2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料(七年級(jí)用)

PAGE第62頁(yè)（共63頁(yè)）2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料第一講數(shù)的整除一、內(nèi)容提要：如果整數(shù)A除以整數(shù)B(B≠0)所得的商A/B是整數(shù),那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整數(shù)整除.一些數(shù)的整除特征除數(shù)能被整除的數(shù)的特征2或5末位數(shù)能被2或5整除4或25末兩位數(shù)能被4或25整除8或125末三位數(shù)能被8或125整除3或9各位上的數(shù)字和被3或9整除(如771，54324)11奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13從右向左每三位為一段,奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)和相減,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的數(shù)的特征：①抹去個(gè)位數(shù)②減去原個(gè)位數(shù)的2倍③其差能被7整除。如1001100－2＝98（能被7整除）又如7007700－14＝686，68－12＝56（能被7整除）能被11整除的數(shù)的特征：①抹去個(gè)位數(shù)②減去原個(gè)位數(shù)③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又如102851028－5＝1023102－3＝99（能11整除）二、例題例1已知兩個(gè)三位數(shù)328和的和仍是三位數(shù)且能被9整除。求x,y解：x,y都是0到9的整數(shù)，∵能被9整除，∴y=6.∵328＋＝567，∴x=3例2已知五位數(shù)能被12整除，求解：∵五位數(shù)能被12整除，必然同時(shí)能被3和4整除，當(dāng)1＋2＋3＋4＋能被3整除時(shí)，x=2，5，8當(dāng)末兩位能被4整除時(shí)，＝0，4，8∴＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只調(diào)整末位數(shù)仍不行調(diào)整末兩位數(shù)為30，41，52，63，均可，∴五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263。練習(xí)一1、分解質(zhì)因數(shù)：（寫(xiě)成質(zhì)因數(shù)為底的冪的連乘積）①756②1859③1287④3276⑤10101⑥102962、若四位數(shù)能被3整除，那么a=_______________3、若五位數(shù)能被11整除，那么＝__________4、當(dāng)m=_________時(shí)，能被25整除5、當(dāng)n=__________時(shí)，能被7整除6、能被11整除的最小五位數(shù)是________,最大五位數(shù)是_________7、能被4整除的最大四位數(shù)是____________，能被8整除的最大四位數(shù)是_________。8、8個(gè)數(shù)：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各數(shù)整除的有（填上編號(hào)）：6________,8__________,9_________,11__________9、從1到100這100個(gè)自然數(shù)中，能同時(shí)被2和3整除的共_____個(gè)，能被3整除但不是5的倍數(shù)的共______個(gè)。10、由1，2，3，4，5這五個(gè)自然數(shù)，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3整除的數(shù)共有幾個(gè)？為什么？11、已知五位數(shù)能被15整除，試求A的值。12、求能被9整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。13、在十進(jìn)制中，各位數(shù)碼是0或1，并能被225整除的最小正整數(shù)是______（1989年全國(guó)初中聯(lián)賽題）第二講倍數(shù)約數(shù)一、內(nèi)容提要1、兩個(gè)整數(shù)A和B（B≠0），如果B能整除A（記作B｜A），那么A叫做B的倍數(shù)，B叫做A的約數(shù)。例如3｜15，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。2、因?yàn)?除以非0的任何數(shù)都得0，所以0被非0整數(shù)整除。0是任何非0整數(shù)的倍數(shù)，非0整數(shù)都是0的約數(shù)。如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。3、整數(shù)A（A≠0）的倍數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，并且以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，0，±A，±2A，……都是A的倍數(shù)，例如5的倍數(shù)有±5，±10，……。4、整數(shù)A（A≠0）的約數(shù)是有限個(gè)的，并且也是以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)的，其中必包括±1和±A。例如6的約數(shù)是±1，±2，±3，±6。5、通常我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最犬的公約數(shù)。6、公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)（例如15與28互質(zhì)）。7、在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)＝除數(shù)×商數(shù)＋余數(shù)。若用字母表示可記作：A＝BQ＋R，當(dāng)A，B，Q，R都是整數(shù)且B≠0時(shí)，A－R能被B整除。例如23＝3×7＋2，則23－2能被3整除。二、例題例1寫(xiě)出下列各正整數(shù)的正約數(shù)，并統(tǒng)計(jì)其個(gè)數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以應(yīng)用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32。解：列表如下正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)正整數(shù)正約數(shù)個(gè)數(shù)計(jì)21，2231，322×31，2，3，64221，2，43321，3，32322×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，369241，2，4，8，165341，3，32，33，345其規(guī)律是：設(shè)A＝ambn(a，b是質(zhì)數(shù),m，n是正整數(shù))，那么合數(shù)A的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是（m+1）(n+1)例如求360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)解：分解質(zhì)因數(shù)：360＝23×32×5，360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（個(gè)）例2用分解質(zhì)因數(shù)的方法求24，90最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公約數(shù)是2×3，記作（24，90）＝6最小公倍數(shù)是23×32×5＝360，記作[24,90]=360例3已知32，44除以正整數(shù)N有相同的余數(shù)2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公約數(shù)∵（30，42）＝6，而6的正約數(shù)有1，2，3，6經(jīng)檢驗(yàn)1和2不合題意，∴N＝6，3例4一個(gè)數(shù)被10余9，被9除余8，被8除余7，求適合條件的最小正整數(shù)分析：依題意如果所求的數(shù)加上1，則能同時(shí)被10，9，8整除,所以所求的數(shù)是10，9，8的最小公倍數(shù)減去1。解：∵[10,9,8]=360,∴所以所求的數(shù)是359練習(xí)二1、12的正約數(shù)有_________,16的所有約數(shù)是_________________2、分解質(zhì)因數(shù)300＝_________,300的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是_________3、用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20和250的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。4、一個(gè)三位數(shù)能被7，9，11整除，這個(gè)三位數(shù)是_________5、能同時(shí)被3，5，11整除的最小四位數(shù)是_______，最大三位數(shù)是________6、已知14和23各除以正整數(shù)A有相同的余數(shù)2，則A＝________7、寫(xiě)出能被2整除，且有約數(shù)5，又是3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。8、一個(gè)長(zhǎng)方形的房間長(zhǎng)1.35丈，寬1.05丈，要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問(wèn)正方形最大邊長(zhǎng)可以是幾寸？若用整數(shù)寸作為邊長(zhǎng)，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？9、一條長(zhǎng)階梯，如果每步跨2階，那么最后剩1階；如果每步跨3階，那么最后剩2階；如果每步跨4階，那么最后剩3階；如果每步跨5階，那么最后剩4階；如果每步跨6階，那么最后剩5階；只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？