三角函數與三角恒等變換

關于三角函數與三角恒等變換第五章三角函數與三角恒等變換§5.3三角函數的圖象和性質知識框架考試要求§5.1三角函數的概念、同角關系、誘導公式§5.2三角恒等變換§5.4三角函數應用第2頁,共84頁，2024年2月25日，星期天知識框架任意的概念角的度量方法(角度制與弧度制)同角三角函數關系式任意角的三角函數三角函數的圖象和性質誘導公式兩角和與差的三角函數二倍角的三角函數三角函數式的恒等變形(求值、化簡、證明)函數y=Asin(ωx+φ)的圖象返回章菜單第3頁,共84頁，2024年2月25日，星期天①理解任意角三角函數（正弦、余弦、正切）的定義.②能利用單位圓中的三角函數線推導出誘導公式（的正弦、余弦、正切），能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象，了解三角函數的周期性.③借助圖象理解正弦函數、余弦函數在[0,2π]，正切函數在上的性質（如單調性、最在和最小值、圖象與x軸交點等）.④理解同角三角函數的基本關系式：考試要求第4頁,共84頁，2024年2月25日，星期天⑤了解y=Asin(ωx+)的實際意義；能畫出y=Asin(ωx+)的圖象，觀察參數A，ω,

對函數圖象變化的影響.⑥會用三角函數解決一些簡單實際問題，體會三角函數是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數模型.⑦會用向量的數量積推導兩角差的余弦公式.⑧能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系.⑨能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括引導導出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）.考試要求返回章菜單第5頁,共84頁，2024年2月25日，星期天§5.1三角函數的概念、同角關系、誘導公式知識要點例題剖析第6頁,共84頁，2024年2月25日，星期天知識要點1.角的概念2.弧度制3.任意角的三角函數（1）設角α是一任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα=y，cosα=xtanx=；（2）三角函數的符號：由于sinα>0

y>0，故α的終邊在第一、二象限及y軸非負半軸時，sinα為正；由于cosα>0x>0，故α的終邊在第一、四象限及x軸的非負半軸時，cosα為正；由于tanα>0xy>0，即x與y同號，故當α終邊在第一、三象限時，tanα為正.第7頁,共84頁，2024年2月25日，星期天知識要點4.同角三角函數關系同角三角函數關系是由三角函數的定義推導得到的，所以各“恒等”的含義是使各三角函數及各式有意義.5.同角三角函數的基本關系式：①平方關系：②商數關系：6.誘導公式：①的三角函數值等于α的同名函數值，前面加上一個把α“看成”銳角時原函數值的符號，即“函數名不變，符號看象限”；的三角函數值等于α的余函數值，前面加第8頁,共84頁，2024年2月25日，星期天上一個把α“看成”銳角時原函數值的符號，即“函數名改變，符號看象限”；③誘導公式可以將任意角的三角函數轉化為0°~90°角的三角函數值.知識要點返回節(jié)菜單第9頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例1]若角α是第三象限的角，則點P（sinα,tanα)位于第

象限.[答案]

二[解析]∵α為第三象限角∴sinα＜0,tanα＞0∴p(sinα,tanα)位于第二象限第10頁,共84頁，2024年2月25日，星期天[例2]化簡①sin420°cos330°+sin(-690°)cos(-660°)②例題剖析[解析]①原式=sin(360°+60°)cos(360°-30°)+sin(-720°+30°)cos(-720°+60°)=sin60°cos30°+sin30°cos60°=②原式=˙第11頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

應用誘導公式將任意角的三角函數轉化為銳角的三角函數是應掌握的基本技能，在有弦有切的題中，切化弦是常用的方法.第12頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例3][解析]第13頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第14頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

知sinα+cosα，sinα-cosα,sinαcosα三個式子中的一個，可以求出其余兩個式子的值.第15頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展1[解析]第16頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例4][解析]代入原式得第17頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第18頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展2[解析]第19頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

將關于sinθ、cosθ的齊次式變換為關于tanθ的表達式在三角變換中有廣泛的應用，其中“1”用“sin2θ+cos2θ”等反代是常用的技巧.第20頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例5]已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R，如圖所示.(1)若α=60°，R=10cm，求扇形的弧長及該弧所在弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值c（c>0），當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？[解析]

（1）設弧長為l,弓形面積為S弓.第21頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第22頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]弧長和扇形的核心公式是圓周長公式c=2πR和圓面積公式S=πR2;當用圓心角α(弧度)代換2π時，即可得到一般弧長和扇形面積公式.返回節(jié)菜單返回章菜單第23頁,共84頁，2024年2月25日，星期天§5.2三角恒等變換知識要點例題剖析第24頁,共84頁，2024年2月25日，星期天知識要點1.兩角和與差的三角函數公式

