2024初中數(shù)學(xué)競賽9年級競賽輔導(dǎo)講義專題19 與圓有關(guān)的角含答案

2024初中數(shù)學(xué)競賽9年級競賽輔導(dǎo)講義專題19與圓有關(guān)的角閱讀與思考與圓有關(guān)的角主要有圓心角、圓周角、弦切角.特別的，直徑所對的圓周角是直角.圓內(nèi)接四邊形提供相等的角、互補(bǔ)的角，在理解與圓有關(guān)的角的概念時(shí)，要注意角的頂點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、角的兩邊與圓的位置關(guān)系.角在解題中經(jīng)常發(fā)揮重要的作用，是證明角平分線、兩線平行、兩線垂直，判定全等三角形、相似三角形的主要條件，而圓的特點(diǎn)又使角的互相轉(zhuǎn)化具備了靈活多變的優(yōu)越條件，是解題中最活躍的元素.熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.例題與求解【例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝EQ\r(,5)，BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，則△CDE的面積為___________.（海南省競賽題）例1題圖例2題圖解題思路：作DF⊥BC于F，需求出CE，DF的長.由AB為⊙O的直徑作出相關(guān)輔助線.【例2】如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，M是的中點(diǎn)，AM交BC于點(diǎn)D，若AD＝3，DM＝1，則MB的長是（）A．4B．2C．3D．EQ\r(,3)解題思路：圖中隱含許多相等的角，利用比例線段計(jì)算.【例3】如圖1，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中，∠DCE是直角，點(diǎn)D在線段AC上.(1)證明：B，C，E三點(diǎn)共線；(2)若M是線段BE的中點(diǎn)，N是線段AD的中點(diǎn)，證明：MN＝EQ\r(,2)OM；(3)將△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)后，記為△D1CE1(如圖2).若M1是線段BE1的中點(diǎn)，N1是線段AD1的中點(diǎn)，M1N1＝EQ\r(,2)OM1是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由.解題思路：對于(2)，充分利用條件中的多個(gè)中點(diǎn)，探尋線段之間的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.圖1圖1圖2【例4】如圖所示，ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，E是BD上的一點(diǎn)，∠BAE＝∠DAC.求證：(1)△ABE∽△ACD；(2)AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.（陜西省競賽試題）解題思路：由(1)可類比猜想，為(2)非常規(guī)問題的證明鋪平道路.【例5】如圖1，已知⊙M與x軸交于點(diǎn)A，D，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，C是⊙M上一點(diǎn)，且A（－2,0），B（0，4），AB＝BC.(1)求圓心M的坐標(biāo)；(2)求四邊形ABCD的面積；(3)如圖2，過C點(diǎn)作弦CF交BD于點(diǎn)E，當(dāng)BC＝BE時(shí)，求CF的長.解題思路：作出基本輔助線（如連接BM或AC），這是解(1)、(2)的基礎(chǔ)；對于(3)，由BC＝BE，得∠BEC＝∠BCE，連接AC，將與圓無關(guān)的∠BEC轉(zhuǎn)化為與圓有關(guān)角，導(dǎo)出CF平分∠ACD，這是解題的關(guān)鍵.【例6】如圖，AB，AC，AD是⊙O中的三條弦，點(diǎn)E在AD上，且AB＝AC＝AE.求證：(1)∠CAD＝2∠DBE；(2)AD2－AB2＝BD·DC.（浙江省競賽試題）解題思路：對于（2），AD2－AB2＝(AD＋AB)(AD－AB)＝(AD＋AE)(AD－AE)＝(AD＋AE)·DE，需證(AD＋AE)·DE＝BD·DC，從構(gòu)造相似三角形入手.能力訓(xùn)練A級1.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠BAC＝30°，點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng).設(shè)∠ACP＝x，則x的取值范圍是________.2.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，F(xiàn)是CG的中點(diǎn)，延長AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，則EF的長為________.3.如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，它們相交于點(diǎn)P.連接AD，BD，已知AD＝BD＝4，PC＝6，那么CD的長為________.4.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD中的兩條對角線相交于點(diǎn)P，已知AB＝BC，CD＝EQ\F(1,2)BD＝1.設(shè)AD＝x，用x的代數(shù)式表示PA與PC的積：PA·PC＝__________.（寧波市中考試題）5.如圖，ADBC是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB為直徑，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，則AD＝()A．50B．32C．5EQ\r(,2)D．4EQ\r(,2)第4題圖第5題圖第6題圖6.如圖，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圓直徑AE交BC邊于點(diǎn)G，有下列四個(gè)結(jié)論：①AD2＝BD·CD；②BE2＝EG·AE；③AE·AD＝AB·AC；④AG·EG＝BG·CG.