專題15 等腰三角形（講義）（解析版）

專題15等腰三角形核心知識(shí)點(diǎn)精講理解掌握等腰三角形的性質(zhì)、定理以及推論；理解掌握等腰三角形的判定定理以及推論；能夠?qū)θ切蔚男再|(zhì)以及判定進(jìn)行實(shí)際的運(yùn)用；掌握三角形的中位線的定義、中位線定理以及應(yīng)用?？键c(diǎn)1等腰三角形1.等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）推論1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論2：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°。（2）等腰三角形的其他性質(zhì)：①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b，則<a④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=考點(diǎn)2等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）。這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等。推論1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形推論2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。推論3：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形性質(zhì)等腰三角形判定中線1、等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；2、等腰三角形兩腰上的中線相等，并且它們的交點(diǎn)與底邊兩端點(diǎn)距離相等。1、兩邊上中線相等的三角形是等腰三角形；2、如果一個(gè)三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個(gè)邊的對(duì)角），那么這個(gè)三角形是等腰三角形角平分線1、等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊；2、等腰三角形兩底角平分線相等，并且它們的交點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距離相等。1、如果三角形的頂角平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊（平分對(duì)邊），那么這個(gè)三角形是等腰三角形；2、三角形中兩個(gè)角的平分線相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。高線1、等腰三角形底邊上的高平分頂角、平分底邊；2、等腰三角形兩腰上的高相等，并且它們的交點(diǎn)和底邊兩端點(diǎn)距離相等。1、如果一個(gè)三角形一邊上的高平分這條邊（平分這條邊的對(duì)角），那么這個(gè)三角形是等腰三角形；2、有兩條高相等的三角形是等腰三角形。角等邊對(duì)等角等角對(duì)等邊邊底的一半<腰長(zhǎng)<周長(zhǎng)的一半兩邊相等的三角形是等腰三角形考點(diǎn)3等邊三角形的性質(zhì)（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對(duì)而言的．（2）等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．考點(diǎn)4等邊三角形的判定與性質(zhì)（1）等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件．同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用．（2）等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等．（3）等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從一般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定；若從等腰三角形出發(fā)，則想法獲取一個(gè)60°的角判定．考點(diǎn)5三角形中的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。（2）要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論1：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。結(jié)論2：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論3：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等?！绢}型1：等腰三角形的性質(zhì)】【典例1】（2023?順德區(qū)模擬）如圖，AE是△ABC的外角∠CAD的平分線，且AB＝AC，∠ABC＝65°，則∠DAE＝65°．【答案】65【分析】先由等邊對(duì)等角可得∠B＝∠C，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)及角平分線定義可得∠DAE＝∠ABC，則可得結(jié)果．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AE平分∠CAD，∴∠DAE＝∠CAE，∵∠CAD＝∠B+∠C＝∠DAE+∠CAE，∴∠DAE＝∠ABC＝65°．故答案為：65．1．（2023?香洲區(qū)一模）如圖，在等腰△ABC中，∠B＝∠C＝65°，DE垂直平分AC，則∠BCD的度數(shù)等于（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】B【分析】首先利用線段垂直平分線的性質(zhì)推出∠DAC＝∠DCA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出∠ABC＝∠ACB，易求∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝65°．∴∠A＝50°，∵DE垂直平分AC，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝50°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°．故選：B．2．（2023?江門三模）已知直線MN∥PQ，將一塊含45°角的直角三角板ABC按如圖方式放置，其中直角頂點(diǎn)A在直線MN上，斜邊BC與直線PQ交于BC的中點(diǎn)D，連接AD．若∠1＝20°，則∠NAD的度數(shù)為（）A．70° B．65° C．45° D．75°【答案】A【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，從而可得∠ADB＝90°，然后利用角的和差關(guān)系可得∠ADP＝70°，再利用平行線的性質(zhì)即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵∠1＝20°，∴∠ADP＝∠ADB﹣∠1＝70°，∵M(jìn)N∥PQ，∴∠NAD＝∠ADP＝70°，故選：A．3．