2.二倍角公式

3.平方降冪擴角公式

第25頁,共84頁，2024年2月25日，星期天知識要點4.5.公式應用講究一個“活”字，即正用、逆用、變形用，還要創(chuàng)造條件應用公式，如拆角、拼角等技巧，如返回節(jié)菜單第26頁,共84頁，2024年2月25日，星期天[例1]

sin15°+cos15°的值:

.例題剖析[答案][解析]法(一)∵sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°第27頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第28頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例2]

不查表求值[解析]原式=cos40°(1+)第29頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

不查表求含非特殊角的三角函數式的值，應注意題中各角的特征與相互之間的關系，特別注意這些角的和、差、倍、半是否為特殊角.第30頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例3]

已知[解析]第31頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第32頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

給出角的三角函數值,求另一角的三角函數值時,要注意活用二角和、差的三角函數公式，將待求角配湊出用已知角表示的式子，再應用三角公式進行求解，如本例的2α用（α+β）+（α-β)表示，2β用（α+β）-(α-β)表示.第33頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展1[解析]法(一)由條件可得法(二)由條件得第34頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展1第35頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例4]

已知且[解析]第36頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第37頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

已知α的某種三角函數值,可求α的其它三角函數值,利用二倍角及兩角和差關系式,可求2α或α+

(為特殊角)的三角函數值.第38頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展2[解析]法(一)由條件得第39頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展2第40頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例5]

是否存在銳角α、β，使α+2β=與tantanβ=同時成立？若存在，求出α、β的大??；若不存在，說明理由.[解析]

假設存在滿足條件的銳角α，β，則第41頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第42頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

問是否存在的問題，一般選假設存在，再從條件入手；求角時，一般是先求得三角函數值，再由角的范圍求得角的大小.返回節(jié)菜單返回章菜單第43頁,共84頁，2024年2月25日，星期天§5.3三角函數的圖象和性質知識要點例題剖析第44頁,共84頁，2024年2月25日，星期天知識要點1.y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象和性質

①圖象②定義域③值域④奇偶性⑤單調性⑥周期性2.y=Asin(wx+）的圖象作圖方法：

（1）五點作圖法（2）圖象變換法a.相位變換y=sinx圖象向左（>0)或向右（<0）平移||個單位得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象.第45頁,共84頁，2024年2月25日，星期天知識要點b.周期變換y=sinx橫坐標伸長（0<w<1）或縮短（w>1)到原來的倍（縱坐標不變）得到y(tǒng)=sinwx的圖象.c.振幅變換y=sinx縱坐標伸長（A>1)或縮短（0<A<1)到原來的A倍（橫坐標不變）得到y(tǒng)=Asinx圖象.3.

y=Asin(wx+），y=Acos(wx+)（A≠0，w≠0）的最小正周期為,y=Atan(wx+)(A≠0,w≠0)的最小正周期為.4.由y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象可得

①y=sinx圖象關于直線x=kπ+對稱，關于點（kπ,0）對稱;第46頁,共84頁，2024年2月25日，星期天②y=cosx圖象關于直線x=kπ對稱，關于點（kπ+,0）對稱;③y=tanx圖象關于點（,0）對稱(以上k∈Z).5.三角函數中的最值問題一般有如下三種方法：

（1）三角法：先通過三角恒等變形，化為形如y=Asin(wx+）+B,y=Acos(wx+)+B,y=Atan(wx+)+B，利用|sin(wx+)|≤1,|cos(wx+)|≤1或圖象來確定最值.（2）代數法：先通過變量代換轉化為代數函數，再利用配方法、不等式法、判別式法、單調性法等求解.（3）解析法：將三角函數與坐標定義聯(lián)系起來運用解析幾何的知識來求最值.知識要點返回節(jié)菜單第47頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例1]

函數y=cos4x-sin4x圖象的一條對稱軸方程是

.[答案][解析]第48頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例2]

已知函數（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五點法作出它的圖象；（3）說明該函數的圖象可以由y=sinx的圖象經怎樣的變換得到.x0020-20[解析]（1）振幅A=2，周期T=，初相（2）列表：第49頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析描點作圖（如右圖）（3）把y=sinx的圖象上所有的點向左平移個單位得到y(tǒng)=sin(x+)的圖象;再把y=sin(x+)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的(縱坐標不變)倍,得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象;再把y=sin(2x+)圖象上各點的縱坐標伸長為原來的2倍(橫坐標不變)即可得到y(tǒng)=2sin(2x+)的圖象.