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)（哈爾濱市中考試題）7.如圖，正△ABC內(nèi)接于⊙O，P是劣弧上任意一點(diǎn)，PA與BC交于點(diǎn)E，有如下結(jié)論：①PA＝PB＋PC；②；③PA·PE＝PB·PC.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()（天津市中考試題）A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)8.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長AD，BC交于點(diǎn)M，延長AB，DC交于點(diǎn)N，∠M＝20°，∠N＝40°，則∠A的大小為（）A．35°B．60°C．65°D．70°第7題圖第8題圖第9題圖9.如圖，已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AD＝CD，AC交BD于點(diǎn)E.求證：(1)；(2)AD·CD－AE·EC＝DE2；（揚(yáng)州市中考試題）如圖，已知四邊形ABCD外接圓⊙O的半徑為5，對角線AC與BD交于點(diǎn)E，且AB2＝AE?AC，BD＝8，求△ABD的面積.（黑龍江省中考試題）11.如圖，已知⊙O的內(nèi)接△ABC中，AB＋AC＝12，AD⊥BC于D，AD＝3.設(shè)⊙O的半徑為y，AB的長為x.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)AB的長等于多少時(shí)，⊙O的面積最大？并求出⊙O的最大面積.（南京市中考試題）12.如圖，已知半圓⊙O的直徑AB＝4，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)固定在圓心O上.當(dāng)三角板繞著O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，三角板的兩條直角邊與半圓周分別交于C，D兩點(diǎn)，連接AD，BC交于點(diǎn)E.(1)求證：△ACE∽△BDE；(2)求證：BD＝DE；(3)設(shè)BD＝x，求△AEC的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍.（廣東省中考試題）B級1.如圖，△ABC內(nèi)接于直徑為d的圓，設(shè)BC＝a，AC＝b，那么△ABC的高CD＝__________.2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OCB的外接圓與y軸相交于點(diǎn)A（0，EQ\r(,2)），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，則OC＝__________.第1題圖第2題圖第3題圖如圖，AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，設(shè)∠COD＝α，則＝________.（江蘇省競賽試題）4.如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AD≠AB，∠DAB＝90°，對角線AC平分∠DAB.若AD＝a，AB＝b，則AC＝___________.（“東亞杯”競賽試題）5.如圖，ABCD是一個(gè)以AD為直徑的圓內(nèi)接四邊形，AB＝5，PC＝4，分別延長AB和DC，它們相交于點(diǎn)P，若∠APD＝60°，則⊙O的面積為（）A．25πB．16πC．15πD．13π6.如圖，AB＝AC＝AD，若∠DAC是∠CAB的k倍（k為正數(shù)），那么∠DBC是∠BDC的（）A．k倍B．2k倍C．3k倍D．以上答案都不對第4題圖第5題圖第6題圖7.如圖，AD是Rt△ABC斜邊BC上的高，AB＝AC，過A，D兩點(diǎn)的圓與AB，AC分別相交于E，F(xiàn)，弦EF與AD相交于點(diǎn)G，則圖中與△GDE相似的三角形的個(gè)數(shù)為()A．5個(gè)B．4個(gè)C．3個(gè)D．2個(gè)8．如圖，AB為⊙O的直徑，AC交⊙O于點(diǎn)E，BC交⊙O于點(diǎn)D，CD＝BD，∠C＝70°，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①∠A＝45°；②AC＝AB；③；④CE·AB＝2BD2.其中正確結(jié)論的序號是()A．①②B．②③C．②④D．③④（蘇州市中考試題）第7題圖第8題圖第9題圖9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC為⊙O的直徑，E為DC邊上一點(diǎn)，若AE∥BC,AE＝EC＝7，AB＝6.(1)求AD的長；(2)求BE的長.（紹興市競賽題）10.如圖1，已知M（EQ\F(1,2)，EQ\F(EQ\r(,3),2)），以M為圓心，MO為半徑的⊙M分別交x軸，y軸于B，A.(1)求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo);(2)C是上一點(diǎn)，若BC＝EQ\r(,3)，試判斷四邊形ACOM是何種特殊四邊形，并說明理由;(3)如圖2，在(2)的條件下，P是上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PB，PC.當(dāng)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：EQ\F(PA+PO,PC)的值是定值.11.如圖，四邊形ABCD為正方形，⊙O過正方形的頂點(diǎn)A和對角線的交點(diǎn)P，分別交AB，AD于點(diǎn)F，E.(1)求證：DE＝AF；(2)若⊙O的半徑為EQ\F(EQ\r(,3),2)，AB＝EQ\r(,2)＋1，求EQ\F(AE,ED)的值.（江蘇省競賽題）專題19與圓有關(guān)的角例1連結(jié)AE，BD，則AE⊥BC，BD⊥AC，CE＝BE＝1，AE＝2.由AE·BC＝AC·BD，得BD＝EQ\F(4EQ\r(,5),5)，CD＝EQ\F(2EQ\r(,5),5)，又EQ\F(CD,CA)＝EQ\F(DF,AE)，得DF＝EQ\F(4,5)，故S△CDE＝EQ\F(1,2)CE·DF＝EQ\F(1,2)×1×EQ\F(4,5)＝EQ\F(2,5).專題20直線與圓的位置關(guān)系（1）閱讀與思考圓心到直線的距離與圓的半徑的大小量化確定直線與圓的相離、相切、相交三種位置關(guān)系.