（2023?南海區(qū)校級(jí)三模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，CE平分△ABC的外角∠ACD，則∠1＝57.5°．【答案】57.5°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠B＝∠ACB＝70°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠ACD＝110°，根據(jù)角平分線定義求解即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB=12×（180°﹣50∴∠ACD＝∠B+∠A＝115°，∵CE平分△ABC的外角∠ACD，∴∠1=12∠ACD＝故答案為：57.5°．4．（2023?花都區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在BC邊上，DA＝DB，BE⊥AD，垂足為E，若AE=25，則線段BC的長(zhǎng)為45【答案】45【分析】作AF⊥BC，判斷出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF＝AE即可．【解答】解：如圖，作AF⊥BC，∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠ABD，∵BE⊥AD，∴∠AFB＝∠BEA，在△ABF和△BAE中，∠AFB=∠BEA∠DAB=∠ABD∴△ABF≌△BAE（AAS），∴BF＝AE，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF=12∴BC＝2AE=45故答案為：45【題型2：等腰三角形的判定】【典例2】（2023?龍川縣三模）正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．如圖，已知A、B是兩格點(diǎn)，使得△ABC為等腰三角形的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)，當(dāng)BA＝BC時(shí)，當(dāng)CA＝CB時(shí)，即可解答．【解答】解：如圖：分三種情況：當(dāng)AB＝AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑作圓，則點(diǎn)C1即為所求；當(dāng)BA＝BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，以BA長(zhǎng)為半徑作圓，則點(diǎn)C2即為所求；當(dāng)CA＝CB時(shí)，作AB的垂直平分線，則點(diǎn)C3，C4，C5，C6A即為所求；綜上所述，使得△ABC為等腰三角形的格點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選：C．1.（2023?廣東模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在BC上，點(diǎn)D在AE上，且∠ABD＝∠ACD，若補(bǔ)充一個(gè)條件，可以使BE＝CE，則可以補(bǔ)充的條件為AE是∠BAC的平分線（答案不唯一）．（填寫“E為BC中點(diǎn)”不得分）【答案】AE是∠BAC的平分線（答案不唯一）．【分析】要使BE＝CE，則要判斷AE是∠BAC的平分線，△ABC是等腰三角形，據(jù)此進(jìn)行分析即可．【解答】解：①當(dāng)補(bǔ)充條件是：AE是∠BAC的平分線，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠CAE，在△ABD與△ACD中，∠ABD=∠ACD∠BAE=∠CAE∴△ABD與≌△ACD（AAS），∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∴AE是BC邊上的中線，∴BE＝CE；②當(dāng)補(bǔ)充條件是：∠BDE＝∠CDE，可得∠BAE＝∠CAE，∴AE是∠BAC的平分線，同①可得BE＝CE；故答案為：AE是∠BAC的平分線（答案不唯一）．2．（2023?福田區(qū)校級(jí)三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，邊AC上有一點(diǎn)D，使CD＝BC，點(diǎn)E是線段AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接BD，CE，且∠AEC＝45°，若AB＝5，AD=5，則CE的長(zhǎng)為22【答案】22．【分析】過(guò)D作DM∥BC交AB于M，設(shè)CD＝x，則BC＝x，AC＝x+5，由勾股定理得到：(x+5)2+x2＝52平行線等分線段定理得到MB的長(zhǎng)，由△ECB∽△DBM，得到EC：BD＝BC：BM，代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可求出CE的長(zhǎng)．【解答】解：過(guò)D作DM∥BC交AB于M，設(shè)CD＝x，則BC＝x，AC＝x+5∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴(x+5)2+x2∴x=5∴BC＝CD=5∴CD＝AD，∵DM∥BC，∴AM＝MB=12AB∵∠BCA＝90°，BC＝CD，∴△CBD是等腰直角三角形，∴∠CBD＝45°，BD=2BC=∴∠E＝∠CBD＝45°，∵DM∥BC，∴∠EBC＝∠BMD，∠BDM＝∠CBD，∴∠E＝∠BDM，∴△ECB∽△DBM，∴EC：BD＝BC：BM，∴CE：10=5：∴CE＝22．故答案為：22．【題型3：等腰三角形的性質(zhì)與判定】【典例3】（2023?霞山區(qū)校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．則△AEF的周長(zhǎng)為（）A．9 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，求證∠EDB＝∠EBD，可得BE＝ED，DF＝FC，然后利用AB+AC即可求出△AEF的周長(zhǎng)．【解答】解：∵BD是∠ABC的平分線，∴∠EBD＝∠DBC，∵過(guò)點(diǎn)D作BC的平行線交AB于點(diǎn)E，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝ED，∴∠EDB＝∠EBD，同理可得DF＝FC，∴△AEF的周長(zhǎng)即為AB+AC＝7+5＝12．故選：C．1.（2023?潮南區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，E為BD上一點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)．若AE＝AD，DF＝2，則BD的長(zhǎng)為（）A．22 B．3 C．23 D．4【答案】D【分析】根據(jù)三角形中位線可以求得AE的長(zhǎng)，再根據(jù)AE＝AD，可以得到AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，可以求得BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD=12AC＝AD＝故選：D．2．（2023?雷州市一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．AD＝AE B．DB＝EC C．∠ADE＝∠C D．