動態(tài)演示第50頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

作y=Asin(wx+)+B的圖象以五點法最為方便,但必須清楚它的圖象與y=sinx圖象的關系.第51頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例3]

已知函數（1）求其最小正周期、單調增區(qū)間；（2）求其最大值及取得最大值時x的集合.[解析]第52頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第53頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

求函數的最小正周期,若能化為形如y=Asin(wx+)+B成y=Acos(wx+)+B或y=Atan(wx+)+B,則只須分別代入即可求y=Asin(wx+)+B的單調區(qū)間問題,實位是利用y=sinx的單調性及復合函數的問題來解決,特別應注意w<0或A<0時的情形易出錯.第54頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展1已知函數的最大值為2.①求a；②當時，求f(x)的單調增區(qū)間.[解析]

①第55頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展1即f(x)的最大值為3+a由條件得3+a=2,即a=-1②令第56頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例4]f(x)=cos2wx+sinwxcoswx+a(其中w>0,a∈R),且f(x)的圖象在y軸右側的第一個最高點的橫坐為(1)求w的值;(2)若f(x)在區(qū)間上的最小值為,求a的值.[解析]第57頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第58頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]關于給出條件求y=Asin(wx+)+B的表達式,求解時應注意y=sinx圖象及性質,原因是y=Asin(wx+)+B圖象必可由y=sinx圖象平移成伸縮得到,在求y=Asin(wx+)+B且x給定范圍的最值時,應注意不能直接把給定區(qū)間的邊界值代入.第59頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展2已知函數f(x)=sin2x+acos2x的圖象關于直線x=對稱.(1)求實數a的值;(2)求當|x|≤時,f(x)的值域.[解析](1)∵點P(x，y)關于直線x=的對稱點P′(-x,y)由條件,P在f(x)圖象上時,P′也在f(x)圖象上第60頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展2第61頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例5]

如下圖,是函數y=2sin(wx+)(||≤w>0)的一段圖象,則w、的值是 （ ）第62頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[解析]如上圖，給我們的信息是(1)點(0,1),(,0)在圖象上(2)函數的最小正周期第63頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析第64頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

在給出圖象求表達式時，應注意充分挖掘圖中的信息，如對稱性、單調性、特殊點等，對三角函數來說還應注意其最小正周期.返回節(jié)菜單返回章菜單第65頁,共84頁，2024年2月25日，星期天§5.4三角函數應用知識要點例題剖析第66頁,共84頁，2024年2月25日，星期天知識要點1.利用三角函數的圖象和性質，解決與三角函數有關的最值問題、不等式問題、奇偶問題等.2.通過引入三角函數，解決給出有一定實際背景的問題.返回節(jié)菜單第67頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例1]關于函數f(x)=4sin(2x+)()有以下命題：①f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數倍；②y=f(x)可以改寫為y=4cos(2x-);③y=f(x)的圖象關于點(-,0)對稱；④y=f(x)的圖象關于直線x=-

對稱；其中正確的命題的序號是

(把你認為正確的都填上).[答案]

②③第68頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[解析]∵①取x1=命題①不成立.第69頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例2]如下圖所示，函數y=-xcosx的部分圖象是（ ）[解析]

∵f(x)=-xcosx有f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x)又∴當時,f(x)<0,∴排除B∴選D第70頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

給出函數的解析式來認圖象的，可以從給出的解析式的定義域、值域、奇偶性、對稱性、特殊點、單調性等方面進行排除.第71頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例3]某港口的水深y(米)與時間t(0≤t≤24,單位：時）的函數關系記為y=f(t)，下面是該港口某日的水深數據表：t(時)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0

由上述數據描出函數y=f(t)的圖象（如圖）,經過長期的觀察和擬合知該圖象可近似地看作函數y=Asinwt+B的圖象.(1)試根據所給數據和圖象，求出函數的表達式；(2)在一般情況下，船舶航行時船底與海底的距離不得小于4.5米才能保證航行的安全，如果某船的吃水深度（船底距水面的距離）為7米，那么該船在何時段內航行時才是安全的？第72頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[解析]

(1)根據表中的數據并結合圖象可知第73頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析(2)依題意,要使船安全通過,水深不得少于11.5米令y≥11.5得3.0sin∴1≤t≤5或13≤t≤17第74頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[點評]

由圖象或表數據求形如y=Asin(wx+)+B的解析式時，通常由圖象的最高點和最低點(數據的最大值和最小值)來求A和B，由周期來求w，由特殊點來求.第75頁,共84頁，2024年2月25日，星期天(2007江西)如圖，函數y=2cos(ωx+θ)(x∈R,ω＞0,0≤θ≤)的圖象與y軸交于點(0,)，且該函數的最小正周期為π.(1)求θ和ω的值；(2)已知點A(,0),點P是該函數圖象上一點,點Q(x0,y0)是PA的中點，當y0=，x0∈［,π］時，求x0的值.延伸拓展1[解析](1)將x=0,y=代入函數y=2cos(wx+θ)中,得cosθ=

,因為0≤θ≤,所以θ=第76頁,共84頁，2024年2月25日，星期天延伸拓展1第77頁,共84頁，2024年2月25日，星期天例題剖析[例4]已知實數x、y滿足x2+y2+2x=0,求y2-3x的最大值及最小值.[解析]法(一)由條件得y2=-x2-2x,且y2≥0得-2≤x≤0∴f(x)=y2-3x=-x2-2x-3x=-x2-5x(