直線與圓相切是研究直線與圓的位置關(guān)系的重點(diǎn).與切線相關(guān)的知識，包括弦切角、切線的性質(zhì)和判斷、切線長定理、切割線定理等.證明一直線是圓的切線是平面幾何問題中一種常見的題型，證明的基本方法有：1.利用定義，判斷直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；2.當(dāng)已知一條直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，就把圓心和這個(gè)公共點(diǎn)連接起來，再證明這條半徑和直線垂直；3.當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)沒有確定時(shí)，就過圓心作直線的垂線，再證明圓心到直線的距離等于半徑.熟悉如下基本圖形和以上基本結(jié)論.例題與求解【例1】如圖，已知AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于點(diǎn)B，CD切⊙O于點(diǎn)D，交BA的延長線于E.若AB＝3，DE＝2，則BC的長為()（青島市中考試題）A．2B．3C．3.5D．4例1題圖例2題圖解題思路：本例包含了切線相關(guān)的豐富性質(zhì)，從C點(diǎn)看可應(yīng)用切線長定理，從E點(diǎn)看可應(yīng)用切割線定理，又EC為⊙O的切線，可應(yīng)用切線性質(zhì)，故解題思路廣闊.【例2】如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACB＝45°，∠ABC＝120°，⊙O的半徑為1.(1)求弦AC，AB的長;(2)若P為CB的延長線上一點(diǎn)，試確定P點(diǎn)的位置，使PA與⊙O相切，并證明你的結(jié)論.（哈爾濱市中考試題）解題思路：第(2)題是考查探索能力的開放性幾何題，只要探求得PB與BC，或PC與BC的關(guān)系，或求得PB或PC的長，點(diǎn)P的位置即可確定.【例3】已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點(diǎn)，P為直線AB上一點(diǎn).過點(diǎn)P作BC的平行線交BT于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F.(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)(如圖)，求證：PA?PB＝PE?PF；(2)當(dāng)點(diǎn)P為線段BA的延長線上一點(diǎn)時(shí)，第(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由.（北京市中考試題）解題思路：本例是“運(yùn)動(dòng)型”的開放性問題，要求點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化中，判斷原結(jié)論是否成立，通過觀察、比較、歸納、分析等系列活動(dòng)，逐步確定應(yīng)有的結(jié)論.【例4】已知：如圖1，把矩形紙片ABCD折疊，使得頂點(diǎn)A與邊DC上的動(dòng)點(diǎn)P重合（P不與點(diǎn)D，C重合），MN為折痕，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AD上.連接AP，MP，AM，AP與MN相較于點(diǎn)F，⊙O過點(diǎn)M，C，P.(1)請你在圖1中作出⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)EQ\F(AF,AN)與EQ\F(AP,AD)是否相等？請說明理由；(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，若⊙O與AM相切于點(diǎn)M時(shí)，⊙O又與AD相切于點(diǎn)H.設(shè)AB為4，請你通過計(jì)算，畫出這時(shí)的圖形（圖2、圖3供參考）.（宜昌市中考試題）解題思路：對于(3)，只依靠AB的長不能畫出圖形，需求出關(guān)鍵的量，因?yàn)椤螩＝90°，⊙O過點(diǎn)M，C，P，故將畫出矩形的條件轉(zhuǎn)化為求出CP（或MP）的長.當(dāng)矩形確定后，依據(jù)線段CP的長，就可確定P點(diǎn)的位置.【例5】如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AD，BD為⊙O的切線，作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，連接EO并延長交BC于點(diǎn)F.求證：BF＝FC.（太原市競賽試題）解題思路：要證明BF＝FC，只需證FO⊥BC即可，連接OA，OB，OD，將問題轉(zhuǎn)化為證明∠DAO＝∠EFC.【例6】如圖，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，∠C的平分線與AB交于點(diǎn)P，M是△ABC的內(nèi)切⊙I與邊BC的切點(diǎn)，作MD∥AC，交⊙I于點(diǎn)D，求證：PD是⊙I的切線.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：設(shè)⊙I切AB于點(diǎn)S，連接IM，IS，ID，直接證明∠PDI＝90°困難，不妨證明∠PDI＝∠PSI，即證明△PIS≌△PID.能力訓(xùn)練A級1.PA，PB切⊙O于A，B，∠APB＝78°，點(diǎn)C是⊙O上異于A，B的任意一點(diǎn)，則∠ACB＝__________.2.如圖，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)E.要使DE⊥AC，則△ABC的邊必須滿足的條件是__________.（武漢市中考試題）第2題圖第3題圖3.如圖，PA切⊙O于點(diǎn)A，C是上任意一點(diǎn)，∠PAB＝62°，則∠C的度數(shù)是__________.（荊門市中考試題）4.直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC.若腰DC上有一點(diǎn)P，使AP⊥BP，則這樣的點(diǎn)（）A．不存在B．只有一個(gè)C．只有兩個(gè)D．有無數(shù)個(gè)5．