2024年九年級初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答 第10講 拋物線

PAGEPAGE82024年九年級初中數(shù)學競賽輔導講義及習題解答第十講拋物線一般地說來，我們稱函數(shù)(、、為常數(shù)，)為的二次函數(shù)，其圖象為一條拋物線，與拋物線相關(guān)的知識有：1．、、的符號決定拋物線的大致位置；2．拋物線關(guān)于對稱，拋物線開口方向、開口大小僅與相關(guān)，拋物線在頂點(，)處取得最值；3．拋物線的解析式有下列三種形式：①一般式：；②頂點式：；③交點式：，這里、是方程的兩個實根．確定拋物線的解析式一般要兩個或三個獨立條件，靈活地選用不同方法求出拋物線的解析式是解與拋物線相關(guān)問題的關(guān)鍵．注：對稱是一種數(shù)學美，它展示出整體的和諧與平衡之美，拋物線是軸對稱圖形，解題中應(yīng)積極捕捉、創(chuàng)造對稱關(guān)系，以便從整體上把握問題，由拋物線捕捉對稱信息的方式有：(1)從拋物線上兩點的縱坐標相等獲得對稱信息；(2)從拋物線的對稱軸方程與拋物線被軸所截得的弦長獲得對稱信息．【例題求解】【例1】二次函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)值時，對應(yīng)的取值范圍是．思路點撥由圖象知拋物線頂點坐標為(一1，一4)，可求出，值，先求出時，對應(yīng)的值．【例2】已知拋物線(<0)經(jīng)過點(一1，0)，且滿足．以下結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)有()A．1個B．2個C．3個D．4個思路點撥由條件大致確定拋物線的位置，進而判定、、的符號；由特殊點的坐標得等式或不等式；運用根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系．【例3】如圖，有一塊鐵皮，拱形邊緣呈拋物線狀，MN＝4分米，拋物線頂點處到邊MN的距離是4分米，要在鐵皮上截下一矩形ABCD，使矩形頂點B、C落在邊MN上，A、D落在拋物線上，問這樣截下的矩形鐵皮的周長能否等于8分米?思路點撥恰當建立直角坐標系，易得出M、N及拋物線頂點坐標，從而求出拋物線的解析式，設(shè)A(，)，建立含的方程，矩形鐵皮的周長能否等于8分米，取決于求出的值是否在已求得的拋物線解析式中自變量的取值范圍內(nèi)．注：把一個生產(chǎn)、生活中的實際問題轉(zhuǎn)化，成數(shù)學問題，需要觀察分析、建模，建立直角坐標系下的函數(shù)模型是解決實際問題的常用方法，同一問題有不同的建模方式，通過分析比較可獲得簡解．【例4】二次函數(shù)的圖象與軸交于A、兩點(點A在點B左邊)，與軸交于C點，且∠ACB＝90°．(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)計兩種方案：作一條與軸不重合，與△ABC兩邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積為△BOC面積的，寫出所截得的三角形三個頂點的坐標(注：設(shè)計的方案不必證明)．思路點撥(1)A、B、C三點坐標可用m的代數(shù)式表示，利用相似三角形性質(zhì)建立含m的方程；(2)通過特殊點，構(gòu)造相似三角形基本圖形，確定設(shè)計方案．注：解函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題，善于求點的坐標，進而求出函數(shù)解析式是解題的基礎(chǔ)；而充分發(fā)揮形的因素，數(shù)形互助，把證明與計算相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．已知函數(shù)，其中自變量為正整數(shù)，也是正整數(shù)，求何值時，函數(shù)值最小．思路點撥將函數(shù)解析式通過變形得配方式，其對稱軸為，因，，故函數(shù)的最小值只可能在取，，時達到．所以，解決本例的關(guān)鍵在于分類討論．學歷訓練1．如圖，若拋物線與四條直線、、、所圍成的正方形有公共點，則的取值范圍是．2．拋物線與軸的正半軸交于A，B兩點，與軸交于C點，且線段AB的長為1，△ABC的面積為1，則的值為．3．如圖，拋物線的對稱軸是直線，它與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，點A、C的坐標分別為(-l，0)、(0，)，則(1)拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為；(2)若點P為此拋物線上位于軸上方的一個動點，則△ABP面積的最大值為．4．已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，且OA＝OC，則由拋物線的特征寫出如下含有、、三個字母的式子①，②，③，④，>0，其中正確結(jié)論的序號是(把你認為正確的都填上)．5．已知，點(，)，(，)，(，)都在函數(shù)的圖象上，則()A．B．C．D．6．把拋物線的圖象向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為，則有()A．，B．，C．，c＝3D．，7．