DE=1【答案】D【分析】由DE與BC平行，得到三角形ADE與三角形ABC相似，由相似得比例，根據(jù)AB＝AC，得到AD＝AE，進(jìn)而確定出DB＝EC，再由兩直線平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代換得到∠ADE＝∠C，而DE不一定為中位線，即DE不一定為BC的一半，即可得到正確選項(xiàng)．【解答】解：∵DE∥BC，∴ADAB=AEAC，∠∵AB＝AC，∴AD＝AE，DB＝EC，∠B＝∠C，∴∠ADE＝∠C，而DE不一定等于12BC故選：D．3．（2022?濠江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E．（1）求證：DE＝BD+CE．（2）若AD＝3，BD＝CE＝2，求BC的值．【答案】（1）證明見解析；（2）203【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得DO＝DB，EO＝EC，進(jìn)一步即可得證；（2）先求出DE和AB的長(zhǎng)，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可證△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AD：AB＝DE：BC，進(jìn)一步即可求出BC的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠DBO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB＝∠CBO，∠EOC＝∠BCO，∴∠DOB＝∠DBO，∠EOC＝∠ACO，∴DO＝DB，EO＝EC，∴DE＝DB+CE；（2）解：∵BD＝CE＝2，AD＝3，∴DE＝4，AB＝AD+DB＝5，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝DE：BC，即3：5＝4：BC，∴BC=20【題型4：等邊三角形】【典例4】（2023?南山區(qū)模擬）如圖，直線a∥b，等邊△ABC的頂點(diǎn)C在直線b上，若∠1＝42°，則∠2的度數(shù)為（）A．92° B．102° C．112° D．114°【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠A＝∠ACB＝60°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠2的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∵∠1＝42°，∴∠ADE＝42°，∴∠AED＝180°﹣60°﹣42°＝78°，∴∠AEF＝180°﹣∠AED＝180°﹣78°＝102°，∵直線a∥直線b，∴∠2＝∠AEF，∴∠2＝102°，故選：B．1．（2023?深圳三模）如圖，△ABC是等邊三角形，以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)E、F．再分別以E、F為圓心，大于12EF長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)D．連接BD交AC于點(diǎn)G，∠A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】D【分析】由作圖方法可知，BD是EF的垂直平分線，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABG=1【解答】解：由作圖方法可知，BD是EF的垂直平分線，∴BG⊥AC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABG=1故選：D．2．（2023?南山區(qū)校級(jí)三模）如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形，∠1＝50°，則∠2的大小為（）A．60° B．80° C．70° D．100°【答案】C【分析】根據(jù)平行線性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理及等邊三角形性質(zhì)即可求出∠2對(duì)頂角的度數(shù)，即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵l1∥l2，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠4＝180°﹣∠3﹣∠A＝70°，∴∠2＝70°．故選：C．3．（2023?越秀區(qū)一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個(gè)定值．則∠1+∠2＝240度．【答案】240．【分析】由三角形外角的性質(zhì)得到∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE，由三角形內(nèi)角和定理，即可得到答案．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵∠1＝∠A+∠AED，∠2＝∠A+∠ADE，∴∠1+∠2＝∠A+∠A+∠AED+∠ADE＝60°+180°＝240°．故答案為：240．【題型5：等邊三角形的性質(zhì)與判定】【典例5】（2022?惠城區(qū)一模）將兩個(gè)直角三角板如圖放置，其中AB＝AC，∠BAC＝∠ECD＝90°，∠D＝60°．如果點(diǎn)A是DE的中點(diǎn)，CE與AB交于點(diǎn)F，則∠BFC的度數(shù)為120°．【答案】120．【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AC＝AD＝AE，由∠D＝60°，得到△ACD是等邊三角形，那么∠ACD＝60°，∠ACF＝30°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得出答案．【解答】解；∵∠DCE＝90°，點(diǎn)A是DE的中點(diǎn)，∴AC＝AD＝AE，∵∠D＝60°，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∴∠ACF＝∠DCE﹣∠ACD＝30°，∵∠FAC＝90°，∴∠BFC＝∠FAC+∠ACF＝90°+30°＝120°，故答案為：120．1．（2023?深圳三模）古代大型武器投石機(jī)，是利用杠桿原理將載體以不同的拋物線投射出去的裝置．圖是圖投石機(jī)的側(cè)面示意圖．AB為炮架的炮梢兩頂點(diǎn)，已知A、B兩點(diǎn)到炮軸O的距離分別為1米和8米，當(dāng)炮索自然垂落垂直于地面時(shí)，落在地面上的繩索還有5米．如圖，拉動(dòng)炮索，炮梢繞炮軸O旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′．當(dāng)炮索的頂端在地面且與炮軸在同一直線上時(shí)，若AA′垂直地面，∠BOB′＝60°，此時(shí)，B′到水平地面的距離是（）A．12 B．132 C．