第三講質(zhì)數(shù)合數(shù)一、內(nèi)容提要1、正整數(shù)的一種分類：質(zhì)數(shù)的定義：如果一個(gè)大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個(gè)正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（質(zhì)數(shù)也稱素?cái)?shù)）。合數(shù)的定義：一個(gè)正整數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做合數(shù)。根椐質(zhì)數(shù)定義可知質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個(gè)正約數(shù)。質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2。如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)，那么其中必有一個(gè)是2；如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)，那么其中也必有一個(gè)是2。3、任何合數(shù)都可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積。能寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。二、例題例1兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a(a≥5)，求這兩個(gè)數(shù)。解：∵兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)∴必有一個(gè)是2所求的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和a－2。例2已知兩個(gè)整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m,求這兩個(gè)數(shù)。解：∵質(zhì)數(shù)m只含兩個(gè)正約數(shù)1和m,又∵（－1）（－m）=m∴所求的兩個(gè)整數(shù)是1和m或者－1和－m.例3已知三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于30，求適合條件的a,b,c的值。解：分解質(zhì)因數(shù)：30＝2×3×5適合條件的值共有：，，，，，應(yīng)注意上述六組值的書(shū)寫(xiě)排列順序，本題如果改為4個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c,d它們的積等于210,即abcd=2×3×5×7，那么適合條件的a，b，c，d值共有24組，試把它寫(xiě)出來(lái)。例4試寫(xiě)出4個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。解：（本題答案不是唯一的）設(shè)N是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積，即N＝2×3×5那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是適合條件的四個(gè)合數(shù)即32，33，34，35就是所求的一組數(shù)。本題可推廣到n個(gè)。令N等于不大于n+1的所有質(zhì)數(shù)的積，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋（n+1）就是所求的合數(shù)。練習(xí)三1、小于100的質(zhì)數(shù)共___個(gè)，它們是__________________________________2、已知質(zhì)數(shù)P與奇數(shù)Q的和是11，則P＝_______，Q＝_______3、已知兩個(gè)素?cái)?shù)的差是41，那么它們分別是______________4、如果兩個(gè)自然數(shù)的積等于19，那么這兩個(gè)數(shù)是______________；如果兩個(gè)整數(shù)的積等于73，那么它們是______________；如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積等于15，則它們是______________。5、兩個(gè)質(zhì)數(shù)x和y，已知xy=91,那么x=_______,y=_______,或x=_______,y=_______.6、三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于1990，那么7、能整除311＋513的最小質(zhì)數(shù)是_______8、已知兩個(gè)質(zhì)數(shù)A和B適合等式A＋B＝99，AB＝M，求M及＋的值。9、試寫(xiě)出6個(gè)連續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。10、具備什么條件的最簡(jiǎn)正分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)？11、求適合下列三個(gè)條件的最小整數(shù)：大于1②沒(méi)有小于10的質(zhì)因數(shù)③不是質(zhì)數(shù)12、某質(zhì)數(shù)加上6或減去6都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個(gè)質(zhì)數(shù)均在30到50之間，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是_______13、一個(gè)質(zhì)數(shù)加上10或減去14都仍是質(zhì)數(shù)，這個(gè)質(zhì)數(shù)是_______。第四講零的特性一、內(nèi)容提要（一）零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是介于正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的唯一中性數(shù)。零是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)。1、零是表示具有相反意義的量的基準(zhǔn)數(shù)。例如：海拔0米的地方表示它與基準(zhǔn)的海平面一樣高收支平衡可記作結(jié)存0元。2、零是判定正、負(fù)數(shù)的界限。若a＞0則a是正數(shù)，反過(guò)來(lái)也成立，若a是正數(shù)，則a＞0記作a＞0a是正數(shù)讀作a＞0等價(jià)于a是正數(shù)b<0b是負(fù)數(shù)c≥0c是非負(fù)數(shù)（即c不是負(fù)數(shù)，而是正數(shù)或0）d0d是非正數(shù)(即d不是正數(shù)，而是負(fù)數(shù)或0)e0e不是0（即e不是0，而是負(fù)數(shù)或正數(shù)）3、在一切非負(fù)數(shù)中有一個(gè)最小值是0。例如絕對(duì)值、平方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，它們的最小值都是0。記作：|a|≥0，當(dāng)a=0時(shí)，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（當(dāng)a=0時(shí)）。4、在一切非正數(shù)中有一個(gè)最大值是0。例如－||≤0，當(dāng)＝0時(shí)，－||值最大，是0（∵≠0時(shí)都是負(fù)數(shù)）。0，當(dāng)＝2時(shí)，的值最大，是0。（二）零具有獨(dú)特的運(yùn)算性質(zhì)1、乘方：零的正整數(shù)次冪都是零。2、除法：零除以任何不等于零的數(shù)都得零；零不能作除數(shù)。從而推出，0沒(méi)有倒數(shù)，分?jǐn)?shù)的分母不能是0。3、乘法：零乘以任何數(shù)都得零。即a×0＝0，反過(guò)來(lái)，如果ab=0,那么a、b中至少有一個(gè)是0。要使等式xy=0成立,必須且只需x=0或y=0。4、加法：互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零。反過(guò)來(lái)也成立。即a、b互為相反數(shù)a+b=05、減法：兩個(gè)數(shù)a和b的大小關(guān)系可以用它們的差的正負(fù)來(lái)判定，若a-b=0,則a=b；若a-b＞0,則a＞b；若a-b＜0,則a＜b。反過(guò)來(lái)也成立，當(dāng)a=b時(shí)，a-b=0；當(dāng)a>b時(shí),a-b>0；當(dāng)a<b時(shí),a-b<0.（三）在近似數(shù)中，當(dāng)0作為有效數(shù)字時(shí)，它表示不同的精確度。例如近似數(shù)1.6米與1.60米不同，前者表示精確到0.1米（即1分米）,誤差不超過(guò)5厘米；后者表示精確到0.01米（即1厘米），誤差不超過(guò)5毫米?？捎貌坏仁奖硎酒渲捣秶缦拢?.55近似數(shù)1.6<1.651.595≤近似數(shù)1.60<1605二、例題例1．兩個(gè)數(shù)相除，什么情況下商是1？是－1？答：兩個(gè)數(shù)相等且不是0時(shí)，相除商是1；兩數(shù)互為相反數(shù)且不是0時(shí)，相除商是－1。例2．絕對(duì)值小于3的數(shù)有幾個(gè)？它們的和是多少？為什么？答：絕對(duì)值小于3的數(shù)有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的和是0。因?yàn)榻^對(duì)值小于3的數(shù)包括大于－3并且小于3的所有數(shù)，它們都以互為相反數(shù)成對(duì)出現(xiàn)，而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零。例3．要使下列等式成立、應(yīng)取什么值？為什么？①（－1）＝0，②｜－3｜＋（＋2）2＝0答：①根據(jù)任何數(shù)乘以0都得0，可知當(dāng)＝0時(shí)，可取任何數(shù)；當(dāng)＝1時(shí)，取任何數(shù)等式（－1）＝0都是能成立。②∵互為相反數(shù)相加得零，而｜－3｜≥0，（＋2）2≥0，∴它們都必須是0，即－3＝0且＋2＝0，故當(dāng)＝3且＝－2時(shí)，等式｜－3｜＋（＋2）2＝0成立。練習(xí)四1、有理數(shù)a和b的大小如數(shù)軸所示:比較下列左邊各數(shù)與0的大?。ㄓ茫尽ⅲ?