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點(，)所在的直角坐標系是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限8．周長是4m的矩形，它的面積S(m2)與一邊長(m)的函數(shù)圖象大致是()9．閱讀下面的文字后，回答問題：“已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0，)，B(1，-2)，求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線．題目中的橫線部分是一段被墨水污染了無法辨認的文字．(1)根據(jù)現(xiàn)有的信息，你能否求出題目中二次函數(shù)的解析式?若能，寫出求解過程；若不能，說明理由．(2)請你根據(jù)已有信息，在原題中的橫線上，填加一個適當?shù)臈l件，把原題補充完整．10．如圖，一位運動員在距籃下4米處跳起投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離為2.5米時，達到最大高度3.5米，然后準確落入籃圈．已知籃圈中心到地面的距離為3.05米．(1)建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的解析式；(2)該運動員身高1.8米，在這次跳投中，球在頭頂上方0.25米處出手，問：球出手時，他跳離地面的高度是多少?11．如圖，拋物線和直線()與軸、y軸都相交于A、B兩點，已知拋物線的對稱軸與軸相交于C點，且∠ABC＝90°，求拋物線的解析式．12．拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，若△ABC是直角三角形，則．13．如圖，已知直線與拋物線相交于A、B兩點，O為坐標原點，那么△OAB的面積等于．14．已知二次函數(shù)，一次函數(shù)．若它們的圖象對于任意的實數(shù)是都只有一個公共點，則二次函數(shù)的解析式為．15．如圖，拋物線與兩坐標軸的交點分別是A，B，E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，則下列關(guān)系式中不能總成立的是()A．b=0B．S△ADC＝c2C．a(chǎn)c＝一1D．a(chǎn)+c＝016．由于被墨水污染，一道數(shù)學題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)的圖象過點(1，0)…求證：這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)不具有的性質(zhì)是()A．過點(3，0)B．頂點是(2，一2)C．在軸上截得的線段長為2D．與軸的交點是(0，3)17．已知A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函數(shù)()的圖象上兩時，二次函數(shù)的值是()A．B．C．2002D．518．某種產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過1000噸，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量(單位：噸)與費用(單位：萬元)之間函數(shù)的圖象是頂點在原點的拋物線的一部分(如圖1所示)；該產(chǎn)品的年銷售量(單位：噸)與銷售單價(單位：萬元／噸)之間函數(shù)的圖象是線段(如圖2所示)．若生產(chǎn)出的產(chǎn)品都能在當年銷售完，問年產(chǎn)量是多少噸時，所獲毛利潤最大?(毛利潤＝銷售額一費用)．19．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與軸交于點C，直線：x＝m(m>1)與軸交于點D．(1)求A、B、C三點的坐標；(2)在直線x＝m(m>1)上有一點P(點P在第一象限)，使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點坐標(用含m的代數(shù)式表示)；(3)在(2)成立的條件下，試問：拋物線上是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形?如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由．20．已知二次函數(shù)及實數(shù)，求(1)函數(shù)在一2<x≤a的最小值；(2)函數(shù)在a≤x≤a+2的最小值．21．如圖，在直角坐標：O中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C(4，)，且在軸上截得的線段AB的長為6．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在軸上求作一點P(不寫作法)使PA+PC最小，并求P點坐標；(3)在軸的上方的拋物線上，是否存在點Q，使得以Q、A、B三點為頂點的三角形與△ABC相似?如果存在，求出Q點的坐標；如果不存在，請說明理由．22．某校研究性學習小組在研究有關(guān)二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)的問題時，發(fā)現(xiàn)了兩個重要結(jié)論．