212 D【答案】C【分析】如圖所示，延長(zhǎng)AA′交地面于C，延長(zhǎng)BB′交地面于D，設(shè)此時(shí)炮索的位置為E，證明△BOB′、△AOA′都是等邊三角形，得到AA′＝OA＝OA′＝1m，∠B′＝∠AA′O＝60°，再證明AA′∥BB′得到BB′⊥DE，則∠E＝30°，即可得到B'D=12B'E，A'C=12A'E，設(shè)A′C＝xm，則A′E＝（x+6）m，求出A′E【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)AA′交地面于C，延長(zhǎng)BB′交地面于D，設(shè)此時(shí)炮索的位置為E，∵OB＝OB′，OA＝OA′，∠BOB′＝∠AOA′＝60°，∴△BOB′、△AOA′都是等邊三角形，∴AA′＝OA＝OA′＝1m，∠B′＝∠AA′O＝60°，∴AA′∥BB′，∵AA′⊥DE，∴BB′⊥DE，∴∠E＝30°，∴B'D=12B'E設(shè)A′C＝xm，則炮索的長(zhǎng)為x+1+5＝（x+6）m，∴A′E＝（x+6）m，∴2x＝x+6，∴x＝6，∴A′E＝12m，∴B′E＝B′O+OA′+A′E＝21m，∴B'D=21∴B′到水平地面的距離是212故選：C．2．（2023?中山市模擬）如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，在△ABC的外側(cè)作等邊△BCD，則AD的長(zhǎng)的最大值是3+2+【答案】3+【分析】作△ABC的外接圓⊙E，則三角形ABE是等腰直角三角形，將BE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BG，連接AG、CE、BG、GD，作BH⊥AG于H，當(dāng)A、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，AD最大，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．【解答】解：作△ABC的外接圓⊙E，∵∠ACB＝45°，則三角形ABE是等腰直角三角形，將BE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段BG，連接AG、CE、BG、GD，作BH⊥AG于H，當(dāng)A、G、D三點(diǎn)共線時(shí)，AD最大，∵AB＝2，∴BE＝CE=22AB∵BE＝BG，BC＝BD，∠EBG＝∠CBD＝60°，∴∠EBC＝∠GBD，∴△CEB≌△DGB，∴CE＝DG＝BG=2∵∠AGB＝∠ACB＝45°，∵BH⊥AG于H，∴BH＝HG＝1，AH=AAG+GD≥AD，AD≤3故答案為：3+3．（2023?南山區(qū)模擬）如圖，等邊三角形ABC邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D在BC邊上，且BD＜CD，點(diǎn)E在AB邊上且AE＝BD，連接AD，CE交于點(diǎn)F，在線段FC上截取FG＝FA，連接BG，則線段BG的最小值是23-2．【答案】23-2【分析】如圖所示，連接CH，取AC的中點(diǎn)N，連接BN，由全等三魚形的性質(zhì)得到FH＝MH，即點(diǎn)H為MF的中點(diǎn)，則∠ACH＝90°，推出點(diǎn)H在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)B、H、N三點(diǎn)共線時(shí)，BH有最小值，求出BN=3，則BH最小=3【解答】解：如圖所示，連接CH，取AC的中點(diǎn)N，連接BN，延長(zhǎng)AD到M，使得FM＝FC，則△FCM是等邊三角形，∵∠ACB＝∠FCM，∴∠ACF＝∠BCM，∵CA＝CB，CF＝CM，∴△BHM≌△GHF（SAS），∴FH＝MH，即點(diǎn)H為MF的中點(diǎn)，∵△FMC是等邊三角形，∴CH⊥MF，即∠AHC＝90°，∴點(diǎn)H在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)B、H、N三點(diǎn)共線時(shí)，BH有最小值，∴△ABC是等邊三角形，N是AC的中點(diǎn)，∴BN⊥AC，CN=12AC＝∴BN=B∴BH最小=3-∵BG＝2BH＝23-2故答案為：23-2【題型6：三角形的中位線】【典例6】（2023?東莞市校級(jí)一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，且AD＝8，BC＝12，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，則DE的值為（）A．5 B．5.8 C．6 D．6.5【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得CD=12BC=6，AD⊥BC【解答】解：∵AB＝AC，AD是角平分線，∴CD=12BC=6，AD根據(jù)勾股定理可得：AC=A∵點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，∴DE=1故選：A．1．（2023?南海區(qū)模擬）如圖，BD是Rt△ABC斜邊AC的中線，E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點(diǎn)，連接EF．若∠A＝60°，AD＝4，則EF的長(zhǎng)為（）A．3 B．23 C．33 D【答案】B【分析】先根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出BC，再根據(jù)三角形中位線定理即可求出EF．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是BD，CD的中點(diǎn)，AD＝4，∴AC＝8，EF是△BCD的中位線，∴EF=12在Rt△ABC中，∠A＝60°，∴∠C＝30°，∴AB=12AC＝∴BC=AC2∴EF=12×43故選：B．2．（2023?雷州市一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DE上一點(diǎn)，且∠AFC＝90°，若BC＝12，AC＝8，則DF的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出DE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出FE，計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，∴DE=12∵BC＝12，∴DE＝6，在Rt△AFC中，∠AFC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AC＝8，∴FE=12AC＝∴DF＝DE﹣FE＝6﹣4＝2，故選：B．3．（2023?南海區(qū)校級(jí)三模）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P是邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是邊BC上的定點(diǎn)，連接AP，PQ，E，F(xiàn)分別是AP，PQ的中點(diǎn)，連接EF．點(diǎn)P在由C到D運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段EF的長(zhǎng)度（）A．保持不變 B．逐漸變小 C．先變大，再變小 D．逐漸變大【答案】A【分析】連接AQ，根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【解答】解：連接AQ，∵點(diǎn)Q是邊BC上的定點(diǎn)，∴AQ的大小不變，∵E，F(xiàn)分別是AP，PQ的中點(diǎn)，∴EF=12∴線段EF的長(zhǎng)度保持不變，故選：A．4．（2023?龍崗區(qū)校級(jí)一模）如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，OC＝2，OD＝3，AC∥BD，EF是△ODB的中位線，且EF＝2，則AC的長(zhǎng)為（）A．