、＝號(hào)連接）2a_______0,－3b_______0,_______0,－_______0，－a2_______0,－b3_______0,a+b_______0,a－b_______0,ab_______0,(－2b)3_______0,_______0,_______02、a表示有理數(shù)，下列四個(gè)式子，正確個(gè)數(shù)是幾個(gè)？答：_______個(gè)。>a,a2>－a2,a>－a,a+1>a3、x表示一切有理數(shù)，下面四句話中正確的共幾句？答：_______句。①（x－2）2有最小值0，③－｜x+3|有最大值0，2－x2有最大值2，④3＋｜x－1｜有最小值3。4、絕對(duì)值小于5的有理數(shù)有幾個(gè)？它們的積等于多少？為什么？5、要使下列等式成立，字母、應(yīng)取什么值？①＝0，②＝0，③＋＝06、下列說(shuō)法正確嗎？為什么？①a的倒數(shù)是②方程（a－1）＝3的解是＝n表示一切自然數(shù)，2n－1表示所有的正奇數(shù)如果a>b,那么m2a>m2b(a、b、m都是有理數(shù))7、取什么值時(shí)，下列代數(shù)式的值是正數(shù)？①（－1）②（＋1）（＋2）第五講an的個(gè)位數(shù)一、內(nèi)容提要1.整數(shù)a的正整數(shù)次冪an,它的個(gè)位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次冪的個(gè)位數(shù)字相同。例如20023與23的個(gè)位數(shù)字都是8。2.0，1，5，6，的任何正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字都是它們本身。例如57的個(gè)位數(shù)是5，620的個(gè)位數(shù)是6。2，3，7的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律見(jiàn)下表：指數(shù)12345678910……底數(shù)22486248624……33971397139……77931793179……其規(guī)律是：2的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)是按2、4、8、6四個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，即24k+1與21，24k＋2與22，24k＋3與23，24k＋4與24的個(gè)位數(shù)是相同的（K是正整數(shù)）。3和7也有類似的性質(zhì)。4.4，8，9的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用4＝22，8＝23，9＝32轉(zhuǎn)化為以2、3為底的冪。5.綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次冪的個(gè)位數(shù)有如下的一般規(guī)律：a4k＋m與am的個(gè)位數(shù)相同(k,m都是正整數(shù))。二、例題20032003的個(gè)位數(shù)是多少？解：20032003與32003的個(gè)位數(shù)是相同的，∵2003＝4×500＋3，∴32003與33的個(gè)位數(shù)是相同的，都是7，∴2003的個(gè)位數(shù)是7。試說(shuō)明632000＋1472002的和能被10整除的理由解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2∴632000與34的個(gè)位數(shù)相同都是1，1472002與72的個(gè)位數(shù)相同都是9，∴632000＋1472002的和個(gè)位數(shù)是0，∴632000＋1472002的和能被10整除。k取什么正整數(shù)值時(shí)，3k＋2k是5的倍數(shù)？解：列表觀察個(gè)位數(shù)的規(guī)律k＝1234……3的個(gè)位數(shù)3971……2的個(gè)位數(shù)2486……3k＋2k的個(gè)位數(shù)55……從表中可知，當(dāng)k＝1，3時(shí)，3k＋2k的個(gè)位數(shù)是5，∵am與a4n+m的個(gè)位數(shù)相同（m,n都是正整數(shù)，a是整數(shù)）;∴當(dāng)k為任何奇數(shù)時(shí)，3k＋2k是5的倍數(shù)。練習(xí)五1、在括號(hào)里填寫(xiě)各冪的個(gè)位數(shù)（k是正整數(shù)）220的個(gè)位數(shù)是（）45的個(gè)位數(shù)是（）330的個(gè)位數(shù)是（）87的個(gè)位數(shù)是（）74K+1的個(gè)位數(shù)是（）311＋79的個(gè)位數(shù)是（）216×314的個(gè)位數(shù)是（）32k-1＋72k-1的個(gè)位數(shù)是（）72k－32k的個(gè)位數(shù)是（）74k-1－64k-3的個(gè)位數(shù)是（）7710×3315×2220×5525的個(gè)位數(shù)是（）2、目前知道的最大素?cái)?shù)是2216091－1，它的個(gè)位數(shù)是_______。3、說(shuō)明如下兩個(gè)數(shù)都能被10整除的理由。①5353－3333②19871989－199319914、正整數(shù)m取什么值時(shí)，3m＋1是10的倍數(shù)？5、設(shè)n是正整數(shù)，試說(shuō)明2n＋7n+2能被5整除的理由。6、若a4的個(gè)位數(shù)是5，那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_______若a4的個(gè)位數(shù)是1，那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_______若a4的個(gè)位數(shù)是6，那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_______若a2k-1的個(gè)位數(shù)是7，那么整數(shù)a的個(gè)位數(shù)是_______7、12+22+32+……+92的個(gè)位數(shù)是_______，12+22+32+……+192的個(gè)位數(shù)是_______，12+22+32+……+292的個(gè)位數(shù)是_______。8、a,b,c是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，a2=14884,c2=15376,那么b2是（）（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321第六講數(shù)學(xué)符號(hào)一、內(nèi)容提要數(shù)學(xué)符號(hào)是表達(dá)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的特殊文字。每一個(gè)符號(hào)都有確定的意義，即當(dāng)我們把它規(guī)定為某種意義后，就不再表示其他意義。數(shù)學(xué)符號(hào)一般可分為：1、元素符號(hào)：通常用小寫(xiě)字母表示數(shù)，用大寫(xiě)字母表示點(diǎn)，用⊙和△表示圓和三角形等。2、關(guān)系符號(hào)：如等號(hào)，不等號(hào)，相似∽，全等≌，平行∥，垂直⊥等。3、運(yùn)算符號(hào)：如加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方、絕對(duì)值等。4、邏輯符號(hào)：略5、約定符號(hào)和輔助符號(hào)：例如我們約定正整數(shù)a和b中，如果a除以b的商的整數(shù)部分記作Z（），而它的余數(shù)記作R（），那么Z（）＝3，R（）＝1；又如設(shè)表示不大于x的最大整數(shù)，那么＝5，＝－6，＝0，＝－3。正確使用符號(hào)的關(guān)健是明確它所表示的意義（即定義）對(duì)題設(shè)中臨時(shí)約定的符號(hào)，一定要扣緊定義，由簡(jiǎn)到繁，由淺入深，由具體到抽象，逐步加深理解。在解題過(guò)程中為了簡(jiǎn)明表述，需要臨時(shí)引用輔助符號(hào)時(shí)，必須先作出明確的定義，所用符號(hào)不要與常規(guī)符號(hào)混淆。二、例題例1設(shè)表示不大于Z的最大整數(shù)，＜n＞為正整數(shù)n除以3的余數(shù)計(jì)算：①＋－〈13〉＋〈2004〉②〈〉＋解：①原式＝4＋（－3）－1＋0＝0②原式＝＜14＞＋＝2＋0＝2例2①求19871988的個(gè)位數(shù)②說(shuō)明19871989－19931991能被10整除的理由解：設(shè)N（x）表示整數(shù)x的個(gè)位數(shù)N（19871988）＝N（74×497）＝N（74）＝1②∵N（19871989）－N（19931991）＝N（74×497＋1）－N（34×497＋3）＝N（71）－N（33）＝7－7＝0∴19871989－19931991能被10整除由于引入輔助符號(hào)，解答問(wèn)題顯得簡(jiǎn)要明了。例3.定義一種符號(hào)★的運(yùn)算規(guī)則為：a★b=2a+b試計(jì)算：①5★3②（1★7）★4解：①5★3＝2×5＋3＝13②（1★7）★4＝（2×1＋7）★4＝9★4＝2×9＋4＝22設(shè)a※b=a(ab+7),求等式3※x=2※(-8)中的x解：由題設(shè)可知：等式3※x=2※(-8)就是3（3x＋7）＝2〔2×（－8）＋7〕∴9x+21=－18 ∴x=－4練習(xí)六設(shè)Q＜x>表示有理數(shù)x的整數(shù)部分，那么Q＜2.15＞＝_______，Q＜－12.3＞=_______，Q<－0.03＞＝_______，Q＜＞＝_______。2、設(shè)｛n｝表示不小于n的最小整數(shù)，那么｛4.3｝＝_______，｛－2.3｝＝_______，｛－2｝＝_______，｛－0.3｝＋｛0.3｝＝_______。3、設(shè)表示不大于m的最大整數(shù)①若m=2，則=_______②若n=－3.5，則=_______③若－1＜＜0，則＝_______④若7≤b<8，則＝_______⑤若=4，則_____≤x＜______⑥若n≤C<n＋1則＝_______4、正整數(shù)a和b中，設(shè)a除以b的商的整數(shù)部分記作Z（）余數(shù)記作R（），ab的個(gè)位數(shù)記作n（ab）,寫(xiě)出下列各數(shù)的結(jié)果：①R（）＋R（）＝_______②Z（）＋Z（）＝_______③n(19891990)=_______5、設(shè)n！表示自然數(shù)由1到n的連乘積，例如5?。?×2×3×4×5＝120計(jì)算：①120÷3!