《數(shù)學(xué)（上 二冊）（第二版）》 課件 第5章 平面向量

平面向量第5章1目錄5.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算5.2平面向量的坐標(biāo)表示5.3平面向量的數(shù)量積25.1平面向量的概念及其線性運(yùn)算3平面向量的概念我們把類似位移、速度、力等既有大小又有方向的量稱為向量，而把那些只有大小沒有方向的量（如長度、時間、年齡等）稱為數(shù)量。處在平面內(nèi)的向量常被稱為平面向量。本章討論的向量都是平面向量。在實例考察關(guān)于力的實例中，重力G、浮力F都是用帶箭頭的線段表示的。線段的長度表示力的大小，線段的箭頭方向表示力的方向。由于帶箭頭的線段能直觀形象地反映向量的大小和方向，因此，我們通常用這種帶箭頭的線段來表示向量，線段的長度表示向量的大小，箭頭的方向表示向量的方向。4如圖a所示，A，B是線段的兩個端點。如果向量的方向是從A到B（A為起點，B為終點），則該向量可記作

，讀作“向量AB”如果方向相反（B為起點，A為終點），則該向量可記作

，讀作“向量BA”。顯然，

與

的大小相等且方向相反。用帶箭頭的線段表示一個已知向量時，線段的起點可以在平面上任何位置，被限定的只是終點相對于起點的位置。如圖b所示，一個水平向右、大小為50牛頓的力F可以用

來表示，也能用

來表示，即向量只與大小和方向有關(guān)，而與起點選取的位置無關(guān)。這樣的向量常被稱為自由向量。本章討論的向量都是自由向量。56向量也可以用小寫英文字母a，b，c，…表示。這些字母印刷時用黑體，手寫則應(yīng)寫成

，…的形式。向量有兩個基本要素：大小和方向。向量的大小稱為向量的模（或長度），向量

，a，

的長度分別記作

。我們把模為零的向量稱為零向量，記作0。零向量的方向是任意的。一排學(xué)生一起前進(jìn)，在這一過程中，他們的位移方向相同；飛機(jī)在北京和重慶之間往返的位移方向相反。我們把方向相同或相反的非零向量稱為平行向量。如圖所示，a，b，c是三個平行向量，可記作a∥b∥c。7我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即0∥a。長度相等且方向相同的向量稱為相等向量。一排同學(xué)一起齊步前進(jìn)，他們的位移就是相等向量。與向量a模相等且方向相反的向量b稱為向量a的負(fù)向量（或相反向量），記作b=-a。如圖所示，a，b，c是一組平行向量，在平面內(nèi)任意地作一條平行于上述向量的直線l。任選l上的一點O，可以作

。這就是說，任一組平行向量都可以被移到同一條直線上。所以，我們也將平行向量稱為共線向量。8平面向量的加減運(yùn)算如圖所示，我們用字母A，B，C分別表示北京、上海、廣州三個城市所在的位置。如果一架飛機(jī)從A處（北京）飛到B處（上海），然后再從B處飛到C處（廣州），那么這架飛機(jī)兩次（飛行）位移

和

的和，與飛機(jī)從A處直接飛到C處的位移

相同。我們把位移

稱為位移

與

的和，記作9如圖所示，已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作

=a，

=b，則向量

稱為a與b的和向量，記作a+b，即求向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，上述這種求兩個向量和的方法稱為向量加法的三角形法則。10如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，因為

，所以

。?？梢姡?/p>

與

的和正好是以向量

，

為鄰邊的平行四邊形的對角線AC表示的向量。這種求不共線的兩個向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則。對于向量加法，我們規(guī)定：1.a+0=0+a=a。2.a+（-a）=0。向量加法還滿足下列運(yùn)算律：1.a+b=b+a。2.（a+b）+c=a+（b+c）。通常我們將（a+b）+c記作a+b+c。11我們知道，減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。同樣地，我們定義a-b=a+（-b），即減去一個向量等于加上這個向量的負(fù)向量，所得到的向量稱為a與b的差向量。求向量差的運(yùn)算稱為向量的減法。由向量減法的定義，起點相同的兩個向量

和

的差向量應(yīng)為由此，我們可以得到a-b的作圖方法。12如圖所示，在平面內(nèi)任取一點O，作

=a，

=b，則

=a-b。即起點相同的兩個向量a與b的差a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量。13向量的數(shù)乘運(yùn)算如圖所示，桌面上放有質(zhì)量相等的4個鐵球，每個鐵球?qū)ψ烂娴膲毫是相等的，則桌面受到的總壓力是F+F+F+F。14如圖所示，我們作出則我們把F+F+F+F記作4F?？梢钥闯?，向量4F的方向與F的方向相同，向量4F的模是F的模的4倍，即15實數(shù)與向量相乘的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算。對任意向量a，b，設(shè)λ，μ為實數(shù)，有1.λ（μa）=（λμ）a。2.（λ+μ）a=λa+μa。3.λ（a+b）=λa+λb。由數(shù)乘向量和共線向量的概念，可以得到165.2平面向量的坐標(biāo)表示17向量的坐標(biāo)表示如圖b所示，力F1=