一是發(fā)現(xiàn)拋物線y=ax2+2x+3(a≠0)，當實數(shù)a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發(fā)現(xiàn)當實數(shù)a變化時，若把拋物線y=ax2+2x+3的頂點的橫坐標減少，縱坐標增加，得到A點的坐標；若把頂點的橫坐標增加，縱坐標增加，得到B點的坐標，則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax2+2x+3上．(1)請你協(xié)助探求出當實數(shù)a變化時，拋物線y=ax2+2x+3的頂點所在直線的解析式；(2)問題(1)中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎?并說明理由；(3)在他們第二個發(fā)現(xiàn)的啟發(fā)下，運用“一般——特殊—一般”的思想，你還能發(fā)現(xiàn)什么?你能用數(shù)學語言將你的猜想表述出來嗎?你的猜想能成立嗎?若能成立請說明理由．參考答案第十一講雙曲線形如()的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，它的圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，與雙曲線相關(guān)的知識有：雙曲線解析式中的系數(shù)決定圖象的大致位置及隨變化的狀況．第十二講方程與函數(shù)方程思想是指在解決問題時，通過等量關(guān)系將已知與未知聯(lián)系起來，建立方程或方程組，然后運用方程的知識使問題得以解決的方法；函數(shù)描述了自然界中量與量之間的依存關(guān)系，函數(shù)思想的實質(zhì)是剔除問題的非本質(zhì)特征，用聯(lián)系和變化的觀點研究問題．轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系去解決．方程與函數(shù)聯(lián)系密切，我們可以用方程思想解決函數(shù)問題，也可以用函數(shù)思想討論方程問題，在確定函數(shù)解析式中的待定系數(shù)、函數(shù)圖象與坐標軸的交點、函數(shù)圖象的交點等問題時，常將問題轉(zhuǎn)化為解方程或方程組；而在討論方程、方程組的解的個數(shù)、解的分布情況等問題時，借助函數(shù)圖象能獲得直觀簡捷的解答．【例題求解】【例1】若關(guān)于的方程有解，則實數(shù)m的取值范圍．思路點撥可以利用絕對值知識討論，也可以用函數(shù)思想探討：作函數(shù)，函數(shù)圖象，原方程有解，即兩函數(shù)圖象有交點，依此確定m的取值范圍．【例2】設(shè)關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，，且<1<，那么取值范圍是()A．B．C．D．思路點撥因根的表達式復(fù)雜，故把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，即求對應(yīng)的二次函數(shù)與軸的交點滿足<1<的的值，注意判別式的隱含制約．【例3】已知拋物線()與軸交于兩點A(，0)，B(，0)(≠)．(1)求的取值范圍，并證明A、B兩點都在原點O的左側(cè)；(2)若拋物線與軸交于點C，且OA+OB＝OC一2，求的值．思路點撥、是方程的兩個不等實根，于是二次函數(shù)問題就可以轉(zhuǎn)化為二次方程問題加以解決，利用判別式，根與系數(shù)的關(guān)系是解題的切入點．【例4】拋物線與軸的正半軸交于點C，與軸交于A、B兩點，并且點B在A的右邊，△ABC的面積是△OAC面積的3倍．(1)求這條拋物線的解析式；(2)判斷△OBC與△OCA是否相似，并說明理由．思路點撥綜合運用判別式、根與系數(shù)關(guān)系等知識，可判定對應(yīng)方程根的符號特征、兩實根的關(guān)系，這是解本例的關(guān)鍵．對于(1)，建立關(guān)于m的等式，求出m的值；對于(2)依m(xù)的值分類討論．【例5】已知拋物線上有一點M(，)位于軸下方．(1)求證：此拋物線與軸交于兩點；(2)設(shè)此拋物線與軸的交點為A(，0)，B(，0)，且<，求證：<<．思路點撥對于(1)，即要證；對于(2)，即要證．注：(1)拋物線與軸交點問題常轉(zhuǎn)化為二次方程根的個數(shù)、根的符號特征、根的關(guān)系來探討，需綜合運用判別式、韋達定理等知識．(2)對較復(fù)雜的二次方程實根分布問題，常轉(zhuǎn)化為用函數(shù)的觀點來討論，基本步驟是：在直角坐標系中作出對應(yīng)函數(shù)圖象，由確定函數(shù)圖象大致位置的約束條件建立不等式組．(3)一個關(guān)于二次函數(shù)圖象的命題：已知二次函數(shù)（）的圖象與軸交于A（，0），B(，0)兩點，頂點為C．①△ABC是直角三角形的充要條件是：△=．②△ABC是等邊三角形的充要條件是：△=學歷訓練1．已知關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸有交點，則m的取值范圍是．2．已知拋物線與軸交于A(，0)，B(，0)兩點，且，則．3．已知二次函數(shù)y=kx2+(2k－1)x—1與x軸交點的橫坐標為x1、x2(x1<x2)，則對于下列結(jié)論：①當x=－2時，y=l；②當x>x2，時，y>O；③方程kx2+l(2k－1)x—l=O有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2；④x1<－l，x2>－l；⑤x2－x1=，其中所有正確的結(jié)論是(只需填寫序號)．