②6、設(shè)==a1b2－a2b1，計(jì)算：①；②7、定義一種符號(hào)＃的運(yùn)算法則為a＃b=，那么3＃2＝_______②2＃3＝_______③（1＃2）＃3＝_______④（－3）＃（1＃0）＝_______8、a,b都是正整數(shù)，設(shè)ab表示從a起b個(gè)連續(xù)正整數(shù)的和。例如23＝2＋3＋4，54＝5＋6＋7＋8已知5＝2005，求9、設(shè)［x］表示不大于x數(shù)的最大整數(shù)且＝x－［x］，求10、設(shè)［a］表示不大于數(shù)a的最大整數(shù)，例如［］＝1，［－］＝－2，那么［3x+1］＝2x-的所有的根的和是_______（1987年全國(guó)初中聯(lián)賽題）第七講用字母表示數(shù)內(nèi)容提要和例題1、用字母表示數(shù)最明顯的好處是能把數(shù)量間的關(guān)系簡(jiǎn)明而普遍地表達(dá)出來(lái)，從具體的數(shù)字計(jì)算到用抽象的字母概括運(yùn)算規(guī)律上，是一種飛躍。2、用字母表示數(shù)時(shí)，字母所取的值，應(yīng)使代數(shù)式有意義，并使它所表示的實(shí)際問(wèn)題有意義。例如①寫(xiě)出數(shù)a的倒數(shù)②用字母表示一切偶數(shù)解：①當(dāng)a≠0時(shí)，a的倒數(shù)是②設(shè)n為整數(shù)，2n可表示所有偶數(shù)。3、命題中的字母，一般要注明取值范圍，在沒(méi)有說(shuō)明的情況下，它表示所學(xué)過(guò)的數(shù)，并且能使題設(shè)有意義。例題①化簡(jiǎn)：⑴｜x－3｜（x<3）⑵|x+5|解：⑴∵x<3,∴x－3<0，∴｜x－3｜＝－（x－3）＝－x＋3⑵當(dāng)x≥－5時(shí)，｜x＋5｜＝x＋5，當(dāng)x<－5時(shí)，｜x＋5｜＝－x－5（本題x表示所有學(xué)過(guò)的數(shù)）已知十位上的數(shù)是a,個(gè)位數(shù)是b,試寫(xiě)出這個(gè)兩位數(shù)解：這個(gè)兩位數(shù)是10a+b(本題字母a、b的取值是默認(rèn)題設(shè)有意義,即a表示1到9的整數(shù)，b表示0到9的整數(shù))4、用字母等式表示運(yùn)算定律、性質(zhì)、法則、公式時(shí)，一般左邊作為題設(shè)，所用的字母是使左邊代數(shù)式有意義的，所以只對(duì)變形到右邊所增加的字母的取值加以說(shuō)明。例如用字母表示：①分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)②分?jǐn)?shù)除法法則解：①分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是(m≠0)，(m≠0)a作為左邊的分母不另說(shuō)明a≠0；②(d≠0)d在左邊是分子到了右邊變分母，故另加說(shuō)明。5、用字母等式表示運(yùn)算定律、性質(zhì)、法則、公式，不僅可從左到右順用，還可從右到左逆用；公式可以變形，變形時(shí)字母取值范圍有變化時(shí)應(yīng)加說(shuō)明。例如：乘法分配律，順用a(b+c)=ab+ac,2=逆用5a+5b=5(a+b),6.25×3.14－5.25×3.14=3.14(6.25－5.25)=3.14路程S=速度V×?xí)r間T，V=(T≠0)，T=(V≠0)6、用因果關(guān)系表示的性質(zhì)、法則，一般不能逆用。例如：加法的符號(hào)法則如果a>0，b>0，那么a+b>0，不可逆絕對(duì)值性質(zhì)如果a>0,那么|a|=a，也不可逆(若|a|=a則a≥0)7、有規(guī)律的計(jì)算，?？捎米帜副硎酒浣Y(jié)果，或概括成公式。例1：正整數(shù)中不同的五位數(shù)共有幾個(gè)？不同的n位數(shù)呢？解：不同的五位數(shù)可從最大五位數(shù)99999減去最小五位數(shù)10000前的所有正整數(shù)，即99999-9999=90000.推廣到n位正整數(shù)，則要觀察其規(guī)律一位正整數(shù),從1到9共9個(gè)，記作9×1二位正整數(shù)從10到99共90個(gè)，記作9×10三位正整數(shù)從100到999共900個(gè)，記作9×102四位正整數(shù)從1000到9999共9000個(gè)，記作9×103(指數(shù)3=4-1)…………∴n位正整數(shù)共9×10n-1個(gè)例2在線段AB上加了3個(gè)點(diǎn)C、D、E后，圖中共有幾條線段？加n點(diǎn)呢？解：以A為一端的線段有：AC、AD、AE、AB共4條以C為一端的線段有：(除CA外)CD、CE、CB共3條以D為一端的線段有：(除DC、DA外)DE、DB共2條以E為一端的線段有：(除ED、EC、EA外)EB共1條共有線段1+2+3+4=10(條)注意：3個(gè)點(diǎn)時(shí)，是從1加到4，因此如果是n個(gè)點(diǎn)，則共有線段1+2+3+……+n+1==條練習(xí)七1、右邊代數(shù)式中的字母應(yīng)取什么值？①②S正方形=a2③3的倍數(shù)3n2、用字母表示：①一切奇數(shù)；②所有正偶數(shù)；③一個(gè)三位數(shù)；④n個(gè)a相乘的結(jié)果；⑤負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。3、寫(xiě)出：⑴從1開(kāi)始，n個(gè)自然數(shù)的和是______________________⑵從11開(kāi)始到2n+1連續(xù)奇數(shù)的和(n>5)是__________⑶m個(gè)球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽所需場(chǎng)數(shù)是_________________4、已知999=103－1,9999=104－1,那么各位數(shù)都是9的n位數(shù)=_____5、計(jì)算112=_____，1112=_____，=____________________6、寫(xiě)出圖中所有三角形并計(jì)算其個(gè)數(shù)，如果線段上有個(gè)點(diǎn)呢？第八講抽屜原則一、內(nèi)容提要1、4個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)3個(gè)抽屜，有一種必然的結(jié)果：至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋(píng)果不少于2個(gè)（即等于或多于2個(gè)）；如果7個(gè)蘋(píng)果放進(jìn)3個(gè)抽屜，那么至少有一個(gè)抽屜放進(jìn)的蘋(píng)果不少于3個(gè)（即等于或多于3個(gè)），這就是抽屜原則的例子。2、如果用表示不小于的最小整數(shù)，例如＝3，。那么抽屜原則可定義為：m個(gè)元素分成n個(gè)集合（m、n為正整數(shù)m>n）,則至少有一個(gè)集合里元素不少于個(gè)。3、根據(jù)的定義，已知m、n可求；己知，則可求的范圍，例如已知＝3，那么2＜≤3；已知＝2，則1＜≤2，即3＜x≤6，x有最小整數(shù)值4。二、例題例1某校有學(xué)生2000人，問(wèn)至少有幾個(gè)學(xué)生生日是同一天？分析：我們把2000名學(xué)生看作是蘋(píng)果，一年365天（閏年366天）看作是抽屜，即把m（2000）個(gè)元素，分成n(366)個(gè)集合，至少有一個(gè)集合的元素不少于個(gè)解：∵5∴＝6答：至少有6名學(xué)生的生日是同一天例2從1到10這十個(gè)自然數(shù)中，任意取出6個(gè)數(shù)，其中至少有兩個(gè)是倍數(shù)關(guān)系，試說(shuō)明這是為什么。解：我們把1到10的奇數(shù)及它們的倍數(shù)放在同一集合里，則可分為5個(gè)集合，它們是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝?！咭?個(gè)集合里取出6個(gè)數(shù)，∴至少有兩個(gè)是在同一集合，而在同一集合里的任意兩個(gè)數(shù)都是倍數(shù)關(guān)系。（本題的關(guān)鍵是劃分集合，想一想為什么9不能放在3和6的集合里）。例3袋子中有黃、紅、黑、白四種顏色的小球各6個(gè),請(qǐng)你從袋中取出一些球，要求至少有3個(gè)顏色相同，那么至少應(yīng)取出幾個(gè)才有保證。分析：我們可把4種球看成4個(gè)抽屜（4個(gè)集合），至少有3個(gè)球同顏色，看成是至少有一個(gè)抽屜不少于3個(gè)（有一個(gè)集合元素不少于3個(gè)）。解：設(shè)至少應(yīng)取出x個(gè)，用｛｝表示不小于的最小整數(shù)，那么｛｝＝3，∴2＜≤3，即8＜x≤12，最小整數(shù)值是9。答：至少要取出9個(gè)球，才能確保有三個(gè)同顏色。例4等邊三角形邊長(zhǎng)為2，在這三角形內(nèi)部放入5個(gè)點(diǎn)，至少有2個(gè)點(diǎn)它們的距離小于1，試說(shuō)明理由。解：取等邊三角形各邊中點(diǎn)，并連成四個(gè)小三角形，（如圖）它們邊長(zhǎng)等于1，∵5個(gè)點(diǎn)放入4個(gè)三角形，∴至少有2個(gè)點(diǎn)放在同一個(gè)三角形內(nèi)，而同一個(gè)三角形內(nèi)的2個(gè)點(diǎn)之間的距離必小于邊長(zhǎng)1。練習(xí)八1、初一年新生從全縣17個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)招收50名，則至少有_____人來(lái)自同一個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)。2、任取30個(gè)正整數(shù)分別除以7，那么它們的余數(shù)至少有_____個(gè)是相同的。3、在2003m中，指數(shù)m任意取10個(gè)正整數(shù)，那么這10個(gè)冪的個(gè)位數(shù)中相同的至少有_____個(gè).4、暗室里放有四種不同規(guī)格的祙子各30只，為確保取出的祙子至少有1雙（2只同規(guī)格為1雙），那么至少要取幾只？若要確保10雙呢？5、袋子里有黑、白球各一個(gè)，紅、藍(lán)、黃球各6個(gè)，請(qǐng)你拿出一些球，要確保至少有4個(gè)同顏色，那么最少要取幾個(gè)？6、任意取11個(gè)正整數(shù)，至少有兩個(gè)它們的差能被10整除，這是為什么？7、右圖有3行9列的方格，若用紅、藍(lán)兩種顏色涂上，則至少有2列的涂色方式是一樣的，試說(shuō)明這是為什么。8、任意取3個(gè)正整數(shù)，其中必有兩個(gè)數(shù)它們的平均數(shù)也是正整數(shù)。試說(shuō)明理由。