第03講 圓-垂徑定理（知識(shí)解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第03講圓-垂徑定理1.掌握垂徑定理及其推論；2.利用垂徑定理及其推論進(jìn)行簡單的計(jì)算和證明.知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論1：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??；3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。常見輔助線做法（考點(diǎn)）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt有弧中點(diǎn)，連中點(diǎn)和圓心，得垂直平分知識(shí)點(diǎn)2垂徑定理的應(yīng)用經(jīng)常為未知數(shù)，結(jié)合方程于勾股定理解答【題型1運(yùn)用垂徑定理直接求線段的長度】【典例1】（2023?南海區(qū)校級(jí)模擬）如圖，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（）?A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：連接OA，如圖，∵CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×16＝8，在Rt△OAE中，OA＝＝＝10，即⊙O半徑為10．故選：D．【變式1-1】已知⊙O的半徑為5，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上，若PA＝2，PB＝4，則OP＝（）A． B． C． D．3【答案】C【解答】解：如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，連接OB，則OB＝5，∵PA＝2，PB＝4，∴AB＝PA+PB＝6，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝3，∴PC＝PB﹣BC＝1，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得：OC2＝OB2﹣BC2＝52﹣32＝16，在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：OP＝＝＝，故選：C．【變式1-2】如圖，OA，OB，OC都是⊙O的半徑，AC，OB交于點(diǎn)D．若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解答】解：∵AD＝CD＝8，∴OB⊥AC，在Rt△AOD中，OA＝＝＝10，∴OB＝10，∴BD＝10﹣6＝4．故選：B．【變式1-3】把半徑為5cm的球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若CD＝8cm，則EF的長為（）A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm【答案】A【解答】解：如圖，設(shè)球心為O，過O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，連接OF，由題意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，∵CD＝8cm，∴MN＝8cm，∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），∵M(jìn)N⊥AD，∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，∴，∴EF＝2FM＝8cm，故選：A．【題型2垂徑定理在格點(diǎn)中的運(yùn)用】【典例2】（2023?平遙縣二模）如圖所示，一圓弧過方格的格點(diǎn)AB，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）【答案】C【解答】解：如圖所示，連接AC，作出AB、AC的垂直平分線，其交點(diǎn)即為圓心．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），∴該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（﹣1，1）．故選：C．【變式2-1】（2022秋?南開區(qū)校級(jí)期末）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一圓弧過正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A，B，C，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，5），B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，5），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，2），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為（﹣1，0）．【答案】（﹣1，0）．【解答】解：根據(jù)不共線三點(diǎn)確定一個(gè)圓，如圖，AB，BC的垂直平分線的交點(diǎn)即為所求，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為（﹣1，0）．故答案為：（﹣1，0）．【變式2-2】（2022秋?長沙期中）如圖，以點(diǎn)P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．【答案】（6，0）．【解答】解：過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C，∵以點(diǎn)P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點(diǎn)，∴AC＝BC，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），AC＝2，∴BC＝2，∴OB＝6，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）．故答案為：（6，0）．【題型3垂徑定理與方程的綜合應(yīng)用】【典例3】（2023?尋烏縣一模）如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點(diǎn)C，連接AO并延長交⊙O于點(diǎn)E，連接EB．若AB＝4，CD＝1，則EB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：由題意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直徑，∴CO是△ABE的中位線，∴EB＝2OC，在Rt△ACO中，設(shè)OA＝x，則OC＝x﹣1，∵AO2＝OC2+AC2，∴x2＝（x﹣1）2+22，解得：，即，，∴EB＝2OC＝3，故選：B．