83 B．73 C．2 D【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出DB，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵EF是△ODB的中位線，∴DB＝2EF＝2×2＝4，∵AC∥BD，∴△AOC∽△BOD，∴AC：BD＝OC：OD，即AC4解得AC=8故選：A．一．選擇題（共7小題）1．已知等腰三角形一邊長(zhǎng)等于4，一邊長(zhǎng)等于9，它的周長(zhǎng)是（）A．17或22 B．22 C．17 D．13【答案】B【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長(zhǎng)為4和9，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗(yàn)證能否組成三角形．【解答】解：分兩種情況：當(dāng)腰為4時(shí)，4+4＜9，所以不能構(gòu)成三角形；當(dāng)腰為9時(shí)，9+9＞4，9﹣9＜4，所以能構(gòu)成三角形，周長(zhǎng)是：9+9+4＝22．故選：B．2．等腰三角形一腰上的高與另一腰上的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為（）A．60° B．150° C．60°或120° D．60°或150°【答案】C【分析】分別從△ABC是銳角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案．【解答】解：如圖（1），∵AB＝AC，BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝30°，∴∠A＝60°；如圖（2），∵AB＝AC，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∵∠ABD＝30°，∴∠BAD＝60°，∴∠BAC＝120°；綜上所述，它的頂角度數(shù)為：60°或120°．故選：C．3．如圖，在△ABC中，AC＝18cm，BC＝20cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1.6cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△CMN是以MN為底的等腰三角形時(shí)，則這時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)是（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】D【分析】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，則AM＝2x，AN＝18﹣3x，當(dāng)AMN是等腰三角形時(shí)，AM＝AN，則18﹣3x＝2x，解得x即可．【解答】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，在△ABC中，BC＝20cm，AC＝18cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2cm的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1.6cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△CMN是等腰三角形時(shí)，CM＝CN，CM＝18﹣2x，CN＝1.6x即18﹣2x＝1.6x，解得x＝5．∴CM＝CN＝8（cm），故選：D．4．如圖，l1∥l2，點(diǎn)B在直線l1上，點(diǎn)A在直線l2上，AB＝BC，∠C＝25°，∠1＝60°，則∠2的度數(shù)是（）A．70° B．65° C．60° D．55°【答案】A【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠C＝∠BAC＝25°，利用平行線的性質(zhì)得到∠BEA＝95°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：如圖，∵AB＝BC，∠C＝25°，∴∠C＝∠BAC＝25°，∵l1∥l2，∠1＝60°，∴∠BEA＝180°﹣60°﹣25°＝95°，∵∠BEA＝∠C+∠2，∴∠2＝95°﹣25°＝70°．故選：A．5．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知A、B是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．6個(gè) B．7個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【答案】C【分析】當(dāng)AB是腰長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與A、B頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等腰三角形；當(dāng)AB是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，AB垂直平分線上的格點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C，然后相加即可得解．【解答】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．故選：C．6．如圖，△ABC的面積為9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，連接PC，則△PBC的面積為（）A．3cm2 B．4cm2 C．4.5cm2 D．5cm2【答案】C【分析】根據(jù)已知條件證得△ABP≌△EBP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AP＝PE，得出S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，推出S△PBC=12S△【解答】解：延長(zhǎng)AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，在△ABP和△EBP中，∠ABP=∠EBPPB=PB∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△PBC=12S△ABC=12×9cm2故選：C．7．如圖，AD、BE分別是△ABC的中線和角平分線，AD⊥BE，AD＝BE＝6，則AC的長(zhǎng)為（）A．35 B．352 C．95 D【答案】D【分析】取CE的中點(diǎn)F，連接DF，根據(jù)三角形中位線定理得到DF=12BE＝3，DF∥BE，根據(jù)勾股定理求出AF，進(jìn)而求出【解答】解：如圖，取CE的中點(diǎn)F，連接DF，∵BD＝DC，EF＝FC，∴DF是△CEB的中位線，∴DF=12BE＝3，DF∥∵AD⊥BE，∴AD⊥DF，∴AF=AD2∵BE是△ABC的角平分線，AD⊥BE，∴AH＝HD，∵DF∥HE，∴AE＝EF=3∴AC=9故選：D．二．填空題（共5小題）8．等邊三角形一定是銳角三角形．√（判斷對(duì)錯(cuò)）【答案】√．【分析】由等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角是60°，即可判斷．【解答】解：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角是60°是銳角，因此等邊三角形是銳角三角形．