9、90粒糖果分給13個(gè)小孩，每人至少分1粒，不管怎樣分，總有兩人分得同樣多，這是為什么？10、11個(gè)互不相同的正整數(shù)，它們都小于20，那么一定有兩個(gè)是互質(zhì)數(shù)。（最大公約數(shù)是1的兩個(gè)正整數(shù)叫互質(zhì)數(shù)）11、任意6個(gè)人中，或者有3個(gè)人他們之間都互相認(rèn)識(shí)，或者有3個(gè)人他們之間都互不相識(shí)，兩者必居其一，這是為什么？第九講一元一次方程解的討論一、內(nèi)容提要1、方程的解的定義：能使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x＋6＝0，x（x-1）=0,|x|=6,0x=0,0x=2的解分別是x=－3,x=0或x=1,x=±6,所有的數(shù)，無(wú)解。2、關(guān)于x的一元一次方程的解（根）的情況：化為最簡(jiǎn)方程ax=b后，討論它的解：當(dāng)a≠0時(shí)，有唯一的解x=；當(dāng)a=0且b≠0時(shí)，無(wú)解；當(dāng)a=0且b＝0時(shí)，有無(wú)數(shù)多解。（∵不論x取什么值，0x＝0都成立）3、求方程ax=b(a≠0)的整數(shù)解、正整數(shù)解、正數(shù)解當(dāng)a｜b時(shí)，方程有整數(shù)解；當(dāng)a｜b，且a、b同號(hào)時(shí)，方程有正整數(shù)解；當(dāng)a、b同號(hào)時(shí)，方程的解是正數(shù)。綜上所述，討論一元一次方程的解，一般應(yīng)先化為最簡(jiǎn)方程ax=b二、例題例1a取什么值時(shí)，方程a(a－2)x=4(a－2)①有唯一的解？②無(wú)解？③有無(wú)數(shù)多解？④是正數(shù)解？解：①當(dāng)a≠0且a≠2時(shí)，方程有唯一的解，x=②當(dāng)a=0時(shí)，原方程就是0x=－8，無(wú)解；③當(dāng)a=2時(shí)，原方程就是0x=0有無(wú)數(shù)多解④由①可知當(dāng)a≠0且a≠2時(shí)，方程的解是x=,∴只要a與4同號(hào)，即當(dāng)a>0且a≠2時(shí)，方程的解是正數(shù)。例2k取什么整數(shù)值時(shí)，方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整數(shù)？②（1－x）k=6的解是負(fù)整數(shù)？解：①化為最簡(jiǎn)方程（k＋2）x=4當(dāng)k+2能整除4，即k+2=±1，±2，±4時(shí)，方程的解是整數(shù)∴k=－1，－3，0，－4，2，－6時(shí)方程的解是整數(shù)。②化為最簡(jiǎn)方程kx=k－6，當(dāng)k≠0時(shí)x==1－，只要k能整除6,即k=±1，±2，±3，±6時(shí)，x就是整數(shù)當(dāng)k=1,2,3時(shí)，方程的解是負(fù)整數(shù)－5，－2，－1。例3已知方程a(x－2)=b(x+1)－2a無(wú)解。問(wèn)a和b應(yīng)滿足什么關(guān)系？解：原方程化為最簡(jiǎn)方程：(a－b)x=b∵方程無(wú)解，∴a－b=0且b≠0∴a和b應(yīng)滿足的關(guān)系是a=b≠0。例4a、b取什么值時(shí)，方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有無(wú)數(shù)多解？解：原方程化為最簡(jiǎn)方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7，根據(jù)0x＝0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)多解，可知當(dāng)時(shí)，原方程有無(wú)數(shù)多解。解這個(gè)方程組得答：當(dāng)a=2且b=1時(shí)，原方程有無(wú)數(shù)多解。練習(xí)九1、根據(jù)方程的解的定義，寫(xiě)出下列方程的解：=1\*GB3①(x+1)=0,②x2=9,③|x|=9，④|x|=－3,⑤3x+1=3x－1,⑥x+2=2+x2、關(guān)于x的方程ax=x+2無(wú)解，那么a__________3、在方程a(a－3)x=a中，當(dāng)a取值為_(kāi)_______時(shí)，有唯一的解；當(dāng)a________時(shí)無(wú)解；當(dāng)a________時(shí),有無(wú)數(shù)多解；當(dāng)a________時(shí),解是負(fù)數(shù)。4、k取什么整數(shù)值時(shí)，下列等式中的x是整數(shù)？x=②x=③x=④x=5、k取什么值時(shí)，方程x－k=6x的解是①正數(shù)？②是非負(fù)數(shù)？6、m取什么值時(shí)，方程3（m+x）=2m－1的解①是零？②是正數(shù)？7、已知方程的根是正數(shù)，那么a、b應(yīng)滿足什么關(guān)系？8、m取什么整數(shù)值時(shí)，方程的解是整數(shù)?9、已知方程有無(wú)數(shù)多解，求a、b的值。第十講二元一次方程的整數(shù)解一、內(nèi)容提要1、二元一次方程整數(shù)解存在的條件：在整系數(shù)方程ax+by=c中，若a,b的最大公約數(shù)能整除c,則方程有整數(shù)解。即如果（a,b）|c則方程ax+by=c有整數(shù)解顯然a,b互質(zhì)時(shí)一定有整數(shù)解。例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6都有整數(shù)解。反過(guò)來(lái)也成立，方程9x+3y=10和4x-2y=1都沒(méi)有整數(shù)解，∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。一般我們?cè)谡麛?shù)集合里研究公約數(shù)，（a,b）中的a,b實(shí)為它們的絕對(duì)值。2、二元一次方程整數(shù)解的求法：若方程ax+by=c有整數(shù)解，一般都有無(wú)數(shù)多個(gè)，常引入整數(shù)k來(lái)表示它的通解（即所有的解）。k叫做參變數(shù)。方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整數(shù)解解：x==(1),設(shè)是整數(shù)），則y=1-5k(2),把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2∴原方程所有的整數(shù)解是（k是整數(shù)）方法二：公式法：設(shè)ax+by=c有整數(shù)解則通解是（x0,y0可用觀察法）求二元一次方程的正整數(shù)解：求出整數(shù)解的通解，再解x,y的不等式組，確定k值用觀察法直接寫(xiě)出。二、例題例1求方程5x－9y=18整數(shù)解的通解解：x=設(shè)（k為整數(shù)），y=3－5k,代入得x=9－9k∴原方程整數(shù)解是（k為整數(shù)）又解：當(dāng)x=o時(shí)，y=－2，∴方程有一個(gè)整數(shù)解它的通解是（k為整數(shù)）從以上可知整數(shù)解的通解的表達(dá)方式不是唯一的。例2求方程5x+6y=100的正整數(shù)解解：x=(1)，設(shè)(k為整數(shù))，則y=5k,(2)把（2）代入（1）得x=20-6k，∵解不等式組得0＜k<,k的整數(shù)解是1，2，3，∴正整數(shù)解是，，例3甲種書(shū)每本3元，乙種書(shū)每本5元，38元可買兩種書(shū)各幾本？解：設(shè)甲種書(shū)買x本，乙種書(shū)買y本，根據(jù)題意得3x+5y=38（x,y都是正整數(shù)）∵x＝1時(shí)，y=7，∴是一個(gè)整數(shù)解∴通解是（k為整數(shù)）解不等式組得解集是∴整數(shù)k=0，1，2把k=0,1,2代入通解，得原方程所有的正整數(shù)解，，答：甲、乙兩種書(shū)分別買1和7本或6和4本或11和1本。練習(xí)十1、求下列方程的整數(shù)解①公式法：x+7y=4,5x-11y=3②整除法：3x+10y=1,11x+3y=42、求方程的正整數(shù)解：①5x+7y=87②5x+3y=1103、一根長(zhǎng)10000毫米的鋼材，要截成兩種不同規(guī)格的毛坯，甲種毛坯長(zhǎng)300毫米，乙種毛坯長(zhǎng)250毫米，有幾種截法可百分之百地利用鋼材？4、兄弟三人，老大20歲，老二年齡的2倍與老三年齡的5倍的和是97，求兄弟三人的歲數(shù)。5、下列方程中沒(méi)有整數(shù)解的是哪幾個(gè)？答：________（填編號(hào)）=1\*GB3①4x＋2y=11,②10x-5y=70,③9x+3y=111,④18x-9y=98,⑤91x-13y=169,⑥120x+121y=324.6、一張?jiān)噹営?0道選擇題，選對(duì)每題得5分，選錯(cuò)每題反扣2分，不答得0分，小軍同學(xué)得48分，他最多得幾分？7、用觀察法寫(xiě)出方程3x+7y=1幾組整數(shù)解：y=14－2x=第十一講二元一次方程組解的討論一、內(nèi)容提要二元一次方程組的解的情況有以下三種：當(dāng)時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)多解。（∵兩個(gè)方程等效）當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解。（∵兩個(gè)方程是矛盾的）當(dāng)（即a1b2－a2b1≠0）時(shí)，方程組有唯一的解：（這個(gè)解可用加減消元法求得）方程的個(gè)數(shù)少于未知數(shù)的個(gè)數(shù)時(shí)，一般是不定解，即有無(wú)數(shù)多解，若要求整數(shù)解，可按二元一次方程整數(shù)解的求法進(jìn)行。求方程組中的待定系數(shù)的取值，一般是求出方程組的解（把待定系數(shù)當(dāng)已知數(shù)），再解含待定系數(shù)的不等式或加以討論。（見(jiàn)例2、3）二、例題例1.選擇一組a,c值使方程組有無(wú)數(shù)多解，②無(wú)解，③有唯一的解解：①當(dāng)5∶a=1∶2=7∶c時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)多解解比例得a=10,c=14。當(dāng)5∶a＝1∶2≠7∶c時(shí)，方程組無(wú)解。解得a=10,c≠14。③當(dāng)5∶a≠1∶2時(shí)，方程組有唯一的解，即當(dāng)a≠10時(shí)，c不論取什么值，原方程組都有唯一的解。例2.a取什么值時(shí)，方程組的解是正數(shù)？解：把a(bǔ)作為已知數(shù)，解這個(gè)方程組得∵∴解不等式組得解集是6答：當(dāng)a的取值為6時(shí)，原方程組的解是正數(shù)。