【變式3-1】（2021?淄博）“圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺．問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達(dá)即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長度是（）A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸【答案】D【解答】解：連接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10寸，∴AE＝BE＝5寸，設(shè)圓O的半徑OA的長為x，則OC＝OD＝x，∵CE＝1，∴OE＝x﹣1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2﹣（x﹣1）2＝52，化簡得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，即2x＝26，∴CD＝26（寸）．故選：D．【變式3-2】如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，若，BE＝2，則AB的長是（）A．12 B．16 C． D．【答案】A【解答】解：連接OC，設(shè)圓的半徑是r，∵BE＝2，∴OE＝r﹣2，∵直徑AB⊥CD，∴CE＝CD＝×4＝2，∵OC2＝OE2+CE2，∴r2＝（r﹣2）2+，∴r＝6，∴AB＝2r＝12．故選：A．【變式3-2】唐代李皋發(fā)明了“槳輪船”，這種船是原始形態(tài)的輪船，是近代明輪航行模式之先導(dǎo)．如圖，某槳輪船的輪子被水面截得的弦AB長8m，輪子的吃水深度CD為2m，則該槳輪船的輪子直徑為（）A．10m B．8m C．6m D．5m【答案】A【解答】解：設(shè)半徑為rm，則OA＝OC＝rm，∴OD＝（r﹣2）m，∵AB＝8m，∴AD＝4m，在Rt△ODA中，有OA2＝OD2+AD2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5m，則該槳輪船的輪子直徑為10m．故選：A【題型4同心圓與垂井定理綜合】【典例4】（2021秋?梁山縣期末）如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．（1）求證：AC＝BD；（2）連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）2﹣2．【解答】（1）證明：過O作OH⊥CD于H，如圖1所示：∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：過O作OH⊥CD于H，連接OD，如圖2所示：則CH＝DH＝CD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝4，∴CH＝2，∴OH＝＝＝2，∴AH＝＝＝2，∴AC＝AH﹣CH＝2﹣2．【變式4-1】（2022秋?嘉興期中）已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D（如圖）．（1）求證：AC＝BD；（2）若大圓的半徑R＝10，小圓的半徑r＝8，且圓心O到直線AB的距離為6，求AC的長．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】（1）證明：過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則CE＝DE，AE＝BE，∴BE﹣DE＝AE﹣CE，即AC＝BD；（2）解：由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，連接OC，OA，∴OE＝6，∴CE＝＝＝2，AE＝＝＝8，∴AC＝AE﹣CE＝8﹣2．【變式4-2】（2020秋?廣饒縣期中）已知在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于點(diǎn)C、D（1）求證：AC＝BD；（2）若大圓的半徑r＝8，小圓的半徑r＝6，且圓心O到直線AB的距離為4，求AC的長．【答案】（1）略（2）AC＝AE﹣CE＝4﹣2【解答】（1）證明：作OE⊥AB，則AE＝BE，CE＝DE，故BE﹣DE＝AE﹣CE；即AC＝BD；（2）解：連接OC，OA，∵OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE＝4，CE＝DE，∴DE＝CE＝＝＝2，AE＝＝＝4，∴AC＝AE﹣CE＝4﹣2．【變式4-3】（2022秋?浦江縣校級(jí)月考）如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，若AB＝10cm，CD＝6cm．（1）求AC的長；（2）若大圓半徑為13cm，求小圓的半徑．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）作OE⊥AB，垂足為E，由垂徑定理知，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，也是AB的中點(diǎn)∴AE＝AB＝5，CE＝CD＝3∴AC＝AE﹣CE＝5﹣3＝2cm；（2）連接OA，OC，∵在Rt△AOE中，AE＝5cm，OA＝13cm，∴OE＝＝＝12cm．在Rt△OCE中，∵CE＝3cm，OE＝12cm，∴OC＝＝＝3（cm）．【題型5垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【典例5】（2022秋?贛縣區(qū)期末）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，并且CD＝4，EM＝6，求⊙O的半徑．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：連接OC，∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理：EM⊥CD，又CD＝4則有：CM＝CD＝2，設(shè)圓的半徑是x米，在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，即：x2＝22+（6﹣x）2，解得：x＝，所以圓的半徑長是．【變式5-1】（2023?南平模擬）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問題：“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺，問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知大小，用鋸子去鋸這個(gè)木材，鋸口深DE＝1寸，鋸道AB＝1尺（1尺＝10寸），則這根圓柱形木材的直徑是（）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸【答案】D【解答】解：延長DE，交⊙O于點(diǎn)E，連接OA，由題意知DE過點(diǎn)O，且OD⊥AB，∵OD為⊙O半徑，∴尺＝5寸，設(shè)半徑OA＝OD＝r，∵DE＝1寸，∴OE＝（r﹣1）寸，在Rt△OAE中，根據(jù)勾股定理可得：（r﹣1）2+52＝r．