故答案為：√．9．如圖，等邊三角形ABC中，AD是BC上的高，AB＝2，則BD＝1．【答案】1．【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得BC＝AB＝2，進(jìn)而再根據(jù)AD是BC上的高可得出BD的長(zhǎng)．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，AB＝2，∴AB＝BC＝2，∵AD是BC上的高，∴BD＝CD=12BC＝故答案為：1．10．如圖，△ABC為等邊三角形，∠2＝∠3，則∠BEC的度數(shù)是120°．【答案】120°．【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠BCA＝60°，再根據(jù)∠2＝∠3可得∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2，由此得∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°，然后再由三角形的內(nèi)角和定理可得出∠BEC的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠BCA＝60°，又∵∠2＝∠3，∴∠BCE＝∠BCA﹣∠3＝60°﹣∠2，∴∠2+∠BCE＝∠2+60°﹣∠2＝60°，∴∠BEC＝180°﹣（∠2+∠BCE）＝180°﹣60°＝120°．故答案為：120°11．如圖所示，某居民小區(qū)為了美化居住環(huán)境，要在一塊三角形ABC空地上圍一個(gè)四邊形花壇BCFE，已知點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，量得BC＝16米，則EF的長(zhǎng)是8米．【答案】8．【分析】根據(jù)三角形的中位線定理計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF=1∵BC＝16米，∴EF＝8米，故答案為：8．12．等邊△ABC的邊長(zhǎng)6cm．則其面積為932cm2【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB＝AC＝C，∠B＝60°，由銳角三角函數(shù)的定義求出AD的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，AB＝6cm，∴AB＝AC＝C，∠B＝60°，∴AD＝AB?sin60°＝6×32=∴S△ABC=12BC?AD=12×3×故答案為：932cm三．解答題（共3小題）13．已知等腰△ABC的周長(zhǎng)是32，且腰長(zhǎng)比底邊長(zhǎng)的2倍少4，求等腰△ABC的三條邊的長(zhǎng)．【答案】12，12，8．【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)，設(shè)出未知數(shù)，列方程組即可求解；【解答】解：設(shè)等腰△ABC的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為y，根據(jù)題意得，x=2y-42x+y=32解得，x=12y=8∴等腰△ABC的三邊的長(zhǎng)為12，12，8．14．如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，CD，AC，EF的中點(diǎn)，求證：GH⊥EF．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到FG=12AD，EG=12BC，由AD＝BC，于是得到【解答】證明：∵E，F(xiàn)，G分別是AB，CD，AC的中點(diǎn)，∴FG=12AD，EG=∵AD＝BC，∴FG＝GE，∵H是EF的中點(diǎn)，∴GH⊥EF．15．如圖，已知D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)為垂足，且BE＝CF，∠BDE＝30°，求證：△ABC是等邊三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用“HL”證明△BED和△CFD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠B＝∠C，然后根據(jù)等角對(duì)等邊得到AB＝AC，再求得∠B＝60°，即可解答．【解答】證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BED和△CFD都是直角三角形，在Rt△BED和Rt△CFD中，BD=CDBE=CF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角對(duì)等邊）．∵∠BDE＝30°，DE⊥AB，∴∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形．一．選擇題（共7小題）1．下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)是（）①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；③有兩個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形；④底角的角平分線所在的直線是這等腰三角形的對(duì)稱軸，則這個(gè)三角形是等邊三角形A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)等邊三角形的判定、軸對(duì)稱的性質(zhì)即可判斷；【解答】解：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；正確．②有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形；正確．③有兩個(gè)角為60°的三角形是等邊三角形；正確．④底角的角平分線所在的直線是這等腰三角形的對(duì)稱軸，則這個(gè)三角形是等邊三角形；正確．故選：D．2．邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，CD上的點(diǎn)，且AD＝BD，有一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，最后回到點(diǎn)D，則螞蟻所走的最短路程為（）A．6 B．8 C．12 D．9【答案】A【分析】作點(diǎn)D關(guān)于BC，AC的對(duì)稱點(diǎn)為G，H，得到DE+EF+DF＝GE+EF+FH≥GH，即當(dāng)G，E，F(xiàn)，H四點(diǎn)共線時(shí)，螞蟻所走的路線最短，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，含30度的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【解答】解：作點(diǎn)D關(guān)于BC，AC的對(duì)稱點(diǎn)為G，H，則：DG⊥BC，DH⊥AC，∴DE+EF+DF＝GE+EF+FH≥GH，∴當(dāng)G，E，F(xiàn)，H四點(diǎn)共線時(shí)，螞蟻所走的路線最短，∵邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ABC中，AD＝BD，∴∠A＝∠B＝60°，AD＝BD＝2，∴∠BDM＝30°，∴BM=12BD=1∴DG=23同法可得：∠ADH=30°，∴∠GDH＝180°﹣2×30°＝120°，DG＝DH，∴∠DGH＝∠DHG＝30°，過(guò)點(diǎn)D作DN⊥GH，則：DN=1∴螞蟻所走的最短路程為6；故選：A．