，F(xiàn)2=

，它們的起點為同一個點O，

的終點M的坐標(biāo)為（45，0），

的終點N的坐標(biāo)為（0，60）。根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，兩個力F1，F(xiàn)2的合力F=

+

=

的終點A的坐標(biāo)為（45，60）。因此，合力F的大小和方向分別為可以看出，在平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)向量的起點位于坐標(biāo)原點時，向量的長度和方向就由終點的坐標(biāo)唯一確定。1819如圖a所示，在平面直角坐標(biāo)系中，對于給定的一個向量a，我們總可以通過平移，使向量a的起點位于坐標(biāo)原點O，這時向量a的終點A是唯一確定的。根據(jù)平行四邊形法則，向量a=

可以看成是兩個向量

與

的和。即設(shè)點A的坐標(biāo)是（x，y），i，j分別是方向與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量（即模為1的向量）。則所以2021我們把用xi+yj來表示向量的形式稱為向量a的代數(shù)形式。把有序?qū)崝?shù)對（x，y）稱為向量a的坐標(biāo)表示，也稱為坐標(biāo)形式，記作而且，向量a的模為顯然，向量

終點A的坐標(biāo)（x，y），就是向量

的坐標(biāo)；反之亦然。22如上圖b所示，對于直角坐標(biāo)系中任一向量

，起點A的坐標(biāo)是（x1，y1），終點B的坐標(biāo)是（x2，y2）。由向量的減法，得到根據(jù)向量的代數(shù)形式，可知所以

=（x2-x1，y2-y1），即23向量的坐標(biāo)運(yùn)算一在平面直角坐標(biāo)系中，已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1i+y1j）+（x2i+y2j）

=（x1+x2）i+（y1+y2）j，即a+b=（x1+x2，y1+y2）。類似地，有

a-b=（x1-x2，y1-y2），λa=（λx1，λy1）。24由此，我們得到：設(shè)a的坐標(biāo)為（x1，y1），b的坐標(biāo)為（x2，y2）。如果a∥b（b≠0），那么存在一個實數(shù)λ，使得a=λb。坐標(biāo)表示為（x1，y1）=λ（x2，y2）=（λx2，λy2），即25當(dāng)λ≠0時，上述方程組消去實數(shù)λ，得x1y2-x2y1=0。當(dāng)λ=0時，x1=y1=0，也有x1y2-x2y1=0，這一過程也可進(jìn)行逆向推導(dǎo)。由此，我們得到：265.3平面向量的數(shù)量積27由物理學(xué)知識可知，力做的功等于力與受力物體在力的方向上移動距離的乘積。如圖所示，某同學(xué)在推小車，水平方向位移為s，推力F的方向與地面夾角為45°。那么，她做的功W等于力F在小推車位移方向上的分量|F|cos45°與小推車移動的距離|s|的乘積，即W=|F|cos45°·|s|=|F||s|cos45°。28平面向量的數(shù)量積在實例考察中，某同學(xué)做的功W=|F||s|cos45°，在這里，|F|是推力的大小，|s|是水平位移的大小，45°是力F和位移s的夾角，我們把W稱為向量F和s的數(shù)量積，它是一個數(shù)量。若任意非零向量a，b的夾角為θ（θ∈[0，π]），我們就把|a||b|cosθ稱為向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ。29由向量的數(shù)量積的定義，可得到以下重要性質(zhì)：1.a·a=|a||a|cos0°=|a|2，即有2.對于非零向量a，b，當(dāng)a⊥b時，有a·b=|a||b|cos90°=0。反之，當(dāng)a·b=0時，有a⊥b。3.對于任意向量a，b，c和實數(shù)m，有下列運(yùn)算律：

a·b=b·a，

（ma）·b=m（a·b），（a+c）·b=a·b+c·b。30數(shù)量積的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），在x軸上的單位向量為i，在y軸上的單位向量為j，則有|i|=1，|j|=1，i·i=1，j·j=1，i·j=0，j·i=0，a=（x1，y1）=x1i+y1j，b=（x2，y2）=x2i+y2j。31所以

a·b=（x1i+y1j）·（x2i+y2j）

=x1x2i·i+x1y2i·j+y1x2j·i+y1y2j·j

=x1x2

i

2+y1y2

j2

=x1x2+y1y2，即

a·b=x1x2+y1y2。

①32式①稱為平面向量的數(shù)量積公式