4．設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸交于A、B兩點，且線段OA與OB的長的比為1：4，則＝()．A．8B．一4C．1lD．一4或115．已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c與x軸相交于A(x1,0)、B(x2，0)兩點，其頂點坐標為P(－，)，AB＝｜x1－x2|，若S△APB＝1，則b與c的關(guān)系式是()A．b2－4c+1=0B．b2－4c－1=0C．b2－4c+4=0D．b2－4c－4=06．已知方程有一個負根而且沒有正根，那么的取值范圍是()A．>-1B．＝1C．≥1D．非上述答案7．已知在平面直角坐標系內(nèi)，O為坐標原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側(cè)，如圖，二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A、B，與y軸相交于點C．（1）a、c的符號之間有何關(guān)系？（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數(shù)；（3）在（2）的條件下，如果b=－4，AB=4，求a、c的值．8．已知：拋物線過點A(一1，4)，其頂點的橫坐標為，與軸分別交于B(x1,0)、C(x2，0)兩點(其中且<)，且．(1)求此拋物線的解析式及頂點E的坐標；(2)設(shè)此拋物線與軸交于D點，點M是拋物線上的點，若△MBO的面積為△DOC面積的倍，求點M的坐標．9．已知拋物線交x軸于A（，0）、B（，0），交y軸于C點，且＜0＜，.（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P，使∠APB為銳角，若存在，求出P點的橫坐標的范圍；若不存在，請說明理由.10．設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，則=.11．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是．12．已知、為拋物線與軸交點的橫坐標，，則的值為．13．是否存在這樣的實數(shù)，使得二次方程有兩個實數(shù)根，且兩根都在2與4之間?如果有，試確定的取值范圍；如果沒有，試述理由．14．設(shè)拋物線的圖象與軸只有一個交點．(1)求的值；(2)求的值．15．已知以為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點的橫坐標的差的平方等于關(guān)于的方程的一整數(shù)根，求的值．16．已知二次函數(shù)的圖象開口向上且不過原點O，頂點坐標為(1，一2)，與軸交于點A，B，與y軸交于點C，且滿足關(guān)系式．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求△ABC的面積．17．設(shè)是實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點A（，0）、B（，0）．(1)求證：；(2)若A、B兩點之間的距離不超過，求P的最大值．(

參考答案2．雙曲線圖象上的點是關(guān)于原點O成中心對稱，在>0時函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱；在<0時函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對稱．3．自變量的取值是不等于零的全體實數(shù)，雙曲線向坐標軸無限延伸但不能接近坐標軸．【例題求解】【例1】已知反比例函數(shù)的圖象與直線和過同一點，則當時，這個反比例函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而(填增大或減小)．思路點撥確定的值，只需求出雙曲線上一點的坐標即可．注：(1)解與反比函數(shù)相關(guān)問題時，充分考慮它的對稱性(關(guān)于原點O中心稱，關(guān)于軸對稱)，這樣既能從整上思考問題，又能提高思維的周密性．(2)一個常用命題：如圖，設(shè)點A是反比例函數(shù)()的圖象上一點，過A作AB⊥軸于B，過A作AC⊥軸于C，則①S△AOB=；②S矩形OBAC=．【例2】如圖，正比例函數(shù)()與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點，過A作AB⊥軸于B，連結(jié)BC，若S△ABC的面積為S，則()A．S=1B．S=2C．S=D．S=思路點撥運用雙曲線的對稱性，導出S△AOB與S△OBC的關(guān)系．【例3】如圖，已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)()的圖象在第一象限內(nèi)有兩個不同的公共點A、B．(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)若△AOB面積S＝24，求的值．