3．已知等腰三角形的周長(zhǎng)為24，其中兩邊之差為6，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為（）A．10 B．6 C．4或6 D．6或10【答案】A【分析】分兩種情況分別計(jì)算三角形的三邊，再根據(jù)三邊關(guān)系進(jìn)行取舍即可．【解答】解：（1）設(shè)底為x，則腰為（x+6），由題意得：x+2（x+6）＝24，解得：x＝4，當(dāng)x＝4時(shí)，x+6＝10，此時(shí)等腰三角形的三邊為：4，10，10；（2）設(shè)底為x，則腰為（x﹣6），由題意得：x+2（x﹣6）＝24，解得：x＝12，當(dāng)x＝12時(shí)，x﹣6＝6，12，6，6不能構(gòu)成三角形，不符合題意；因此，腰為10，故選：A．4．等腰三角形的一邊長(zhǎng)等于3，另一邊長(zhǎng)等于5，則周長(zhǎng)為（）A．11 B．13 C．11或13 D．8【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形和三角形的三邊關(guān)系，分類討論即可得．【解答】解：若腰長(zhǎng)為3，則三邊長(zhǎng)是3，3，5，滿足三邊關(guān)系，即三角形的周長(zhǎng)為：3+3+5＝11；若腰長(zhǎng)為5，則三邊長(zhǎng)是3，5，5，滿足三邊關(guān)系，即三角形的周長(zhǎng)為：3+5+5＝13；綜上，等腰三角形的周長(zhǎng)是11或13，故選：C．5．如圖，△ABC中，AC＝BC，CD⊥AB，點(diǎn)E，F(xiàn)，G是CD上任意三點(diǎn)，若AB＝3，CD＝4，則圖中陰影部分的面積為（）A．12 B．6 C．3 D．1.5【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD＝BD，則S△ACE＝S△BCE，S△AEF＝S△BEF，S△AFG＝S△BFG，S△AGD＝S△BDG，即可推出S陰影【解答】解：∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD，∵S△ACE∴S△ACE＝S△BCE，同理可得：S△AEF＝S△BEF，S△AFG＝S△BFG，S△AGD＝S△BDG，∴S陰影故選：C．6．已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為a、b，且a、b滿足（a﹣2）2+|b﹣3|＝0，則此等腰三角形的周長(zhǎng)為（）A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10【答案】A【分析】首先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得到關(guān)于a、b的方程組，接下來(lái)解方程組即可求出a、b的值，再分類討論，可得結(jié)論．【解答】解：根據(jù)題意得，a﹣2＝0，b﹣3＝0，∴a＝2，b＝3，①當(dāng)a＝2是腰時(shí)，三邊分別為2、2、3，能組成三角形，周長(zhǎng)為：2+2+3＝7．②當(dāng)b＝3是腰時(shí)，三邊分別為3、3、2，能組成三角形，周長(zhǎng)為：3+3+2＝8．所以等腰三角形的周長(zhǎng)7或8．故選：A．7．已知△ABC的三邊a，b，c滿足(a-3)2+A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．不能判斷【答案】A【分析】先根據(jù)偶次方的非負(fù)性、算術(shù)平方根的非負(fù)性和絕對(duì)值的非負(fù)性可得a，b，c的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得．【解答】解：∵(a-3)∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，解得a＝3，b＝4，c＝5，∴a2+b2＝32+42＝25＝c2，∴△ABC是直角三角形，故選：A．二．填空題（共4小題）8．已知△ABC，BC＝a，AB＝c，AC＝b且a：b：c＝7：5：3，P為形外一點(diǎn)，則PA+PB+PC的最小值為83c．（用c【答案】83c【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于D，首先可得a=73c，b=53c，設(shè)AD＝m，利用勾股定理得出∠ABD＝30°，將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBP′，則C、【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于E，∵BC＝a，AB＝c，AC＝b且a：b：c＝7：5：3，設(shè)AE＝m，∴a=73c，b=53c，則BC=73c，AC=53c，CE＝由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝c2﹣m2，BC2＝CE2+BE2，∴（73c）2＝（53c+m）2+c2﹣m化簡(jiǎn)得，m=12∴AE=12c，CE=53c+12c=∴tan∠ABE=AE∴∠ABD＝30°，∴∠BAC＝120°，將△APB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBP′，則C、A、D共線，△BPP′是等邊三角形，∴PB＝PP′，P′D＝PA，AB＝AD，∠BAD＝60°，∴∠BAC+∠BAD＝120°+60°＝180°，∴PA+PB+PC＝P′D+PP'+PC≥CD＝AC+AD=53c+c=∴PA+PB+PC的最小值為83c故答案為：83c9．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠A＝68°，BD是∠ABC的平分線，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，BD＝BE，則∠CDE的度數(shù)為20°．【答案】20°．【分析】先根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＝∠C＝56°，由角平分線的定義得到∠DBE＝28°，進(jìn)而求出∠BED＝76°，即可利用三角形外角的性質(zhì)得到∠CDE＝∠BED﹣∠C＝20°．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝68°，∴∠ABC=∠C=180°-∠A∵BD是∠ABC的平分線，∴∠DBE=1∵BD＝BE，∴∠BED=∠BDE=180°-∠DBE∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝20°，故答案為：20°．10．在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A、B是兩個(gè)格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且使得△ABC為等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是8．