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD，CB是⊙O的切線，D，B為切點(diǎn)，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長線交BC于點(diǎn)F，連接AD，BD，給出以下四個(gè)結(jié)論：①AD∥OC；②E為△CDB的內(nèi)心；③FC＝FE.其中正確的結(jié)論是()A．①②B．②③C．①③D．①②③6．如圖，ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，AC平分∠BAD并與BD相交于E點(diǎn)，CF切⊙O于點(diǎn)C并與AD的延長線相交于點(diǎn)F.圖中的四個(gè)三角形①△CAF,②△ABC,③△ABD,④△BEC，其中一定相似的是（）(連云港市中考試題)A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④第5題圖第6題圖第7題圖7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AE切⊙O于點(diǎn)A，BC∥AE．(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)設(shè)AB=10cm，BC=8cm，點(diǎn)P是射線AE上的點(diǎn)，若以A，P，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，問這樣的點(diǎn)有幾個(gè)?(南昌市中考試題)8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC為直徑的⊙O交斜邊AB于點(diǎn)E，OD∥AB．求證：(1)ED是⊙O的切線；(2)2DE2＝BE?OD.9．如圖，在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的邊，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2＋4(c＋2)＝(c+4)x的兩個(gè)根.點(diǎn)D在AB上，以BD為直徑的⊙O切AC于點(diǎn)E．(1)求證：△ABC是直角三角形；(2)若tanA＝EQ\F(3,4)時(shí)，求AE的長.(內(nèi)蒙古中考試題)10．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB為直徑作⊙O交AC邊于點(diǎn)D，E是邊BC中點(diǎn)，連接DE.(1)求證：直線DE是⊙O的切線；(2)連接OC交DE于點(diǎn)F，若OF＝CF，求tan∠ACO的值．(武漢市中考試題)11．如圖，⊙O的半徑r＝25，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC⊥BD于點(diǎn)H，P為CA延長線上一點(diǎn)，且∠PDA＝∠ABD．(1)試判斷PD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若tan∠ADB＝EQ\F(3,4)，PA＝EQ\F(4EQ\r(,3)－3,3)AH，求BD的長；(3)在(2)的條件下，求四邊形ABCD的面積.(成都市中考試題)B級如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，過點(diǎn)C的切線與AD的延長線交于點(diǎn)E．若∠DAB＝56°，∠ABC＝64°，則∠CED＝__________.2．如圖，⊙O與矩形ABCD的邊AD，AB，BC分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，P是上的一點(diǎn)，則∠EPF＝__________.（廣州市中考試題）第1題圖第2題圖第3題圖3．如圖，直線AB，AC與⊙O分別相切于點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，P為圓上一點(diǎn)，P到AB，AC的距離分別為4cm，6cm，那么P到BC的距離為__________cm.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）4．如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，⊙O分別與AB，AC相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，圓心O在BC上，若AB＝a，AC＝b，則⊙O的半徑等于（）A．B．EQ\F(a＋b,2)C．EQ\F(ab,a＋b)D．EQ\F(a＋b,ab)5．如圖，在⊙O的內(nèi)接△ABC中，∠ABC＝30°，AC的延長線與過點(diǎn)B的⊙O的切線相交于點(diǎn)D．若⊙O的半徑OC＝1，BD∥OC，則CD的長為()A．1+EQ\F(EQ\r(,3),3)B．EQ\F(2EQ\r(,3),3)C．EQ\F(EQ\r(,3),3)D．EQ\r(,2)第4題圖第5題圖第6題圖6．如圖，⊙O的內(nèi)接△ABC的外角∠ACE的平分線交⊙O于點(diǎn)D．DF⊥AC，垂足為F，DE⊥BC，垂足為E．給出以下四個(gè)結(jié)論：①CE＝CF；②∠ACB＝∠EDF；③DE是⊙O的切線；④＝．其中正確的結(jié)論是()(蘇州市中考試題)A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④7．如圖，已知AC切⊙O于點(diǎn)C，CP為⊙O的直徑，AB切⊙O于點(diǎn)D，與CP的延長線交于點(diǎn)B.若AC＝PC.求證：(1)BD＝2BP；(2)PC＝3BP.(天津市中考試題)8.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝22cm，AB為⊙O的直徑.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AD邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng).P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形?(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ與⊙O相切?(呼和浩特市中考試題)9.