(2003年荊門市中考題)思路點撥(1)兩圖象有兩個不同的公共點，即聯(lián)立方程組有兩組不同實數(shù)解；(2)S△AOB=S△COBS-S△COA，建立的方程．【例4】如圖，直線分別交、軸于點A、C，P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點，PB⊥軸于B，S△ABP=9．(1)求點P的坐標；(2)設(shè)點R與點P在同一個反比例函數(shù)的圖象上，且點R在直線PB的右側(cè)，作PT⊥軸于F，當△BRT與△AOC相似時，求點R的坐標．思路點撥(1)從已知的面積等式出發(fā)，列方程求P點坐標；(2)以三角形相似為條件，結(jié)合線段長與坐標的關(guān)系求R坐標，但要注意分類討論．【例5】如圖，正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在軸上，點C在軸上，點B在函數(shù)(，)的圖象上，點P(，)是函數(shù)(，)的圖象上的任意一點，過點P分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S．(1)求B點坐標和的值；(2)當時，求點P的坐標；(3)寫出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．思路點撥把矩形面積用坐標表示，A、B坐標可求，S矩形OAGF可用含的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是雙曲線關(guān)于對稱，符合題設(shè)條件的P點不惟一，故思考須周密．注：求兩個函數(shù)圖象的交點坐標，一般通過解這兩個函數(shù)解析式組成的方程組得到，求符合某種條件的點的坐標，需根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系和幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于縱橫坐標的方程(組)，解方程(組)便可求得有關(guān)點的坐標，對于幾何問題，還應(yīng)注意圖形的分類討論．學歷訓練若一次函數(shù)的圖象如圖所示，則拋物線的對稱軸位于y軸的側(cè)；反比例函數(shù)的圖象在第象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而．2．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(m，n)，其中m，n是一元二次方程的兩個根，則A點坐標為．3．如圖：函數(shù)（≠0）與的圖象交于A、B兩點，過點A作AC⊥軸，垂足為點C，則△BOC的面積為．4．已知，點P(n，2n)是第一象限的點，下面四個命題：(1)點P關(guān)于y軸對稱的點P1的坐標是(n，-2n)；(2)點P到原點O的距離是n；(3)直線y=-nx+2n不經(jīng)過第三象限；(4)對于函數(shù)y=，當x＜0時,y隨x的增大而減??；其中真命題是.(填上所有真命題的序號)5．已知反比例函數(shù)y=的圖像上兩點A(x1，y1)、B（x2，y2），當x1＜0＜x2時，有y1＜y2,則m的取值范圍是()A．m＜OB．m＞0C.m＜D.m＞6．已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致為()7．已知反比例函數(shù)當時，y隨x的增大面增大，那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過()A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第一、三、四象限D(zhuǎn)．第二、三、四象限8．如圖，A、B是函數(shù)的圖象上的點，且A、B關(guān)于原點O對稱，AC⊥軸于C，BD⊥軸于D，如果四邊形ACBD的面積為S，那么()A．S＝1B．1<S<2C．S>2D．S＝29．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠O)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點，且與反比例函數(shù)y=(m≠0)的圖像在第一象限交于C點，CD垂直于x軸，垂足為D．若OA=OB=OD=l．（1）求點A、B、D的坐標；（2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．10．已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直線與雙曲線()的兩個不同交點．(1)求的取值范圍；(2)是否存在這樣的值，使得?若存在，求出這樣的值；若不存在，請說明理由．11．已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)y＝2x-1，其中一次函數(shù)圖像經(jīng)過(a，b)，(a+1，b+k)兩點．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)如圖，已知點A在第一象限，且同時在上述兩個函數(shù)的圖像上，求A點坐標；(3)利用(2)的結(jié)果，請問：在x軸上是否存在點P，使ΔAOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由.