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】分AB是腰長(zhǎng)時(shí)，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個(gè)小正方形與A、B頂點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)，連接即可得到等腰三角形，AB是底邊時(shí)，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，AB垂直平分線上的格點(diǎn)都可以作為點(diǎn)C，然后相加即可得解．【解答】解：如圖，分情況討論：①AB為等腰△ABC的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；②AB為等腰△ABC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)．故答案為：8．11．若一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為39，底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比為5：4，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為15．【答案】15．【分析】由題意可以假設(shè)等腰三角形的底邊為5k，腰為4k．構(gòu)建方程求解．【解答】解：由題意可以假設(shè)等腰三角形的底邊為5k，腰為4k．則有4k+4k+5k＝39，∴k＝3，∴等腰三角形的底邊長(zhǎng)為15．故答案為：15．三．解答題（共3小題）12．已知：如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)6cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在AB、BC邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為VP＝2cm/s，VQ＝1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為等邊三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ為直角三角形？【答案】（1）當(dāng)t=127s（2）當(dāng)t為65s或2411【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的判定得：BP＝BQ，列等式可得t的值；（2）分兩種情況：當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP＝2BQ，則6﹣2t＝3t，②當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，BQ＝2BP，則1.5t＝2（6﹣2t），分別求出t的值．【解答】解：（1）由題意可知AP＝2t，BQ＝1.5t，則BP＝AB﹣AP＝6﹣2t，當(dāng)△PBQ為等邊三角形時(shí)，則有BP＝BQ，即6﹣2t＝1.5t，解得t=12即當(dāng)t=127s（2）當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴在Rt△PBQ中，BP＝2BQ，即6﹣2t＝3t，解得t=6當(dāng)∠BPQ＝90°時(shí)，同理可得BQ＝2BP，即1.5t＝2（6﹣2t），解得t=24綜上可知當(dāng)t為65s或241113．如圖1，已知CA平分∠MCN，AB∥CN．（1）求證：AB＝CB；（2）作∠ABC的平分線，分別交AC，CN于E，D兩點(diǎn)（如圖2），若∠MCN＝60°，AB＝2，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）3．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證明∠MCA＝∠BAC，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得出答案；（2）先求出∠BCA=12∠MCN=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE⊥AC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出【解答】（1）證明：∵AB∥CN，∴∠BAC＝∠ACN，∵CA平分∠MCN，∴∠MCA＝∠ACN，∴∠MCA＝∠BAC，∴BA＝BC．（2）解：∵∠MCN＝60°，CA平分∠MCN，∴∠BCA=1∵BA＝BC，BD平分∠CBA，∴BE⊥AC∵BA＝BC＝2∴BE=12∴CE=214．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，若AF＝BF．求證：（1）△ADF是等腰三角形．（2）DF＝2EF．【答案】（1）見解答；（2）見解答．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可證得∠D＝∠DFA，根據(jù)等腰三角形的判定即可證得結(jié)論；（2）過(guò)A作AH⊥DE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得DH＝FH，根據(jù)全等三角形的判定證得△AFH≌△BFE，得到DH＝FH＝EF，即可求出DF＝2EF．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE⊥BC，∴∠B+∠BFE＝∠C+∠D＝90°，∴∠D＝∠BFE，∵∠BFE＝∠DFA，∴∠D＝∠DFA，∴AD＝AF，∴△ADF是等腰三角形；（2）過(guò)A作AH⊥DE于H，∵DE⊥BC，∴∠AHF＝∠BEF＝90°，由（1）知，AD＝AF，∴DH＝FH，在△AFH和△BFE中，∠AHF=∠BEF∠AFH=∠BFE∴△AFH≌△BFE（AAS），∴FH＝EF，∴DH＝FH＝EF，∴DF＝2EF．一．選擇題（共5小題）1．（2014?東莞市）一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和7，則它的周長(zhǎng)為（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【答案】A【分析】由于未說(shuō)明兩邊哪個(gè)是腰哪個(gè)是底，故需分：（1）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?；（2）當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?；兩種情況討論，從而得到其周長(zhǎng)．【解答】解：①當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為7時(shí)，3+3＜7不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮?，底為3時(shí)，周長(zhǎng)為3+7+7＝17．故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是17．故選：A．2．（2012?深圳）如圖，已知：∠MON＝30°，點(diǎn)A1、A2、A3…在射線ON上，點(diǎn)B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1＝1，則△A6B6A7的邊長(zhǎng)為（）A．6 B．12 C．32 D．64【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及