如圖，已知在△ABC中，∠ABC＝90°,O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的半圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D，AD＝2，AE＝1.求證：S△AOD，S△BCD是方程10x2－51x＋54＝0的兩個(gè)根.(河南省中考試題)10.如圖，點(diǎn)O在∠APB的平分線上，⊙O與PA相切于點(diǎn)C.(1)求證：直線PB與⊙O相切;(2)PO的延長線與⊙O交于點(diǎn)E，若⊙O的半徑為3，PC＝4，求弦CE的長.(武漢市中考試題)11.如圖，直線y＝EQ\F(4,3)x＋4交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A，⊙O′過A，O兩點(diǎn).(1)如圖1，若⊙O′交AB于點(diǎn)C，當(dāng)O′在OA上時(shí)，求弦AC的長;(2)如圖2，當(dāng)⊙O′與直線l相切于點(diǎn)A時(shí)，求圓心O′的坐標(biāo);(3)當(dāng)O′A平分△AOB的外角時(shí)，請畫出圖形，并求⊙O′的半徑的長.12.如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝d，過點(diǎn)A作⊙O的切線并在其上取一點(diǎn)C，使AC＝AB，連接OC交⊙O于點(diǎn)D，BD的延長線交AC于點(diǎn)E.求AE的長.(四川省競賽試題)例2B提示：BM2＝MD·MA.例3⑴略.⑵如圖，連結(jié)ON，AE，BD，并延長BD交AE于點(diǎn)F，可證明△BCD≌△ACE，BF⊥AE，∴ONeq\o\ac(∥,＝

)EQ\F(1,2)BD，OMeq\o\ac(∥,＝

)EQ\F(1,2)AE，∴OM＝ON，OM⊥ON，故MN＝EQ\r(,2)OM.⑶結(jié)論成立，證明略.例4提示：由△ABE∽△ACD，△ADE∽△ACB分別得AB·DC＝AC·BE，AD·BC＝AC·DE，兩式作加法得AB·DC＋AD·BC＝AC·BD.例5⑴連結(jié)BM，OA＝2，OB＝4，在Rt△BOM中，(r－2)2＋42＝r2，∴r＝5，即AM＝5，OM＝3，∴M(3，0).⑵連結(jié)AC交BM于G，則BM⊥AC且AG＝CG，可證△AMG≌△BMO.∴AG＝OB＝4，AC＝8，OM＝MG＝3，BG＝BM－GM＝2，AD＝10，CD＝6.∴S四邊形ABCD＝S△ACD＋S△ABC＝EQ\F(1,2)AC·CD＋EQ\F(1,2)AC·BG＝EQ\F(1,2)×8×6＋EQ\F(1,2)×8×2＝32.⑶∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC.又∠BCE＝∠BCA＋∠ACF，∠BEC＝∠BDC＋∠DCF，且∠BCA＝∠BDC，∴∠ACF＝∠DCF＝EQ\F(1,2)∠ACD＝45°，∴△ADF為等腰直角三角形.AF＝DF＝5EQ\r(,2).作DT⊥CF于T，CT＝DT＝3EQ\r(,2)，TF＝EQ\r(,DF2－DT2)＝4EQ\r(,2)，∴CF＝CT＋TF＝7EQ\r(,2).例6⑴連結(jié)BC，∵AB＝AC，∴∠2＝∠5，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，即∠2＋∠3＝∠4＋∠5，∴∠3＝∠4，∴∠DAC＝∠DBC＝∠4＋∠3＝2∠4，即∠DAC＝2∠DBE.⑵延長DA至點(diǎn)G，使AG＝AE＝AC，則∠DAC＝2∠G，而由⑴知∠DAC＝2∠DBE.∴∠DBE＝∠G.又∠BDE＝∠GDC，∴△BDE∽△GDC，得EQ\F(BD,DG)＝EQ\F(DE,DC)，即DG·DE＝BD·DC.∴(AD＋AG)(AD－AE)＝BD·DC.∵AB＝AE＝AG，∴(AD＋AB)(AD－AB)＝BD·DC，故AD2－AB2＝BD·DC.A級1.30°≤x≤90°2.43.84.－EQ\F(1,4)x2＋x5.C6.B7.B提示：其中①③正確.9．提示：(1)連結(jié)BM，證明Rt△CEN≌Rt△BMN．(2)連結(jié)BD、BE、AC，證明△BED∽△FEB．(3)結(jié)論仍成立．10．連結(jié)AM，過M作MD⊥AC，交直線AC于點(diǎn)D，則Rt△AMH≌Rt△AMD，Rt△MHB≌Rt△MDC．11．(1)連結(jié)OA，OC，則Rt△OFC≌RtOGC≌Rt△OGA．∴．(2)連結(jié)OA，OB，OC，由△AOC≌△COB≌△BOA，得∠OCB＝∠OAC，∵∠AOC＝∠AOE＋∠EOC＝120°，∠DOE＝∠COF＋∠COE＝120°，∴∠AOE＝∠COF，∵∠OAC＝∠OCB，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△OAG≌△OCF，故．12．如圖，過點(diǎn)O作直線OP⊥BC，分別交BC，KL，AD于點(diǎn)P，H，N，則ON⊥AD，OH⊥KL，連結(jié)DO，LO，在Rt△NDO中，ON＝，OP＝PN－ON＝2，設(shè)HL＝x，則PH＝KL＝2x，OH＝OP＋PH＝2＋2x．在Rt△HOL中，x2＋(2x＋2)2＝52，解8、B9、提示：，又10、由，D=D，得~，故D=D=D，，連接，交于，則。又，，從而提示：連接交延長交⊙于點(diǎn)，連接，由，得，故。當(dāng)時(shí)，⊙的最大面積為（1）DD（同弧所對圓周角相等），D=D，（2）D=D=?，D，是等腰,（3）B級2、提示：連接，D3、14、6、提示：以為圓心、為半徑畫圓C提示：、都與相似C提示：連接，，可證明（1）延長，相交于，則，，，。由，得，（2），是的中線，設(shè)，的交點(diǎn)，則為重心，，，而，，，（1）（0，），（1，0）（2）四邊形為菱形（3），D，平分D，可以證明，故為定值。（1）如圖連接，，，D，為⊙的直徑，則D又D，DD，顯然，，DD，因此，≌，故（2）,，又，即，即，故，于是，是方程的兩個(gè)根，解得，或，，所以專題20直線與圓的位置關(guān)系（1）例1、B提示：連接，則例2、（1），（2）提示：若是⊙的切線，則^，又^，得∥，，，，，，即當(dāng)時(shí)，是⊙的切線例3、提示（1）證明（2）當(dāng)為延長線上一點(diǎn)時(shí)，第（1）題的結(jié)論仍成立例4、（1）略（2），理由如下：假設(shè)，則∥。，^，^，與關(guān)于對稱，^，而與不重合，這與“過一點(diǎn)（）”只能作一條直線與已知直線（）垂直”矛盾，假設(shè)不成立，即（3）證明≌，得，設(shè)，則，，連接并延長交于，則四邊形為矩形，∥，得，，，，，解得即，，，由此畫圖例6連切點(diǎn)半徑，和，得四點(diǎn)共圓，得，，設(shè)，則，，則，∥，，，而，，在與中，，，，≌，，故是⊙的切線A級1、51?