華師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第19章 矩形、菱形與正方形 2.菱形的判定（課件）

2菱形的判定華東師大·八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)復(fù)習(xí)導(dǎo)入回顧復(fù)習(xí)什么是菱形？一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.ABCD幾何語(yǔ)言：如圖，

對(duì)于平行四邊形ABCD，若AB=BC，則這個(gè)平行四邊形叫做菱形.菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的所有性質(zhì).

ABCDO菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn).1.菱形的四條邊都相等.2.菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.進(jìn)行新課

我們已經(jīng)知道，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，這是菱形的定義.我們可以根據(jù)定義來(lái)判定一個(gè)四邊形是否是菱形.除此之外，還能找到其他的判定方法？思考對(duì)于一般的四邊形，如何尋找判定它是不是菱形的方法呢？由菱形的性質(zhì)“四條邊都相等”，你可能會(huì)想到：如果一個(gè)四邊形的四條邊都相等，那么它肯定是一個(gè)菱形.

結(jié)論成立嗎？試一試如圖，作一個(gè)四條邊都相等的四邊形.1.畫兩條相等的線段AB、AD；2.分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心、AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C；3.連結(jié)BC、CD，即得到一個(gè)四條邊都相等的四邊形ABCD.ABCD它是一個(gè)菱形嗎？菱形的判定定理1四條邊都相等的四邊形是菱形.由此可以得到判定矩形的一種方法：有三個(gè)內(nèi)角是直角的四邊形是矩形.有三條邊相等的四邊形是菱形嗎？四條邊都相等的四邊形是菱形.例4如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是四條邊的中點(diǎn)，試問(wèn)四邊形EFGH是什么圖形？并說(shuō)明理由.ABDCEHFGABDCEHFG分析：四邊形EFGH的四條邊分別屬于矩形四個(gè)角上的三角形，如果能夠證明這四個(gè)三角形全等，那么就可以利用菱形的判定定理1，得出四邊形EFGH是菱形.探索：如圖，取兩根長(zhǎng)度不等的細(xì)木棒，讓兩個(gè)木棒的中點(diǎn)重合并固定在一起，用筆和直尺畫出木棒四個(gè)端點(diǎn)的連線.我們知道，這樣得到的四邊形是一個(gè)平行四邊形.轉(zhuǎn)動(dòng)其中一個(gè)木棒，重復(fù)上面的做法，當(dāng)兩根木棒之間的夾角等于90°時(shí)，得到的是什么圖形？試一試作一個(gè)兩條對(duì)角線互相垂直的平行四邊形.1.作2條互相垂直的直線m、n，記交點(diǎn)為點(diǎn)O；2.以點(diǎn)O為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，在直線m上截取相等的兩條線段OA、OC；3.以點(diǎn)O為圓心、另一適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，在直線n上截取相等的兩條線段OB、OD；4.順次連結(jié)所得的四點(diǎn)，即得一個(gè)對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形ABCD，顯然它是一個(gè)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形.ACDBO它是一個(gè)菱形嗎？菱形的判定定理2對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.這就是判定菱形的另一種方法：已知：四邊形ABCD是平行四邊形，且AC⊥BD，求證：平行四邊形ABCD是菱形.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=CO，又∵AC⊥BD,∴AB=BC（線段垂直平分線上的點(diǎn)到兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）∴平行四邊形ABCD是菱形.（菱形的定義）思考：若四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，則四邊形ABCD是不是菱形？DCABABCDO注：對(duì)角線互相垂直的四邊形不能判定為菱形.例5如圖，已知矩形ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F.求證：四邊形AFCE是菱形.ABDCEFO12ABDCEFO12分析：要證四邊形AFCE是菱形，由已知條件可知EF⊥AC，所以只需要證明四邊形AFCE是平行四邊形，又知EF垂直平分AC，所以只需證明OE=OF.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠1=∠2.∵EF平分AC，∴OA=OC.又∵∠AOE=∠COF=90°，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形.又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.)ABDCEFO12菱形的判定方法:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.四條邊都相等的四邊形是菱形.ADCBO隨堂練習(xí)1.判斷下列說(shuō)法是否正確：(1)有一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形(2)對(duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的四邊形是菱形(3)對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是菱形(4)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形×××√2.平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC平分∠BAD，則平行四邊形ABCD____(填“是”或“不是”)菱形.3.四邊形ABCD是平行四邊形，請(qǐng)補(bǔ)充一個(gè)條件：________，使它是菱形.

是AB=BC4.如圖所示，下列條件中能說(shuō)明四邊形ABCD是菱形的有（）①BD⊥AC②OA=OC，OB=OD，AB=BC③AC=BD④AB=BC，AB∥CDA.① B.①② C.② D.③④ABCDOC5.如圖，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于點(diǎn)C，BO平分∠ABC，且交AE于點(diǎn)D，連接CD，求證：四邊形ABCD是菱形.證明：∵AE∥BF，∴∠EAC=∠ACB.又∵AC平分∠BAD，∴∠ACB=∠BAC=∠EAC,∴AB=BC.同理