解得：r＝13，∴木材直徑為26寸；故選：D．【變式5-2】（2022秋?龍巖期末）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，彰顯了我國古代勞動(dòng)人民的智慧．如圖1，點(diǎn)M表示筒車的一個(gè)盛水桶．如圖2，當(dāng)筒車工作時(shí)，盛水桶的運(yùn)行路徑是以軸心O（O在水面上方）為圓心的圓，且圓O被水面截得的弦AB長為8米．若筒車工作時(shí)，盛水桶在水面以下的最大深度為2米，則這個(gè)圓的半徑為（）A．2米 B．3米 C．4米 D．5米【答案】D【解答】解：過O點(diǎn)作半徑OD⊥AB于E，如圖，∵AB＝8米∴AE＝BE＝AB＝×8＝4米，∵DE＝2米，∴設(shè)OD＝OA＝x米，則OE＝（x﹣2）米，在Rt△AOE中，OE2+AE2＝OA2，即（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝5，故OA＝5米．故選：D．【變式5-3】（2023?桐鄉(xiāng)市校級(jí)開學(xué)）一面墻上有一個(gè)矩形門洞，其中寬為1.5米，高為2米，現(xiàn)要將其改造成圓弧型門洞（如圖），則改造后圓弧型門洞的最大高度是（）A．2.25米 B．2.2米 C．2.15米 D．2.1米【答案】A【解答】解：如圖所示，連接矩形門洞的對(duì)角線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OD⊥BE于點(diǎn)D，∴點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴AB為圓O的直徑，∵寬為1.5米，高為2米，∴AB＝＝2.5（米），∴圓的半徑＝AB＝1.25（米），∵OD⊥BE，∴點(diǎn)D為BE的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)O為線段AB的中點(diǎn)，∴OD＝BC＝1（米），則改造后門洞的最大高度＝1.25+1＝2.25（米）；故選：A．【典例6】（2023?迎澤區(qū)校級(jí)一模）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）連接OA，由題意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）連接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取緊急措施．【變式6-1】（2021秋?恩施市校級(jí)期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3.4m，則此貨船是否能順利通過這座圓弧形拱橋并說明理由．【答案】（1）6.5m；（2）能順利通過這座拱橋，理由見解析．【解答】解：（1）如圖，連接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D為AB中點(diǎn)，∵AB＝12m，∴BD＝AB＝6m．又∵CD＝4m，設(shè)OB＝OC＝ON＝rm，則OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根據(jù)勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．答：拱橋的半徑是6.5m；（2）∵CD＝4m，船艙頂部為長方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN＝（m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此貨船能順利通過這座拱橋．【變式6-2】（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，一座石橋的主橋拱是圓弧形，某時(shí)刻測得水面AB寬度為6米，拱高CD（弧的中點(diǎn)到水面的距離）為1米．（1）求主橋拱所在圓的半徑；（2）若水面下降1米，求此時(shí)水面的寬度．【答案】（1）5米；（2）8米．【解答】解：（1）∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，DC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝3，DC經(jīng)過圓心，設(shè)拱橋的橋拱弧AB所在圓的圓心為O，連接OA，OC，聯(lián)結(jié)OA，設(shè)半徑OA＝OD＝R，OC＝OD﹣DC＝R﹣1，在Rt△ACO中，∵OA2＝AC2+OC2，∴R2＝（R﹣1）2+32，解得R＝5．答：主橋拱所在圓的半徑長為5米；（2）設(shè)OD與EF相交于點(diǎn)G，連接OF，∵EF∥AB，OD⊥AB，∴OD⊥EF，∴∠OGF＝90°，在Rt△OGF中，OG＝5﹣1﹣1＝3，OF＝5，∴FG＝＝4，∴EF＝2FG＝8，答：此時(shí)水面的寬度為8米．1．（2021?鄂州）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1．筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖2．已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB長為6米，⊙O半徑長為4米．若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，則點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是（）A．1米 B．（4﹣）米 C．2米 D．（4+）米【答案】B【解答】解：連接OC交AB于D，連接OA，∵點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，∴OC⊥AB，∴AD＝AB＝3（米），在Rt△OAD中，OD＝＝＝（米），∴點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離CD＝OC﹣OD＝（4﹣）米，故選：B．2．（2021?涼山州）點(diǎn)P是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的最長弦的長為10cm，最短弦的長為6cm，則OP的長為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】B【解答】解：如圖所示，CD⊥AB于點(diǎn)P．