或129?2、或4、D提示：以為直徑的圓與相交6、（1）略（2）滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)：過點(diǎn)作∥交于點(diǎn)，則，這時(shí)；過點(diǎn)作⊙的切線交于點(diǎn)，則，這時(shí)（1）提示：連接，證明，，（2）在中，，又，，又2，，（1）由已知，得，由兩根關(guān)系得，，，是直角三角形（2）提示：連接，則∥，，，，（1）連接，，，是⊙的直徑，，是的中點(diǎn)，，，，≌，，直線是⊙的切線（2）作^于點(diǎn)，由（1）知BD⊥AC，EC=EB．∵OA=OB，∴OE∥AC且OE=，∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF．∵CF=OF，∴△DCF≌△EOF，∴DC=OE=AD，∴BA=BC，∴∠A=45°．∵OH⊥AD，∴OH=AH=DH，∴CH=3OH，故tan∠ACO=．11．（1）略 （2）連接DO并延長與⊙O相交于點(diǎn)E，連接BE．設(shè)AH=3k．∵tan∠ADB=，PA=，AC⊥BD于點(diǎn)H．∴DH=4k，AD=5k，PA=，PH=PA+AH=．∴tan∠P=．∴∠P=30°，PD=8k．∵BD⊥AC，∴∠P+∠PDB=90°．∵PD⊥DE，∴∠PDB+∠BDE=90°．∴∠BDE=∠P=30°．∵DE是直徑，∴∠DBE=90°，DE=2r=50．∴BD=DE·cos∠BDE=50·cos30°=．（3）連接CE．∵DE是直徑，∴∠DCE=90°．∴CD=DE·sin∠CED=DE·sin∠CAD=．∵∠PDA=∠ABD=∠ACD，∠P=∠P，∴△PDA∽△PCD．∴．∴．解得PC=64，k=．∴AC=PC－PA=64－．∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△CBD=．B級1．86° 2．45° 3．連接BP，MQ，PC，QN，由PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC可得P，Q，C，N四點(diǎn)共圓，P，Q，B，M四點(diǎn)共圓．由△MPQ∽△QPN得PQ=．4．C 5．B【提示】連接OB，過C作CH⊥BD交BD于點(diǎn)H．∴OBHC是正方形，CH=1．∵∠ABC=30°，∴∠OAC=60°=∠D．在Rt△CDH中，，∴CD=．6．D7．提示：（1）連接OD，由△BDO∽△BCA，得BD=，又BD2=BP·BC．（2）由（1）可知BC=2BD，BD=2BP，得BC=4BP，∴PC+BP=4BP，∴PC=3BP．8．（1）∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PD∥QC．∴當(dāng)PD=QC時(shí)，四邊形PQCD是平行四邊形．由題意可知AP=t，CQ=2t，∴8－t=2t，3t=8，t=時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形．（2）設(shè)PQ與⊙O相切于點(diǎn)H，過P作PE⊥BC于E．∵直角梯形ABCD，AD∥BC，∴PE=AB．有題意可知AP=BE=t，CQ=2t，∴BQ=BC－CQ=22－2t，EQ=BQ－BE=22－2t－t=22－3t．∵AB為⊙O的直徑，∠ABC=∠DAB=90°，∴AD、BC為⊙O的切線．∴AP=PH，HQ=BQ．∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=22－t．在Rt△PEQ中，PE2+EQ2=PQ2，∴122+(22－3t)2=(22－2t)2，即8t2－88t+144=0，t2－11t+18=0，∴t1=2，t2=9．∵P在AD邊運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，而t=9＞8，∴t=9舍去．∴當(dāng)t=2時(shí)，PQ與⊙O相切．9．提示：AB=4，BC=CD=3，S△AOD=．作BH⊥AC于H，則Rt△AOD∽Rt△ABH，得．∴S△BCD=．10．（1）過點(diǎn)O作OD⊥PB于點(diǎn)D，連接OC．∵PA切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥PA．又∵點(diǎn)O在∠APB的平分線上，∴OC=OD，∴PB與⊙O相切．（2）過點(diǎn)C作CF⊥OP于點(diǎn)F．在Rt△PCO中，PC=4，OC=3，OP=，∵OC·PC=OP·CF=2S△POD，∴CF=．在Rt△COF中，．∴EF=EO+OF=，∴．11．（1）AC=．（2）連接AC，則A，O’，C共線．設(shè)OC=a，則AC2=a2+42，又AC2=（a+3）2－52，即a2+42=（a+3）2－52，解得a=，∴O’．（3）如圖，設(shè)⊙O’交x軸于點(diǎn)C，交BA的延長線于D．∵O’A平分∠OAD，∴∠OAC=∠DAC，∴，∴OC=CD．∵∠AOC=90°，∴AC是⊙O’的直徑．∴∠D=90°，∴△AOC≌△ADC，∴AD=AO=4．設(shè)OC=DC=a，在Rt△BCD中，BC=a+3，BD=9，CD=a，∴（a+3）2=a2+92，解得a=12，∴AC2=OA2+OC2=42+122=160，AC=，∴⊙O’的半徑長為．12．連接AD，由△CDE∽△CAD，有．又由△ADE∽△BDA，有．由①②及AB=AC，得AE=CD．由∠DAE=∠EDC，知CD是△ADE外接圓的切線．故CD2=CE·CA，即AE2=CE·CA．設(shè)AE=x，則CE=d－x，∴，即x2+dx－d2=0，解方程并取正根得AE=x=．專題21直線與圓的位置關(guān)系（2）閱讀與思考和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，和四邊形各邊都相切的圓叫做四邊形的內(nèi)切圓.運(yùn)用與切線相關(guān)的知識，可以得到圓的外切三角形、圓的外切四邊形的許多重要結(jié)論，這些結(jié)論在解與切線相關(guān)問題時(shí)有廣泛的應(yīng)用.1．如圖1，以⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，則有：（1）AE=AF=，BF=BD=，CD=CE=；（2）∠B+∠DIF=∠C+∠DIE=∠A+∠EIF=180°.這里BC=a，CA=b，AB=c，s=eq\f(1,2)（a+b+c）.2．