例3.m取何整數(shù)值時(shí)，方程組的解x和y都是整數(shù)？解：把m作為已知數(shù)，解方程組得∵x是整數(shù)，∴m－8取8的約數(shù)±1，±2，±4，±8?！遹是整數(shù)，∴m－8取2的約數(shù)±1，±2。取它們的公共部分，m－8＝±1，±2。解得m=9，7，10，6。經(jīng)檢驗(yàn)m=9，7，10，6時(shí)，方程組的解都是整數(shù)。例4（古代問(wèn)題）用100枚銅板買桃，李，欖橄共100粒，己知桃，李每粒分別是3，4枚銅板，而欖橄7粒1枚銅板。問(wèn)桃，李，欖橄各買幾粒？解：設(shè)桃，李，欖橄分別買x,y,z粒,依題意得由（1）得x=100－y－z(3)把（3）代入（2），整理得y=－200+3z－設(shè)(k為整數(shù))得z=7k,y=－200+20k,x=300－27k∵x,y,z都是正整數(shù)∴解得（k是整數(shù)）∴10＜k<,∵k是整數(shù)，∴k=11即x=3（桃）,y=20（李）,z=77（欖橄）(答略)練習(xí)十一不解方程組，判定下列方程組解的情況：①②③a取什么值時(shí)方程組的解是正數(shù)？a取哪些正整數(shù)值，方程組的解x和y都是正整數(shù)？要使方程組的解都是整數(shù)，k應(yīng)取哪些整數(shù)值？（古代問(wèn)題）今有雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一，百錢買百雞，雞翁，雞母，雞雛都買，可各買多少？第十二講用交集解題一、內(nèi)容提要某種對(duì)象的全體組成一個(gè)集合。組成集合的各個(gè)對(duì)象叫這個(gè)集合的元素。例如6的正約數(shù)集合記作｛6的正約數(shù)｝＝｛1，2，3，6｝，它有4個(gè)元素1，2，3，6；除以3余1的正整數(shù)集合是個(gè)無(wú)限集，記作｛除以3余1的正整數(shù)｝＝｛1，4，7，10……｝，它的個(gè)元素有無(wú)數(shù)多個(gè)。由兩個(gè)集合的所有公共元素組成的一個(gè)集合，叫做這兩個(gè)集合的交集例如6的正約數(shù)集合A＝｛1，2，3，6｝，10的正約數(shù)集合B＝｛1，2，5，10｝，6與10的公約數(shù)集合C＝｛1，2｝，集合C是集合A和集合B的交集。幾個(gè)集合的交集可用圖形形象地表示，右圖中左邊的橢圓表示正數(shù)集合，右邊的橢圓表示整數(shù)集合，中間兩個(gè)橢圓的公共部分，是它們的交集——正整數(shù)集。不等式組的解集是不等式組中各個(gè)不等式解集的交集。例如不等式組解的集合就是不等式（1）的解集x>3和不等式（2）的解集x＞2的交集，x>3.如數(shù)軸所示：4．一類問(wèn)題，它的答案要同時(shí)符合幾個(gè)條件，一般可用交集來(lái)解答。把符合每個(gè)條件的所有的解（即解的集合）分別求出來(lái)，它們的公共部分（即交集）就是所求的答案。有時(shí)可以先求出其中的一個(gè)（一般是元素最多）的解集，再按其他條件逐一篩選、剔除，求得答案。（如例2）二、例題例1.一個(gè)自然數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個(gè)自然數(shù)的最小值。解：除以3余2的自然數(shù)集合A＝｛2，5，8，11，14，17，20，23，26，……｝除以5余3的自然數(shù)集B＝｛3，8，13，18，23，28，……｝除以7余2自然數(shù)集合C＝｛2，9，16，23，30，……｝集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然數(shù)。有兩個(gè)二位的質(zhì)數(shù)，它們的差等于6，并且平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同，求這兩個(gè)數(shù)。解：二位的質(zhì)數(shù)共21個(gè)，它們的個(gè)位數(shù)字只有1，3，7，9，即符合條件的質(zhì)數(shù)它們的個(gè)位數(shù)的集合是｛1，3，7，9｝；其中差等于6的有：1和7；3和9；13和7，三組；平方數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同的只有3和7；1和9二組。同時(shí)符合三個(gè)條件的個(gè)位數(shù)字是3和7這一組故所求質(zhì)數(shù)是：23，17；43，37；53，47；73，67共四組。例3.數(shù)學(xué)興趣小組中訂閱A種刊物的有28人，訂閱B種刊物的有21人，其中6人兩種都訂，只有一人兩種都沒(méi)有訂，問(wèn)只訂A種、只訂B種的各幾人？數(shù)學(xué)興趣小組共有幾人？解：如圖左、右兩橢圓分別表示訂閱A種、B種刊物的人數(shù)集合，則兩圓重疊部分就是它們的交集（A、B兩種都訂的人數(shù)集合）?！嘀挥咥種刊物的人數(shù)是28－6＝22人；只訂B刊物的人數(shù)是21－6＝15人；小組總?cè)藬?shù)是22＋15＋6＋1＝44人。設(shè)N，N（A），N（B），N（AB），分別表示總?cè)藬?shù)，訂A種、B種、AB兩種、都不訂的人數(shù)，則得［公式一］N＝+N（A）+N（B）－N（AB）。例4.在40名同學(xué)中調(diào)查，會(huì)玩乒乓球的有24人，籃球有18人，排球有10人，同時(shí)會(huì)玩乒乓球和籃球的有6人，同時(shí)會(huì)玩乒乓球和排球的有4人，三種球都會(huì)的只有1人，問(wèn)：有多少人①只會(huì)打乒乓球②同時(shí)會(huì)打籃球和排球③只會(huì)打排球？解：仿公式一,得［公式二］：N＝+N（A）+N（B）+N(C)－N（AB）－N（AC）－N(BC)+N(ABC)①只會(huì)打乒乓球的是24－6－4＋1＝15（人）②求N（BC）可用公式二：∵40＝24＋18＋10－6－4－N（BC）＋1∴N（BC）＝3，即同時(shí)會(huì)打籃球和排球的是3人③只會(huì)打排球的是10－3－1＝6（人）例5.十進(jìn)制中，六位數(shù)能被33整除，求x和y的值解：∵0≤x，y≤9，∴0≤x+y≤18，－9≤x－y≤9，x+y>x－y∵33＝3×11，∴1＋9＋x+y+8＋7的和是3的倍數(shù)，故x+y=2,5,8,11,14,17(1+x+8)－(9+y+7)是11的倍數(shù)，故x－y=－4，7∵x+y和x－y是同奇數(shù)或同偶數(shù)，∴它們的交集是下列四個(gè)方程組的解：，，，解得，，，（x=12不合題意舍去）答：x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2練習(xí)十二1、負(fù)數(shù)集合與分?jǐn)?shù)集合的交集是________2、等腰直角三角形集合是________三角形集合與________三角形集合的交集。3、12的正約數(shù)集合A＝｛｝，30的正約數(shù)集合B＝｛｝12和30的公約數(shù)集合C＝｛｝，集合C是集合A和集合B的________4、解下列不等式組并把解集（不是空集）表示在數(shù)軸上：①②③④5、某數(shù)除以3余1，除以5余1，除以7余2，求某數(shù)的最小值。6、九張紙各寫(xiě)著1到9中的一個(gè)自然數(shù)（不重復(fù)），甲拿的兩張數(shù)字和是10，乙拿的兩張數(shù)字差是1，丙拿的兩張數(shù)字積是24，丁拿的兩張數(shù)字商是3，問(wèn)剩下的一張是多少？7、求符合如下三條件的兩位數(shù)：①能被3整除②它的平方、立方的個(gè)位數(shù)都不變③兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字積的個(gè)位數(shù)與原兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字相同。8、據(jù)30名學(xué)生統(tǒng)計(jì)，會(huì)打籃球的有22人，其中5人還會(huì)打排球；有2人兩種球都不會(huì)打。那么①會(huì)打排球有幾人？②只會(huì)打排球是幾人？9、100名學(xué)生代表選舉學(xué)生會(huì)正付主席，對(duì)侯選人A和B進(jìn)行表決，贊成A的有52票，贊成B的有60票，其中A、B都贊成的有36人，問(wèn)對(duì)A、B都不贊成的有幾人？10.數(shù)、理、化三科競(jìng)賽，參加人數(shù)按單科統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)24人，物理18人，化學(xué)10人；按兩科統(tǒng)計(jì)，參加數(shù)理、數(shù)化、理化分別是13、4、5人，沒(méi)有三科都參加的人。求參賽的總?cè)藬?shù)，只參加數(shù)學(xué)科的人數(shù)。（本題如果改為有2人三科都參加呢？）11.12.十進(jìn)制中，六位數(shù)能被21整除，求x,y的值（仿例5）第十三講用枚舉法解題一、內(nèi)容提要有一類問(wèn)題的解答，可依題意一一列舉，并從中找出規(guī)律。列舉解答要注意：按一定的順序，有系統(tǒng)地進(jìn)行；分類列舉時(shí)，要做到既不重復(fù)又不違漏；遇到較大數(shù)字或抽象的字母，可從較小數(shù)字入手，由列舉中找到規(guī)律。二、例題1例1如圖由西向東走，從A處到B處有幾種走法？1解：我們?cè)诮徊媛飞嫌许樞虻貥?biāo)上不同走法的數(shù)目，例如從A到C有三種走法，在C處標(biāo)上3，從A到M（N）有3＋1＝4種，從A到P有3＋4＋4＝11種，這樣逐步累計(jì)到B，可得1＋1＋11＝13（種）走法寫(xiě)出由字母X，Y，Z中的一個(gè)或幾個(gè)組成的非同類項(xiàng)（系數(shù)為1）的所有四次單項(xiàng)式。解法一：按X4，X3，X2，X，以及不含X的項(xiàng)的順序列出（如左）解法二：按X→Y→Z→X的順序輪換寫(xiě)出（如右）X4，X4，Y4，Z4X3Y，X3Z，X3Y，Y3Z，Z3XX2Y2，X2Z2，X2YZ，X3Z，Y3X，Z3YXY3，XZ3，XY2Z，XYZ2，X2Y2，Y2Z2，Z2X2Y4，Z4Y3Z，Y2Z2，YZ3。X2YZ，Y2ZX，Z2XY解法三：還可按3個(gè)字母，2個(gè)字母，1個(gè)字母的順序輪換寫(xiě)出(略)討論不等式ax<b的解集。