根據(jù)題意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直徑，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根據(jù)勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故選：B．3．（2021?青海）如圖是一位同學(xué)從照片上剪切下來的海上日出時(shí)的畫面，“圖上”太陽與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測得“圖上”圓的半徑為10厘米，AB＝16厘米．若從目前太陽所處位置到太陽完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，則“圖上”太陽升起的速度為（）A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分【答案】A【解答】解：設(shè)“圖上”圓的圓心為O，連接OA，過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，如圖所示：∵AB＝16厘米，∴AD＝AB＝8（厘米），∵OA＝10厘米，∴OD＝＝＝6（厘米），∴海平線以下部分的高度＝OA+OD＝10+6＝16（厘米），∵太陽從所處位置到完全跳出海平面的時(shí)間為16分鐘，∴“圖上”太陽升起的速度＝16÷16＝1.0（厘米/分），故選：A．4．（2022?長沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA＝7，則BC的長為7．【答案】7．【解答】解：∵OA＝OC＝7，且D為OC的中點(diǎn)，∴OD＝CD，∵OC⊥AB，∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，在△AOD和△BCD中，∴△AOD≌△BCD（SAS），∴BC＝OA＝7．故答案為：7．5．（2022?黑龍江）如圖，在⊙O中，弦AB垂直平分半徑OC，垂足為D，若⊙O的半徑為2，則弦AB的長為2．【答案】2．【解答】解：連接OA，由AB垂直平分OC，得到OD＝OC＝1，∵OC⊥AB，∴D為AB的中點(diǎn)，則AB＝2AD＝2＝2＝2．故答案為：2．6．（2021?黔東南州）小明很喜歡鉆研問題，一次數(shù)學(xué)楊老師拿來一個(gè)殘缺的圓形瓦片（如圖所示）讓小明求瓦片所在圓的半徑，小明連接瓦片弧線兩端AB，量得弧AB的中心C到AB的距離CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圓形瓦片所在圓的半徑為4cm．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵C點(diǎn)是的中點(diǎn)，CD⊥AB，∴CD過圓心，AD＝BD＝AB＝×6.4＝3.2（cm），設(shè)圓心為O，連接OA，如圖，設(shè)⊙O的半徑為Rcm，則OD＝（R﹣1.6）cm，在Rt△OAD中，（R﹣1.6）2+3.22＝R2，解得R＝4（cm），所以圓形瓦片所在圓的半徑為4cm．故答案為4．1．（2023?平南縣一模）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，若OA＝5，AB＝8，則CD的長為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝4，在Rt△OAD中，OD＝＝＝3，∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．故選：D．2．（2022秋?東莞市期末）垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是證明線段和角相等以及垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為圓的計(jì)算和作圖問題提供了方法和依據(jù)．下列可以運(yùn)用垂徑定理解決問題的圖形是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：可以運(yùn)用垂徑定理解決問題的圖形是．故選：C．3．（2022秋?南通期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E．若AB＝10，CD＝8，則AE的長是（）A．2 B．1 C． D．【答案】A【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴CE＝＝，∵圓的半徑CO長是×10＝5，∴OE＝＝＝3，∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2．故選：A．4．如圖，AB為⊙O的直徑，半徑OA的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)C，D，交AB于點(diǎn)E，若，則BE的長為（）A． B．6 C． D．8【答案】B【解答】解：如圖，連接OC，∵AB為⊙O的直徑，CD垂直平分OA，∴CE＝CD＝2，OE＝OC，∵OE2+CE2＝OC2，∴OE2+12＝4OE2，∴OE＝2，∴OB＝OC＝4，∴BE＝2+4＝6．故選：B．5．如圖是一個(gè)圓柱形輸水管橫截面的示意圖，陰影部分為有水部分，如果水面AB的寬為8cm，水面最深的地方高度為2cm，則該輸水管的半徑為（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【答案】A【解答】解：作半徑OD⊥AB于C，連接OA，設(shè)圓的半徑是rcm，∵CD＝2cm，∴OC＝（r﹣2）cm，∵OD⊥AB，∴AC＝AB＝×8＝4（cm），∵OA2＝OC2+AC2，∴r2＝（r﹣2）2+42，∴r＝5，∴該輸水管的半徑為5cm．故選：A．5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，一條圓弧經(jīng)過正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A，B，C．若A點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，2），則圓心M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．【答案】（2，0）．【解答】解：如圖，作AB和BC的垂直平分線，它們的交點(diǎn)為M點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．故答案為：（2，0）．6．如圖，一圓弧形橋拱的圓心為E，拱橋的水面跨度AB＝80米，橋拱到水面的最大高度DF為20米．求：（1）橋拱的半徑；（2）現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度為10米．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖，設(shè)點(diǎn)E是拱橋所在的圓的圓心