生直觀地感受到問(wèn)題的本質(zhì).

操作教具：把一長(zhǎng)一短兩根細(xì)木棍的一端用螺釘較合在一起，使長(zhǎng)木棍的

另一端與射線BC的端點(diǎn)B重合,適當(dāng)調(diào)整好長(zhǎng)木棍與射線BC所成的角后,

固定住長(zhǎng)木棍，把短木棍擺起來(lái)（課本圖12.2-7）,出現(xiàn)一個(gè)現(xiàn)象:2\人］^與

△ABD滿足兩邊及其中一邊對(duì)角相等的條件，但AABC與4ABD不全等.這說(shuō)

明，有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.

【學(xué)生活動(dòng)】觀察教師操作教具、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、辨析理解，動(dòng)手用直尺和圓

規(guī)實(shí)驗(yàn)一次，做法如下：（如圖所示）

A

BCCT

⑴畫(huà)NABT.（2）以A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑，畫(huà)弧，交BT于C,C'.（3）連

線AC,AC',Z\ABC與△ABC'不全等.

點(diǎn)撥：“邊邊角”不能作為判定兩個(gè)三角形全等的條件.

注意：（1）在“邊角邊”這個(gè)判定方法中，包含了邊和角兩種元素,且角是兩

邊的夾角，而不是其中一邊的對(duì)角.

⑵為了避免“SAS”與“SSA"（兩邊不夾角）混淆，在應(yīng)用該方法時(shí)，要觀

察圖形確定三個(gè)條件，按“邊一角一邊”的順序排列，并按此順序書(shū)寫.

活動(dòng)三:應(yīng)用舉例

【例1】如圖，兩個(gè)透明三角形紙片疊放到桌面上，已知NACE=N

FCB,AC=EC,

BC=FC,則4ABC與4EFC全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

C

E

解：AABC也ZXEFC.

理由：因?yàn)镹ACE=NFCB,

所以NACE+NECB=NFCB+NECB,

即NACB=NECF.

在AABC和4EFC中，

AC=EC,

因?yàn)?cB=cECF,

BC=FC,

所以△ABCgzXEFC(SAS).

［例2］如圖所示有一池塘,要測(cè)池塘兩側(cè)A,B的距離,可先在平地上取一

個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn),連接AC并延長(zhǎng)到D,使CD=CA,連接BC并延長(zhǎng)

到E,使CE=CB,連接DE,那么量出DE的長(zhǎng)就是A,B的距離，為什么？

【分析】如果能夠證明AABC之△口￡(；,就可以得出AB=DE.在4ABC和aDEC

中，CA=CD,CB=CE,如果能得出N1=N2,AABC和4DEC就全等了.

證明：在AABC和4DEC中，

CA=CD,

zl=Z2,

CB=CE,

所以△ABCZZ\DEC（SAS）,所以AB=DE.

思考：N1=N2的依據(jù)是什么？（對(duì)頂角相等）AB=DE的依據(jù)是什么？（全等三

角形對(duì)應(yīng)邊相等）

[例3]一位經(jīng)歷過(guò)戰(zhàn)爭(zhēng)的老人講述了這樣一個(gè)故事：（如圖所示）

在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望.為了炸掉這個(gè)碉堡，需要知

道碉堡與我軍陣地的距離.在不能過(guò)河測(cè)量又沒(méi)有任何測(cè)量工具的情況下,

一個(gè)戰(zhàn)士想出來(lái)這樣一個(gè)辦法,他面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子,使

視線通過(guò)帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，保持剛才的姿

態(tài),這時(shí)視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上.接著,他用步測(cè)的辦法量出自

己與那個(gè)點(diǎn)的距離,這個(gè)距離就是他與碉堡間的距離.（如圖所示）

⑴按這個(gè)戰(zhàn)士的方法，找出教室或操場(chǎng)上與你距離相等的兩個(gè)點(diǎn)，并通過(guò)

測(cè)量加以驗(yàn)證.

（2）你能解釋其中的道理嗎？

【點(diǎn)撥】情境中使用的方法在實(shí)際應(yīng)用中雖然是一種估測(cè)，但用到的原理

都是三角形全等（SAS）;教學(xué)中，讓學(xué)生在教室里或操場(chǎng)上親自做一做，實(shí)

際體驗(yàn).

三、交流反思

采用“操作——實(shí)驗(yàn)”的教學(xué)方法,讓學(xué)生有一個(gè)直觀的感受.

四、檢測(cè)反饋

1.如圖,AB=DB,BC=BE,欲證4ABE絲ZiDBC,則需要增加的條件是（）

E

D

ABC

A.ZA=ZDB.ZE=ZC

C.ZA=ZCD.ZABD=ZEBC

2.如圖,AO=BO,CO=DO,AD與BC交于E,N0=40°,ZB=25°，貝ijNBED的度數(shù)

是

()

A.60°B.90°

C.75°D.85°

3.已矢口：如圖,AB,CD相交于0點(diǎn),A0=C0,0D=0B.

求證：ND=NB.

分析：要證ND=NB,只要證AAOD0△COB.

證明：在AAOD與△COB中，

（AO=C。（已知），

k=△（對(duì)頂角相等）,

=（已知），

所以△A0D^4（SAS）.

所以ND=NB（）.

4.已矢口：如圖,AB〃CD,AB=CD.求證:AD〃BC.

曰DC

AB

5,已知：如圖，AB=AC,ZBAD=ZCAD.求證：NB=NC.

6.已知：如圖，AB=AC,BE=CD.求證：NB=NC.

A

BC

7,已矢口：如圖,AB=AD,AC=AE,Z1=Z2.

求證：BC=DE.

8.已知:點(diǎn)A,F,E,C在同一條直線上,AF=CE,BE/7DF,BE=DF.

求證：4ABE也△CDF.

五、布置作業(yè)

課本P39第1,2題P43習(xí)題12.2第3題.

六、板書(shū)設(shè)計(jì)

12.2三角形全等的判定

(第2課時(shí))

三角形全等的判定方法二:邊角邊(SAS)例題講解學(xué)生練習(xí)

(1)邊角邊:有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)稱“邊角

邊”或“SAS”).

⑵書(shū)寫格式：

如圖，在AABC和AA'B'C中，

八3=八'8‘，

因?yàn)椋糧A=ZA\

AC=A,C,,

所以aABC絲Z^A'B'C(SAS).

七、教學(xué)反思