如圖2，設(shè)⊙I為Rt△ABC的內(nèi)切圓，則有：（1）四邊形IDCE是正方形；（2）內(nèi)切圓半徑r=eq\f(AC+BC－AB,2).3．如圖3，設(shè)⊙O為四邊形ABCD的內(nèi)切圓，則有；AB+CD=AD+BC.圖1圖2圖3例題與求解【例1】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分線相交于P點(diǎn)，又PE⊥AB于E點(diǎn).若BC=2，AC=3，則AE·EB=.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：P為Rt△ABC內(nèi)切圓的圓心，利用直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)來解.例1題圖例2題圖【例2】如圖，以正方形ABCD的邊BC為直徑作半圓O，過點(diǎn)D作直線切半圓于點(diǎn)F，交AB邊于點(diǎn)E，則三角形ADE和直角梯形EBCD周長之比為（）A．3∶4B．4∶5C．5∶6D．6∶7（杭州市中考試題）解題思路：本例綜合了切線的判定與性質(zhì)、切線長定理、勾股定理等知識，為求出周長，需要引入字母或賦值.【例3】如圖，已知∠ACE=∠CDE=90°，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD，過A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F.求證：F是△CDE的內(nèi)心.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：即要證F為△CDE角平分線的交點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為角相等問題的證明，充分運(yùn)用與圓相關(guān)的角的性質(zhì).【例4】如圖，不等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，I是其內(nèi)心，且AI⊥OI.求證：AB+AC=2BC.（四川省競賽試題）解題思路：從外心、內(nèi)心出發(fā)，添加輔助線，充分運(yùn)用圓的性質(zhì)，由角的關(guān)系導(dǎo)出線段的關(guān)系.【例5】如圖，已知Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，O、O1、O2分別是△ABC、△ACD、△BCD角平分線的交點(diǎn).求證：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2.（武漢市選拔賽試題）解題思路：在直角三角形中，斜邊上的高將它分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似，得對應(yīng)角相等.故通過證交角等于90°的方法得兩線垂直，再用全等三角形證兩線段相等.【例6】如圖，已知直徑與等邊三角形ABC的高相等的圓與AB和BC邊相切于點(diǎn)D和E，與AC邊相交于點(diǎn)F和G.求∠DEF的度數(shù).（浙江省競賽試題）解題思路：若要運(yùn)用切線的性質(zhì)，則需確定圓心，這是解本例的關(guān)鍵.能力訓(xùn)練A級如圖，⊙I是Rt△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，若AF、BE的長是方程x2－13x+30=0的兩根，則S△ABC的值是.（泰州市中考試題）（第1題圖）（第2題圖）（第3題圖）2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，⊙O內(nèi)切Rt△ABC的三邊AB、BC、CA于D、E、F，半徑r=2，則AC=.（杭州市中考試題）如圖，已知直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P為x軸上可以移動(dòng)的點(diǎn)，且點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，PM⊥x軸，交直線于點(diǎn)M.有一個(gè)動(dòng)圓O′，它與x軸、直線PM和直線都相切，且在x軸上方.當(dāng)⊙O′與y軸也相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是.（青島市中考試題）4．如圖，已知△ABC的內(nèi)切圓O與各邊相切于D、E、F，那么點(diǎn)O是△DEF的（）A．三條中線的交點(diǎn)B．三條高的交點(diǎn)C．三條角平分線的交點(diǎn)D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（四川省中考題）（第4題圖）（第5題圖）5．如圖，AD是△ABC的角平分線，⊙O過點(diǎn)A且和BC相切于點(diǎn)D，和AB、AC分別交于點(diǎn)E、F.若BD=AE，且BE=a，CF=b，則AF的長為（）A．eq\f(1+eq\r(,5),2)aB．eq\f(1+eq\r(,3),2)aC．eq\f(1+eq\r(,5),2)bD．eq\f(1+eq\r(,3),2)b6.若0°＜α＜90°，那么以sinα、cosα、tanα·cotα為三邊的△ABC的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R之和是（）（安徽省競賽試題）A．eq\f(sinα+cosα,2)B．eq\f(tanα+cotα,2)C．2sinαcosαD．eq\f(1,sinα+cosα)7．如圖，設(shè)AD是△ABC的中線，△ABD、△ADC的外心分別為E、F，直線BE與CF交于點(diǎn)G.若DG=eq\f(1,2)BC，求證：∠ADG=2∠ACG.（“我愛數(shù)學(xué)”夏令營競賽試題）8．如圖，BC是⊙O的直徑，AB、AD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為B、P.過C點(diǎn)的切線與AD交于點(diǎn)D.連結(jié)AO、DO.（1）求證：△ABO∽△OCD；（2）若AB、CD是關(guān)于x的方程x2－eq\f(5,2)（m－1）x+（m－1）2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且S△ABO+S△OCD=20，求的值.（第7題圖）（第8題圖）（第9題圖）9．