解：把a(bǔ)、b、c都以正、負(fù)、零三種不同取值，組合成九種情況列表ax<0的解集b正負(fù)零a正負(fù)零當(dāng)a>0時(shí)，解集是x<,當(dāng)a<0時(shí)，解集是x>,當(dāng)a=0,b>0時(shí)，解集是所有學(xué)過(guò)的數(shù)，當(dāng)a=0,b≤0時(shí)，解集是空集(即無(wú)解)例4如圖把等邊三角形各邊4等分，分別連結(jié)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，試計(jì)算圖中所有的三角形個(gè)數(shù)解：設(shè)原等邊三角形邊長(zhǎng)為4個(gè)單位，則最小的等邊三角形邊長(zhǎng)是1個(gè)單位，再按頂點(diǎn)在上△和頂點(diǎn)在下▽兩種情況，逐一統(tǒng)計(jì)：邊長(zhǎng)1單位，頂點(diǎn)在上的△有：1+2+3+4=10邊長(zhǎng)1單位，頂點(diǎn)在下的▽有：1+2+3=6邊長(zhǎng)2單位，頂點(diǎn)在上的△有：1+2+3=6邊長(zhǎng)2單位，頂點(diǎn)在下的▽有：1邊長(zhǎng)3單位，頂點(diǎn)在上的△有：1+2=3邊長(zhǎng)4單位，頂點(diǎn)在上的△有：1合計(jì)共27個(gè)練習(xí)十三1、已知x，y都是整數(shù)，且xy=6，那么適合等式解共___個(gè)，它們是________2、a+b=37,適合等式的非負(fù)整數(shù)解共___組，它們是______________________3、xyz=6,寫(xiě)出所有的正整數(shù)解有：_________________4、如圖線段AF上有B，C，D，E四點(diǎn),試分別寫(xiě)出以A，B，C，D，E為一端且不重復(fù)的所有線段，并統(tǒng)計(jì)總條數(shù)。5、寫(xiě)出以a,b,c中的一個(gè)或幾個(gè)字母組成的非同類項(xiàng)（系數(shù)為1）的所有三次單項(xiàng)式。6、除以4余1兩位數(shù)共有幾個(gè)？7、從1到10這十個(gè)自然數(shù)中每次取兩個(gè)，其和要大于10，共有幾種不同取法？8、把邊長(zhǎng)等于4的正方形各邊4等分，連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)成16個(gè)小正方形，試用枚舉法，計(jì)算共有幾個(gè)正方形？如果改為5等分呢？10等分呢？9.右圖是街道的一部分，縱橫各有5條路，如果從A到B(只能從北向南，從西向東)，有幾種走法？10.列表討論不等式ax>b的解集.11.一個(gè)正整數(shù)加上3是5的倍數(shù)，減去3是6的倍數(shù)，則這個(gè)正整數(shù)的最小值是__________第十四講經(jīng)驗(yàn)歸納法一、內(nèi)容提要1．通常我們把“從特殊到一般”的推理方法、研究問(wèn)題的方法叫做歸納法。通過(guò)有限的幾個(gè)特例，觀察其一般規(guī)律，得出結(jié)論，它是一種不完全的歸納法，也叫做經(jīng)驗(yàn)歸納法。例如①由(－1)2＝1，（－1）3＝－1，（－1）4＝1，……，歸納出－1的奇次冪是－1，而－1的偶次冪是1。②由兩位數(shù)從10到99共90個(gè)（9×10），三位數(shù)從100到999共900個(gè)（9×102），四位數(shù)有9×103＝9000個(gè)（9×103），…………歸納出n位數(shù)共有9×10n-1(個(gè))由1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42……推斷出從1開(kāi)始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和等于n2等?？梢钥闯鼋?jīng)驗(yàn)歸納法是獲取新知識(shí)的重要手段，是知識(shí)攀緣前進(jìn)的階梯。2.經(jīng)驗(yàn)歸納法是通過(guò)少數(shù)特例的試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想結(jié)論，要使規(guī)律明朗化，必須進(jìn)行足夠次數(shù)的試驗(yàn)。由于觀察產(chǎn)生的片面性，所猜想的結(jié)論，有可能是錯(cuò)誤的，所以肯定或否定猜想的結(jié)論，都必須進(jìn)行嚴(yán)格地證明。（到高中，大都是用數(shù)學(xué)歸納法證明）二、例題平面內(nèi)n條直線，每?jī)蓷l直線都相交，問(wèn)最多有幾個(gè)交點(diǎn)？解：兩條直線只有一個(gè)交點(diǎn)，12第3條直線和前兩條直線都相交，增加了2個(gè)交點(diǎn)，得1＋23第4條直線和前3條直線都相交，增加了3個(gè)交點(diǎn)，得1＋2＋3第5條直線和前4條直線都相交，增加了4個(gè)交點(diǎn)，得1＋2＋3＋4………第n條直線和前n－1條直線都相交，增加了n－1個(gè)交點(diǎn)由此斷定n條直線兩兩相交，最多有交點(diǎn)1＋2＋3＋……＋n－1（個(gè)），這里n≥2，其和可表示為［1+（n－1）］×,即個(gè)交點(diǎn)。例2．符號(hào)n！表示正整數(shù)從1到n的連乘積，讀作n的階乘。例如5?。?×2×3×4×5。試比較3n與（n+1）！的大?。╪是正整數(shù)）解：當(dāng)n＝1時(shí)，3n＝3,（n＋1）！＝1×2＝2當(dāng)n＝2時(shí)，3n＝9，（n＋1）！＝1×2×3＝6當(dāng)n＝3時(shí)，3n＝27,（n＋1）?。?×2×3×4＝24當(dāng)n＝4時(shí)，3n＝81,（n＋1）?。?×2×3×4×5＝120當(dāng)n＝5時(shí)，3n＝243,（n＋1）?。?！＝720……猜想其結(jié)論是：當(dāng)n＝1，2，3時(shí)，3n＞（n＋1）！，當(dāng)n>3時(shí)3n＜（n＋1）！。例3求適合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數(shù)解。分析：這2003個(gè)正整數(shù)的和正好與它們的積相等，要確定每一個(gè)正整數(shù)的值，我們采用經(jīng)驗(yàn)歸納法從2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)……直到發(fā)現(xiàn)規(guī)律為止。解：x1+x2=x1x2的正整數(shù)解是x1=x2=2x1+x2+x3=x1x2x3的正整數(shù)解是x1=1,x2=2,x3=3x1+x2+x3+x4=x1x2x3x4的正整數(shù)解是x1=x2=1,x3=2,x4=4x1+x2+x3+x4+x5=x1x2x3x4x5的正整數(shù)解是x1=x2=x3=1,x4=2,x5=5x1+x2+x3+x4+x5+x6=x1x2x3x4x5x6的正整數(shù)解是x1=x2=x3=x4=1,x5=2,x6=6…………由此猜想結(jié)論是：適合等式x1+x2+x3＋…+x2003=x1x2x3…x2003的正整數(shù)解為x1=x2=x3＝……=x2001=1,x2002=2，x2003=2003。練習(xí)十四除以3余1的正整數(shù)中，一位數(shù)有__________個(gè)，兩位數(shù)有__________個(gè)，三位數(shù)有__________個(gè)，n位數(shù)有__________個(gè)。十進(jìn)制的兩位數(shù)可記作10a1＋a2,三位數(shù)記作100a1+10a2+a3,四位數(shù)記作__________，n位數(shù)__________記作__________由13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（__________）2,13＋__________＝152，13＋23＋…＋n3=(__________)2。用經(jīng)驗(yàn)歸納法猜想下列各數(shù)的結(jié)論（是什么正整數(shù)的平方）①＝（_______）2；－＝（_______）2。②＝（________）2；＝（__________）2把自然數(shù)1到100一個(gè)個(gè)地排下去：123……91011……99100這是一個(gè)幾位數(shù)？②這個(gè)數(shù)的各位上的各個(gè)數(shù)字和是多少？6．計(jì)算＋＋＋…＋＝______（提示把每個(gè)分?jǐn)?shù)寫(xiě)成兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差）7．a(chǎn)是正整數(shù)，試比較aa+1和(a+1)a的大小.8．如圖把長(zhǎng)方形的四條邊涂上紅色，然后把寬3等分，把長(zhǎng)8等分，分成24個(gè)小長(zhǎng)方形，那么這24個(gè)長(zhǎng)方形中，兩邊涂色的有______個(gè)，一邊涂色的有______個(gè)，四邊都不著色的有_____個(gè)。本題如果改為把寬m等分,長(zhǎng)n等分(m,n都是大于1的自然數(shù))那么這mn個(gè)長(zhǎng)方形中，兩邊涂色的有_____個(gè)，一邊涂色的有____個(gè)，四邊都不著色的有______個(gè)9．把表面涂有紅色的正方體的各棱都4等分，切成64個(gè)小正方體，那么這64個(gè)中，三面涂色的有______個(gè)，兩面涂色的有_______個(gè)，一面涂色的有________個(gè)，四面都不涂色的有_________個(gè)。本題如果改為把長(zhǎng)m等分,寬n等分,高p等分，（m,n,p都是大于2的自然數(shù)）那么這mnp個(gè)正方體中，三面涂色的有_________個(gè)，兩面涂色的有__________個(gè)，一面涂色的有________個(gè)，四面都不涂色的有_________個(gè)。10．一個(gè)西瓜按橫，縱，垂直三個(gè)方向各切三刀，共分成________塊，其中不帶皮的有__________塊。11．已知兩個(gè)正整數(shù)的積等于11112222，它們分別是________，_________。第十五講乘法公式一、內(nèi)容提要乘法公式也叫做簡(jiǎn)乘公式，就是把一些特殊的多項(xiàng)式相乘的結(jié)果加以總結(jié)，直接應(yīng)用。公式中的每一個(gè)字母，一般可以表示數(shù)字、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式，有的還可以推廣到分式、根式。公式的應(yīng)用不僅可從左到右的順用（乘法展開(kāi)），還可以由右到左逆用（因式分解），還要記住一些重要的變形及其逆運(yùn)算――除法等?；竟骄褪亲畛Ｓ?、最基礎(chǔ)的公式，并且可以由此而推導(dǎo)出其他公式。完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b33.公式的推廣：多項(xiàng)式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多項(xiàng)式平方等于各項(xiàng)平方和加上每?jī)身?xiàng)積的2倍。