對換定義及與排列的奇偶性的關系

關于對換定義及與排列的奇偶性的關系一、對換的定義定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換．將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換．例如第2頁,共17頁，2024年2月25日，星期天二、對換與排列的奇偶性的關系定理1

一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．證明設排列為對換與除外，其它元素的逆序數(shù)不改變.第3頁,共17頁，2024年2月25日，星期天當時，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對換后的逆序數(shù)增加1,經(jīng)對換后的逆序數(shù)不變，的逆序數(shù)減少1.因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.設排列為當時，現(xiàn)來對換與第4頁,共17頁，2024年2月25日，星期天次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.第5頁,共17頁，2024年2月25日，星期天推論奇排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標準排列的對換次數(shù)為偶數(shù).定理2

階行列式也可定義為其中為行標排列的逆序數(shù).證明

由定理1知對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),而標準排列是偶排列(逆序數(shù)為0),因此知推論成立.證明按行列式定義有第6頁,共17頁，2024年2月25日，星期天記對于D中任意一項總有且僅有中的某一項與之對應并相等;反之,對于中任意一項也總有且僅有D中的某一項與之對應并相等,于是D與中的項可以一一對應并相等,從而第7頁,共17頁，2024年2月25日，星期天定理3

階行列式也可定義為其中是兩個級排列，為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和.例1

試判斷和是否都是六階行列式中的項.解下標的逆序數(shù)為所以是六階行列式中的項.第8頁,共17頁，2024年2月25日，星期天下標的逆序數(shù)為所以不是六階行列式中的項.第9頁,共17頁，2024年2月25日，星期天例2

在六階行列式中，下列兩項各應帶什么符號.解431265的逆序數(shù)為所以前邊應帶正號.第10頁,共17頁，2024年2月25日，星期天行標排列341562的逆序數(shù)為列標排列234165的逆序數(shù)為所以前邊應帶正號.第11頁,共17頁，2024年2月25日，星期天例3

用行列式的定義計算第12頁,共17頁，2024年2月25日，星期天解第13頁,共17頁，2024年2月25日，星期天

1.一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性．2.行列式的三種表示方法三、小結第14頁,共17頁，2024年2月25日，星期天其中是兩個級排列，為行標排列逆序數(shù)與列標排列逆序數(shù)的和.第15頁,共17頁，2024年2月25日，星期天思考題證明在全部階排列中,奇偶排列各占一半.