如圖，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，6為半徑的圓交y軸于A、B兩點(diǎn)，AM、BN為⊙O的切線，D為切線AM上的一點(diǎn)（D與A不重合），DE切⊙O于點(diǎn)E，與BN交于點(diǎn)C，且AD＜BC.設(shè)AD=m，BC=n.（1）求m·n的值；（2）若m，n是方程2t2－30t+k=0的兩根，求：①△COD的面積；②CD所在直線的解析式；③切點(diǎn)E的坐標(biāo).（遼寧省中考題）10．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中⊙O1，⊙O2，…，⊙On為n個(gè)（n≥2）相等的圓，⊙O1與⊙O2相外切，⊙O2與⊙O3相外切，…，⊙On－1與⊙On相外切，⊙O1，⊙O2，…，⊙On都與AB相切，且⊙O1與AC相切，⊙On與BC相切.求這些等圓的半徑r（用n表示）.（河北省競賽試題）（第10題圖）（第11題圖）11．如圖，四邊形A1A2A3A4內(nèi)接于一圓，△A1A2A3、△A2A3A4、△A3A4A1的內(nèi)心分別是I1、I2、I3.求證：（1）A2、I1、I2、A3四點(diǎn)共圓；（2）∠I1I2I3=90°.（四川省競賽試題）B級1．如圖，AC⊥BC，BC=a，AC=b，⊙O的半徑為r，那么滿足關(guān)系式r=eq\f(ab,a+b)的圖形是.（把正確的所有圖形的序號填在橫線上）①②③④2．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD為AB上的高.O1、O2分別為△ACD、△BCD的內(nèi)心，則O1O2=.（太原市競賽試題）3．如圖，半圓與兩直角邊相切，且圓心O在直角三角形ABC的斜邊AB上.若直角三角形面積為S，斜邊長為c，則半圓的半徑r=.（五城市聯(lián)賽試題）4．已知：如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點(diǎn)（異于A、B），過點(diǎn)P作半圓O的切線分別交過A、B兩點(diǎn)的切線于D、C，AC、BD相交于N點(diǎn)，連接ON、NP．下列結(jié)論：①四邊形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP·PC為定值；④PA為∠NPD的平分線．其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①④（第3題圖）（第4題圖）（第5題圖）（第6題圖）5．如圖，半圓O的直徑在梯形ABCD的底邊AB上，且與其余三邊BC、CD、DA相切，若BC=2，DA=3，則AB的長（）A．等于4B．等于5C．等于6D．不能確定（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6．如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)AC.如果O為△ABC的內(nèi)心，過O作OE⊥AD于點(diǎn)E，作OF⊥CD于F，則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為（）A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4)D．不能確定，與AB、BC的長度有關(guān)（《學(xué)習(xí)報(bào)》公開賽試題）7．一條直線DE平分△ABC的周長，同時(shí)直線DE又平分了△ABC的面積.求證：直線DE經(jīng)過△ABC的內(nèi)切圓圓心O.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8．如圖，AB、BC、CD分別與圓相切于E、F、G，AB=BC=CD.連結(jié)AC與BD相交于點(diǎn)P，連結(jié)PF.求證：PF⊥BC.（江蘇省競賽試題）（第8題圖）（第9題圖）9．如圖，在△ABC中，CH為高，R、S分別為△ACH和△BCH的內(nèi)切圓與CH的切點(diǎn).若AB=1995，AC=1994，BC=1993，則RS可表示成eq\f(m,n)，其中m，n是互質(zhì)的正整數(shù).求m+n的值.（美國中學(xué)生數(shù)學(xué)邀請賽試題）10．如圖，△ABC的三邊滿足關(guān)系式BC=eq\f(1,2)（AB+AC），O、I分別為△ABC的外心、內(nèi)心.∠BAC的外角平分線交⊙O于E，AI的延長線交⊙O于D，DE交BC于H.求證：（1）AI=BD；（2）OI=eq\f(1,2)AE.（湖北省選拔賽試題）（第10題圖）（第11題圖）（第12題圖）11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（－2，0）、B（8，0）.以AB為直徑的半圓P與y軸交于點(diǎn)M，以AB為一邊作正方形ABCD.（1）求C、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接CM，試判斷直線CM是否與⊙P相切？說明你的理由；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QMC的周長最小？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（南寧市中考試題）12．如圖，⊙O是等邊△ABC的內(nèi)切圓，與AB、AC兩邊分別切于D、E兩點(diǎn)，連結(jié)DE.點(diǎn)P是劣弧eq\o(⌒,DE)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與D、E重合），過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PK⊥BC于K，PK交DE于L點(diǎn).求證：（1）PL2=PM·PN；（2）eq\r(,PK)=eq\r(,PM)+eq\r(,PN).（黃石二中理科實(shí)驗(yàn)班自主招生考試試題）專題21直線與圓的位置關(guān)系（2）例13提示：內(nèi)切圓半徑r＝(5－)，AE＝(＋1)，BE＝(－1)．例2D提示：設(shè)正方形邊長為1，BE＝x，則BE＝EF＝x，CD＝DF＝1，AE＝1－x，AD＝1，DE＝1＋x．由DE2＝AE2＋AD2，得(1＋x)2＝(1－x)2＋1，得x＝，AD＋AE＋DE＝3，BE＋DE＋CD＋BC＝．∴周長之比＝3:＝6:7．例3提示：連接AD，CF，DF，EF．∠EDF＝∠CDF＝45°，∠CFD