二項(xiàng)式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意觀察右邊展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號(hào)的規(guī)律由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意觀察左邊第二個(gè)因式的項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù)、符號(hào)的規(guī)律在正整數(shù)指數(shù)的條件下，可歸納如下：設(shè)n為正整數(shù)(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1類似地：（a－b）(an－1+an－2b+an－3b2+…＋abn－2+bn－1)=an－bn公式的變形及其逆運(yùn)算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推廣③可知：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)an－bn能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。二、例題例1.已知x+y=axy=b求①x2+y2②x3+y3③x4+y4④x5+y5解：①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4)=(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］=a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］＝a5－5a3b+5ab2求證：四個(gè)連續(xù)整數(shù)的積加上1的和，一定是整數(shù)的平方。證明：設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為a,a+1,a+2,a+3(a為整數(shù))a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1=(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2∵a是整數(shù)，整數(shù)的和、差、積、商也是整數(shù)∴a2+3a+1是整數(shù)證畢求證：2222＋3111能被7整除證明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111根據(jù)a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（見(jiàn)內(nèi)容提要4）∴4111＋3111能被4＋3整除∴2222＋3111能被7整除例4.由完全平方公式推導(dǎo)“個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的計(jì)算規(guī)律解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25∴“個(gè)位數(shù)字為5的兩位數(shù)的平方數(shù)”的特點(diǎn)是：冪的末兩位數(shù)字是底數(shù)個(gè)位數(shù)字5的平方，冪的百位以上的數(shù)字是底數(shù)十位上數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的積。如：152=225冪的百位上的數(shù)字（2=1×2)，252=625(6=2×3)，352=1225(12=3×4)452=2025(20=4×5)……練習(xí)十五填空：①a2+b2=(a+b)2－_____②(a+b)2=(a－b)2+___③a3+b3=(a+b)3－3ab(___)④a4+b4=(a2+b2)2－____,⑤a5+b5=(a+b)(a4+b4)－_____⑥a5+b5=(a2+b2)(a3+b3)－____填空：①(x+y)(___________)=x4－y4②(x－y)(__________)=x4－y4③(x+y)(___________)=x5+y5④（x－y）(__________)=x5－y53.計(jì)算：①552=②652=③752=④852=⑤952=4.計(jì)算下列各題，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律⑥11×19=⑦22×28=⑧34×36=⑨43×47=⑩76×74=5.已知x+=3,求①x2+②x3+③x4+的值化簡(jiǎn)：①（a+b）2(a－b)2②(a+b)(a2－ab+b2)③(a－b)(a+b)3－2ab(a2－b2)④(a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)7.已知a+b=1,求證：a3+b3+3ab=18.已知a2=a+1，求代數(shù)式a5－5a+2的值9.求證：233＋1能被9整除10.求證：兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積加上其中較大的一個(gè)數(shù)的和等于較大的數(shù)的平方11．如圖三個(gè)小圓圓心都在大圓的直徑上，它們的直徑分別是a,b,c求證：三個(gè)小圓周長(zhǎng)的和等于大圓的周長(zhǎng)求：大圓面積減去三個(gè)小圓面積和的差。第十六講整數(shù)的一種分類一、內(nèi)容提要余數(shù)的定義：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整數(shù)，m是正整數(shù)，r為小于m的非負(fù)整數(shù)，那么我們稱r是A除以m的余數(shù)。即：在整數(shù)集合中被除數(shù)＝除數(shù)×商＋余數(shù)(0≤余數(shù)<除數(shù))例如：13，0，－1，－9除以5的余數(shù)分別是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。－9＝5（－2）＋1。）顯然，整數(shù)除以正整數(shù)m,它的余數(shù)只有m種。例如整數(shù)除以2，余數(shù)只有0和1兩種，除以3則余數(shù)有0、1、2三種。整數(shù)的一種分類：按整數(shù)除以正整數(shù)m的余數(shù)，分為m類，稱為按模m分類。例如：m=2時(shí)，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩類，記作｛2k｝,｛2k－1｝（k為整數(shù)）m=3時(shí)，分為三類，記作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。m=5時(shí)，分為五類，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。余數(shù)的性質(zhì)：整數(shù)按某個(gè)模m分類，它的余數(shù)有可加，可乘，可乘方的運(yùn)算規(guī)律。舉例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2（余數(shù)1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余數(shù)1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4（余數(shù)22＝4）以上等式可敘述為：兩個(gè)整數(shù)除以3都余1，則它們的和除以3必余2。兩個(gè)整數(shù)除以4，分別余1和3，則它們的積除以4必余3。如果整數(shù)除以5，余數(shù)是2或3，那么它的平方數(shù)除以5，余數(shù)必是4或9。余數(shù)的乘方，包括一切正整數(shù)次冪。如：∵17除以5余2∴176除以5的余數(shù)是4（26＝64）運(yùn)用整數(shù)分類解題時(shí)，它的關(guān)鍵是正確選用模m。二、例題例1.今天是星期日，99天后是星期幾？分析：一星期是7天，選用模m=7,求99除以7的余數(shù)解：99＝（7＋2）9，它的余數(shù)與29的余數(shù)相同，29＝（23）3＝83＝（7＋1）3它的余數(shù)與13相同，∴99天后是星期一。又解：設(shè)｛A｝表示A除以7的余數(shù)，｛99｝＝｛（7＋2）9｝＝｛29｝＝｛83｝＝｛（7＋1）3｝＝｛13｝＝1例2.設(shè)n為正整數(shù)，求43n+1除以9的余數(shù)。分析：設(shè)法把冪的底數(shù)化為9k＋r形式解：43n+1＝4×43n=4×(43)n=4×（64）n＝4×(9×7＋1)n∵(9×7＋1)n除以9的余數(shù)是1n=1∴43n+1除以9的余數(shù)是4。例3.求證三個(gè)連續(xù)整數(shù)的立方和是9的倍數(shù)解：設(shè)三個(gè)連續(xù)整數(shù)為n－1,n,n+1M=(n－1)3+n3+(n+1)3=3n(n2+2)把整數(shù)n按模3，分為三類討論。當(dāng)n=3k（k為整數(shù)，下同）時(shí)，M＝3×3k［(3k)2+2］=9k(9k2+2)當(dāng)n=3k+1時(shí)，M＝3（3k+1）［(3k+1)2+2］＝3（3k+1）(9k2+6k+3)=9(3k+1)(3k2+2k+1)當(dāng)n=3k+2時(shí)，M＝3（3k+2）［(3k+2)2+2］＝3（3k+2）(9k2+12k+6)＝9(3k+2)(3k2+4k+2)∴對(duì)任意整數(shù)n，M都是9的倍數(shù)。例4.求證：方程x2－3y2=17沒(méi)有整數(shù)解證明：設(shè)整數(shù)x按模3分類討論，①當(dāng)x＝3k時(shí)，（3k）2－3y2=17,3(3k2－y2)=17=2\*GB3②當(dāng)x=3k±1時(shí)，（3k±1）2－3y2=173(3k2±2k－y2)=16由①②左邊的整數(shù)是3的倍數(shù)，而右邊的17和16都不是3的倍數(shù)∴上述等式都不能成立，因此，方程x2－3y2=17沒(méi)有整數(shù)解例5.求證：不論n取什么整數(shù)值，n2+n+1都不能被5整除證明：把n按模5分類討論，當(dāng)n=5k時(shí)，n2+n+1=(5k)2+5k+1=5(5k2+k)+1當(dāng)n=5k±1時(shí)，n2+n+1＝（5k±1）2＋5k±1＋1＝25k2±10k+1+5k±1＋1＝5（5k2±2k＋k）＋2±1當(dāng)n=5k±2時(shí)，n2+n+1＝（5k±2）2＋5k±2＋1＝25k2±20k+4+5k±2＋1＝5（5k2±4k+k+1）±2綜上所述，不論n取什么整數(shù)值，n2+n+1都不能被5整除又證：n2+n+1＝n(n+1)+1∵n(n+1)是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積，其個(gè)位